以高观点视角驱动课堂教学——兼评两则《平行四边形的面积》教学设计

文|周卫东（特级教师）

“平行四边形面积的计算”是第二学段“图形与几何”领域中“图形的测量”的一则重要内容。人教版、北师大版与苏教版等教材均安排在五年级上学期。相较于学生三年级学习的“长方形和正方形面积的计算”而言，“平行四边形面积的计算”包含着深刻的本质内涵及转化、推理、建模等丰富的思想元素，抽象水平及思维层次更高。因而，这一内容是提升学生数学素养的有机载体，也是广大同行竞相研究、个性表达的典型课题。

认真研读了谈莹老师的《在探究和思辨中凸显理性精神》（简称设计一）和徐妍老师的《促深度理解 助主动建构》（简称设计二），颇有收获。两则设计均能在把握基础教学目标的基础上，着眼高观点，努力挖掘发展性目标，使教学“增值”，具体体现在大问题统整、结构化关联及思想性滋养三个方面。

一、大问题统整，促进主动建构

所谓站得高，才能看得远。“所谓大问题，就是一种开放性问题或具有多元思考方式的问题，并鼓励学习者积极参与到问题解决中，使学生尝试寻找有用的知识、思考合适的方案来解决主要问题。”教学中，大问题触及数学本质，是课堂教学中的问题之“眼”。通过大问题统整，可以帮助学生主动建构知识。

1.大问题引领，促数学思维萌芽。

数学教学中，立于高位去设计教学路径，用大问题统领教学，是促进学生数学思维萌芽，主动建构知识的关键步骤。设计一，课始设问：“关于平行四边形，你觉得它的大小会跟什么有关呢？”引导学生在已有经验的基础上大胆想象。而设计二则紧紧扣住“平行四边形的面积到底该怎么计算呢？”这个大问题统领教学。课堂上，当多种算法呈现出来时，“哪种算法有道理？该怎样说明呢？”则又成为驱动思维深入的“大问题”。这样的大问题，引导学生讨论、交流，促进明理、通透，引发想象、创造，使学习过程一直浸润在一种积极、生动的“场域”之中。

2.大问题推进，促数学思维生长。

当学生关注到“平行四边形面积的计算”这一核心问题后，学生的思维瞬间被打开，一个又一个大问题推进的过程，就是学生数学思维不断调整、整合、进阶的过程。设计一为学生提供了形状各不相同的四个平行四边形纸片、透明方格纸及活动的平行四边形框架等有意义的材料，让学生“八仙过海，各显神通”，来验证“平行四边形的面积跟什么有关，跟什么无关”这一问题。而设计二则在学生得到初步猜想“平行四边形的面积可以用底×高来算”后，适时抛出话题：“所有平行四边形的面积都可以用底×高来计算吗？”给学生提供了三个大小、形状各不同的平行四边形，让学生通过数方格、割补等方法去印证自己的猜想，引导学生实现由此及彼、由个及类思维的转换，在进一步明确之前的猜想的基础上形成了更具有一般性的结论。

3.大问题归纳，促数学思维深耕。

高观点下的数学课堂，在大问题引领、推进之后，要有大问题归纳总结。在本节课中，虽然学生通过不完全归纳，经历了“一个”到“一类”的认知过程，引出平行四边形面积计算公式后，给学生布置了一个关键性任务，引导学生的思维向纵深漫溯。（1）观察：转化前后，两个图形有什么联系？（2）推理：平行四边形的面积为什么可以用底×高来计算。在完成这个学习任务的过程中，引导学生学会推理归纳，进一步厘清平行四边形面积计算的本质问题，即沿着平行四边形的任意一条高剪开，拼成一个长方形，发现拼成的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，且面积不变，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。这样，通过大问题的归纳推理，帮助学生厘清知识本质，形成从高位视角看待所学知识、探究所学问题的意识。

二、结构化关联，促进主动建构

高观点视角下的小学数学教学还应该看到知识内在的结构。学科之所以为学科，而不是简单概念与知识要点的堆砌，其中非常重要的原因就在于学科知识之间存在着不可割裂的内在联系。数学常常被称为“结构的科学”，是一种整体的、系统与意义的结构。知识学习走向结构化，才能更深刻地促进学生对知识的认知与理解。关联主义学习理论认为，学习是知识网络结构中某种关系和节点的重新建构，学习是一个知识的联结过程。基于高观点视角的数学教学，更应注重知识间的关联，将学生的思维引向整体化、结构化的高度，促进知识主动建构。

1.关联在思维行进中。

数学学习中，学生的思维呈现出一个螺旋上升、逐步递进的过程。因此，教学时教师应当在学生的思维行进中做好生生互动的关联，师生互动的关联，学生与学材互动的关联，学生与空间环境等互动的关联。适时引领和点拨，帮助学生扫清思维行进中的障碍，逐步建构知识。两则设计均注重在学生思维行进中做好结构关联。细读他们的教学路径可以看出，两位教师均顺应了学生思维发展的脉络，遵循了学生“学”的逻辑，几大学习环节环环相扣、相互关联，串起了整个知识学习的体系，使之结构化、系统化。

2.关联在思维困顿处。

学生在思维进阶的节点上，可能会出现困顿。教学中，学习任务的设计要预设到学生思维可能的困顿之处，通过引导，帮助学生加深对知识的理解，主动建构知识的完整体系。平行四边形面积计算时，学生往往只记住“底×高”，而忽视“对应”这个关键要素，导致计算错误，形成认知错位。两则设计均涉及到“底与高对应”的练习题，通过实际问题，巧妙地将“对应”的底和高相乘的核心知识传递给学生，通过这样的学习，真正将知识关联互通，形成了正确的认知结构。

3.关联在思维进阶时。

高观点视角下的数学教学，不仅是引导学生将知识罗列堆砌，更要将学生的思维引向更高的层次，建构新的知识体系。因此，学习任务的编排设计需要关联学生思维进阶的节点，为学生思维的顺利进阶提供必要支持与帮助。立于高观点之下，不仅关注学生当下知识的学习，更关注现在与未来知识学习的联系。在回应“平行四边形的面积=邻边相乘”这一典型错误时，两则设计均提供了有益的探索。设计一通过多种方法，让学生明白为什么不能用邻边相乘的方法来计算平行四边形的面积，当把平行四边形拉直后，形成的长方形的面积比原来的图形面积多了一块。当平行四边形的底和周长不变时，随着高的升高，面积越来越大，一直到转化为一个长方形时，面积最大。设计二中，徐老师进一步引领学生思考，如果将平行四边形的邻边的角度标出，随着角的倾斜变化，高也在不停变化，从而将中学时将要学习的平行四边形的计算公式向学生渗透。即平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值。如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S=ab×sinα。

学习至此，让我们确信，在学生的认知结构中，若隐若现留下的，是知识的全貌，是结构的雏形，更是朝向未来知识世界的美好。好的数学课堂，就是将学生的思维引向深远，让学生带着疑问走进课堂，带着收获和新的疑问走出课堂，形成数学学习螺旋上升的学习场。高观点视角下的数学教学，通过关联性的学习任务，将学生的思维引向更扎实、更高阶的境界，从而主动建构知识体系，完善认知结构，培养数学核心素养，提升数学学习力。

三、思想性滋养，促进主动建构

高观点视角下的小学数学教学应看到知识深层的思想方法。学科思想是学科知识中的“隐性内容”，是学科专家提出的对学科发展和学科学习最具影响力的那些观念和见解，是知识背后的知识，是学科的精髓与灵魂。

1.由“个”到“类”，渗透归纳思想。

两则设计都十分关注数学思想方法的渗透。在引导学生探究平行四边形的面积时，两则设计都引导学生用“割补法”“数格子法”等方法去印证“一个”平行四边形的面积可以用“底×高”来计算，进而引导学生进一步印证“任意”平行四边形的面积都可以用“底×高”来计算。由“个”到“类”的印证过程中，向学生渗透了不完全归纳的思想。

2.由“新”到“旧”，渗透转化思想。

两则设计都带领学生复习了之前学习过的平面图形面积的计算方法，尤其是长方形的面积计算方法后，通过割补法，将平行四边形转化为长方形，这样将“新知”转化为“旧知”，从而顺利推导出平行四边形面积的计算公式。且在转化过程中，立意于高观点视角，并未将学生的起点定位于实际操作，而是引导学生通过用“手”比划，用“脑”想象，既渗透了转化的思想，又提升了学生的空间想象能力。

3.由“同”到“异”，渗透对应思想。

在学生探索出平行四边形的面积可以用“底×高”来计算后，两则设计均通过习题引发学生思考，为什么都是平行四边形的底，为什么不能和给定的高相乘。从而引导学生思考“同”是底，却“异”在高的不同上，因此，得出在计算平行四边形面积时，必须用对应的底乘对应的高。在这样的辨析过程中，渗透了对应的数学思想。从数学教学角度看，一堂课新往往就新在思维过程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在学生参与活动的深度和广度上。有思想深度的课，给学生留下长久的心灵激荡和对知识的深度理解，以后即使具体的知识忘了，但数学地思考问题的思想方法却将长久存在。