构造法在极值点偏移问题中的应用——从2022年高考全国甲卷21题谈起

四川省温江中学 (611130) 张 君 李武学 胡泽余

1.题目

(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；

(2)若f(x)有两个零点x1,x2，求证：x1x2<1.

2.试题分析与解析

2022年高考全国甲卷21题综合考查利用导数研究函数的单调性，再利用单调性与极值求给定条件下参数的取值范围，在此基础上研究两个零点之间的关系，是典型的极值点偏移问题.试题起点较低.

第(1)问较为简单，具体过程如下：

第二问难度大，需要考生熟练掌握函数的有关性质，以及研究有关性质的基本方法和工具，并达到灵活运用的程度.对数学思想方法的考查也占很大成份，特别是对分类讨论思想和转化思想的要求很高，零点偏移问题的解题大方向主要有两个：构造对称函数(以下称构造法)和减少变量转化为一元函数(以下称减元法).本文用讨论构造法解析第(2)问，这种方法更易掌握也更常用.

由(1)知f(x)有两个零点的条件是a>e+1，且在(0,1)和(1,+∞)内各有一个零点,不妨设0

下面证明：当x>1时，ex>ex.

设s(x)=ex-ex,x>1, 则s′(x)=ex-e>0,

以下同解法1.

3.题后反思

解法1和解法2都用的是直接构造法，解题步骤如下:

弄清了构造法的解题思路和突破其中难点的一些常用方法以后，对类似的问题很容易找到解题方向.但是，因为不同的题条件不同，所以在实际运用中还需要根据具体情况灵活处理，有时甚至还要对解题方法作一定的变通，活学活用才是最重要的.

从下面这道题的解法中可以进一步理解构造法的解题思路.

4.应用

(2022年成都蓉城名校联盟第二联考第21题)已知函数f(x)=x2+(1-2a)x-alnx，a>0.若f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1x2>1.