基于数学模式的一题多解探析——以两道北大招生考试题为例

湖南师范大学数学与统计学院 (410081) 严 瑾 夏世娇 吴仁芳

数学模式是指形式化的采用数学语言，概括的或近似的表述某种事物系统的特征或数量关系的一种数学结构，各种基本概念、理论体系、定理、法则、公式、算法、命题、方法都是数学模式.一题多解是教学中最常见的实施过程性变式的一种途径，是以原题为中心，向它蕴涵的各个维度进行拓展和深化，揭示数学概念及定义的本质属性和非本质属性.通过这种教学方式，一方面可以将解题的过程层次化，加深学生对该问题理解与认识，从而减轻了解题过程中思维的负担，开拓了学生解题的思路，激发了学生解题的兴趣，从而形成多层次的思维结构；另一方面，也可以提升学生的发散性思维能力，培养了学生的创新意识和创新思维，使得学生善于全面地观察问题，运用多方面的知识经验与联系去寻求解题的方法，使解题涉及的知识和方法更趋于丰富与娴熟，提高了学生的数学问题解决能力.

模式1：构造放缩模式，列项相消求证

模式2：构造定积分模式，利用面积求证

数列是离散的，而定积分是连续的，而数列求和这样一个朴素的题型，通过微分近似的桥梁，巧妙地可以和积分连系起来，微分的概念将分割的数列求和升华成连续情形下的定积分，在高中必修教材里，有定积分与数列求和的联系.

例1的两种思路，围绕着两种不同的数学模式展开，都具有很强的代表性，第一种代表了不等式常用的放缩技巧，需要求证者对基本概念及方法等模式具有很好的理解，才会产生合适的表征方式；第二种方法也与高中生的知识结构相通，定积分概念等模式是否理解深刻，但学生在解题过程中使用比较少，对于高中生是一种比较新颖和难以直接想到的方法.

A.1 B.2 C.3 D.前三个答案都不对

模式3：构造函数模式，消除变量求解

将两式相加可消除变量xi，即f(0)+f(4)=8064-4032a，当a=2时，有f(0)+f(4)=0，并且由函数f(x)=x2在区间[0,4]上的连续性，可知f(x)在[0,4]上至少有一个零点，本方法中构造函数模式，就是使用函数的方法研究和解决函数的问题以及构建函数关系式来研究和解决非函数问题，解方程的过程就是求函数的零点的过程，利用模式识别的方法，考查了学生构造性思维的能力.

模式4：构造分离参数等价识别模式，转换条件求解

用分离参数法解决方程恒有解的问题是指在含有参数的方程中，通过适当的恒等变形,使方程的一端化成只含参数的解析式，而另一端为与参数无关的未知数的函数,再求出此函数的值城，即得参数满足的条件，从而可求出参数的取值范围，其解决问题比较简单和易操作的原因在于通过分离参数实现了研究动直线与固定的曲线之间的位置关系问题，在几何直观上更容易理解.

首先固定x1,x2,…，x2016，得到一个关于x的函数，不妨令x1≤x2≤x3≤…≤x2016.在处理绝对值求和函数的最值时候，我们需要对分段点个数的奇偶性做讨论.

(2)当n=2k，且k∈N时， 区间 [ak,ak+1] 里的每一项都是f(x)的最小值的项，特别的如果ak是整数，整数解只有两项.

转化识别模式是解题者遇到不能直接解决的问题时候，不能辨认它属于哪个基本模式，但将条件或结论做出变形、或深层理解后就属于基本模式了，从而可以解决更加灵活的问题.

模式5：构造绝对值不等式模式，叠项相加求解

模式6：构造逻辑关系模式，条件互推求解

常用逻辑用语的内容是进入高中阶段后首先学习的预备知识，学生往往对其印象深刻，可以将之称为“存于记忆的数学模式”，是在解题当中积累的基本经验被自己总结内化以后所形成的图式.

例2的四种方法，围绕着四种不同的数学模式展开，具有丰富的模式特征和代表意义.

第一种方法以高中常见的函数模式为基础，讨论了函数在区间端点的函数值，这一方法步骤为高中生所熟悉，结合高中生已有的知识结构背景，这种方法是最易习得的；第二种代表了等价模式的转换，在寻找与题意相符合的等价模式的过程中，要求解题者思考缜密，对相关概念和内涵理解透彻，对其逻辑思维能力具有很高的锻炼价值；第三种方法代表了不等式常用的定理和叠加技巧，需要解答者对相关基本定理和方法等模式理解深刻，掌握熟练，才得以在习题中灵活应用，第四种方法运用了关系模式中的充要条件，反映了命题间相互推导的逻辑关系，启发学生运用多方面的知识经验与联系去寻求解题方法.

由此可见，基于试题本身特征的模式识别结构可用于一题多解的研究，促使学生在解题的过程中夯实基础，关注基本模式，培养创造性思维，形成多层次的思维结构从而提高学生的数学解题能力，在几种典型解法获取之后,可把更宝贵的时间用到多解归一，寻找经典模式之间的内在联系，并且能对模式进行变式改编或者拓展研究，针对不同层次的同学进行针对性教学.