APOS理论视角下数学史融入数学概念教学的探析——以“平方差公式”为例

蔡 璐 韩祥临

湖州师范学院教师教育学院 313000

引言

APOS理论是美国学者杜宾斯基等人提出的一种基于建构主义学说的数学概念教学理论，深入探讨了学生对于数学知识的解构与建构过程，并将数学概念的获得划分为“操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Schema）”四个相互衔接、层层递进的阶段，彰显了以生为本的教育理念.立足初中数学教学内容，落实APOS教学理论，践行HPM（数学史与数学教育）教学方法，以数学史和相关典故为载体，引经据典、以文载道，可以将枯燥的数学概念、抽象的数学思想、刻板的数学内容变得生动形象.因此，教师应充分考虑初中生的最近发展区，选取适切的历史素材，以问题为主轴、思维为主攻、体验为主线设计教学活动，自然地融入数学史料，使学生感悟不同时代、不同背景下数学文化的无限魅力，领会其中所蕴含的人文精神，发挥数学史独特的育人价值.

史料的选取与融入

（一）遵循史料适切性原则选取教学素材

在史料选取方面，应该严格遵循史料适切性原则，依据汪晓勤教授提倡的“趣味性、科学性、有效性、可学性和新颖 性”等五项原则［1］，贴合教材内容和课标要求选取适宜初中生知识建构的历史素材.

操作阶段强调创设合理的问题情境，让学生亲身体验，感悟数学史中平方差公式的巧妙应用，形成初步认知.据古希腊评注家普罗克洛斯（Proclus，410—485）记载，由于农民的知识和经验有限，在分配土地时经常受到土地主的欺骗，将周长相等面积更小的土地租给农民，从中牟利.著名数学家欧拉（Euler，1707—1783）小时候利用等周知识“智改羊圈”，帮父亲解决了在周长100米不变情况下所得羊圈面积最大的问题.与芝诺多罗斯（Zenodorous，约公元前2世纪）在《论等周图形》中证明的“在边数相同的等周多边形中，等边且等角的多边形面积最大”这一命题有着异曲同工之妙［2］.因 此，该阶段选用能够引起学生认知冲突的等周问题，可以激发学生的探索欲望.

过程阶段在学生对平方差公式的概念有初步认知的基础上，不断加强对公式的内化理解，了解其几何背景，明确其几何表达.公元3世纪，中国古代数学家赵爽就利用“面积割补法”证明了平方差公式（c+b）（c－b）=c2－b2，揭示了其几何意义（如图1），并在《周髀算经》中将其注释为“勾股圆方图”：“勾实之矩以股弦差为广，股弦并为袤，而股实方其里.股实之矩以勾弦差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里.”［3］刘徽所注释的《九章算术》也有类似论述.因此，该阶段引导学生利用 “面积割补法”得到更加丰富的面积表达形式，不仅可以提高学生的动手操作能力，还能培养学生数形结合的数学思想.

图1

对象阶段注重揭示概念本质，结合教材和史料逐步把平方差公式的表达转化为符号语言，赋予其形式化的定义，形成具体数学对象.例题采用古希腊数学家丢番图（Diophantus，公元3世纪）所著《算术》第1卷第27题：“已知两个正数和与积，求这两个数.”解法与古巴比伦泥板记载的“和差术”一致［4］，其实质在于将二元问题转化为一元问题.该阶段重在利用经典例题辨析平方差公式的本质，使学生明确可以应用公式的具体情形，引导学生依据公式绘制图形，提升直观想象素养，实现符号、图形和文字语言的自如转换.

图式阶段的关键在于将所学概念纳入知识体系，能与旧知建立内在联系，也能为新知学习提供生长点.平方差公式既巩固了多项式乘法法则，又为完全平方公式、因式分解的学习奠定了基础.因此，该阶段应注重知识系统性，适当融入欧几里得（Euclid，公元前3世纪）《几何原本》 第Ⅱ卷命题5的几何图形（如图2），其中C为AB中点，将图形转化为现代符号语言这是有关平方差公式的精彩变形，体现字母表示数的整体性，丰富学生对平方差公式的认识.

图2

（二）落实多元化方式融入教学素材

“平方差公式”是人教版八年级上册第14章第二节的内容，是在学生掌握多项式乘法的基础上展开学习的特殊形式的多项式乘法，体现了由一般到特殊的教学思路.教材以3道运算探究题入手引导学生在计算过程中发掘运算规律，观察算式共性特征，并用字母简洁表示平方差公式，借助图形面积展示平方差公式的几何意义，最后以典型的计算例题作为本节的结尾.教材中相关内容的呈现主要集中于精练的文字语言和形象的符号语言，这得益于16世纪数学家韦达（François Viète，1540—1603）创立的符号代数，使得平方差公式能够由几何形式发展为符号形式，但教材并未将这一发展过程体现出来，更未交代学习平方差公式的必要性.作为初中阶段学生接触的第一个数学公式，教师应该有意识地将相关数学史融入教学内容，让学生了解数学知识和方法的产生、发展和应用过程.

基于APOS理论的特点，梳理了与每一阶段相对应的平方差公式史料，但还需结合初中生的认知水平及生活经验设计史料的融入方式.附加式、复制式、顺应式和重构式是目前最为常见的数学史融入数学教学的方式［4］，在充分考虑每种方式的作用及特点后设计如下史料融入方式（见表1）.

表1 平方差公式史料选取及融入方式

结合以上思考与分析，从HPM视角拟定了以下三维教学目标：

知识与技能：

（1）经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的本质，即结构不变性和字母可变性；

（2）理解平方差公式的几何意义，能进行符号、图形及文字语言的转换.

过程与方法：

（1）通过等周问题引入平方差公式，站在历史的角度感悟公式的实际应用，再采用面积割补法深入理解（a+b）（a－b）=a2－b2的几何意义；

（2）在和差术背景下辨析公式应用情况，能进行简单的运算，培养运用平方差公式解决相应问题的能力.

情感态度与价值观：

（1）通过对几何图形的裁剪拼接，培养学生的直观想象核心素养，增强几何图形表达能力，提升数形结合思想；

（2）强调公式中a，b的整体性，让学生树立数学整体思想，加强符号意识，体会符号表达公式的简洁美；

（3）通过融入数学史感知数学文化的魅力，增强学生的爱国情怀和民族自信，体验数学背后的人文精神.

教学的设计与实施

（一）操作阶段——等周情境，感悟公式

问题1：为防止草地退化，某部门规定每只羊平均占地面积不多于6平方米.一牧民家中有羊100只，为响应号召，牧民打算在羊圈周长不变的情况下，按照图3将原先边长为25米的正方形羊圈进行改造，即将其中一边长削减的5米添加到邻边，请你帮牧民计算一下，改造后的羊圈满足了这一规定吗？你又是如何判断的呢？

图3

（252＞（25+5）（25－5）=600）

揭示数学史：“智改羊圈”问题来自著名数学家欧拉小时候的故事.小欧拉曾一边牧羊，一边读书，运用数学知识帮父亲解决了等周情况下所得正方形羊圈面积最大的问题.你能运用代数或几何的形式对其进行解释吗？

预设：代数，设正方形边长为a，面积为a2.将一边长削减b（0≤b＜a），其邻边增加b，得到长宽分别为a+b和a－b，面积为（a+b）（a－b）的长方形，依据前后面积关系可得：a2=（a+b）（a－b）+b2，再通过移项得到平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2.（几何意义见图4）

图4

设计意图操作阶段为贴合学生的认知水平和当前教学实际，采用顺应式合理改编小欧拉“智改羊圈”的等周问题.首先，以草场退化为背景，渗透环保意识，以具体数字呈现牧民羊圈面积大小，降低学习难度，初步搭建几何图形与代数式之间的关系，探究出前后面积之差为阴影部分的小正方形面积，并列出等式252=（25+5）（25－5）+52，让学生对平方差公式的几何意义有所感知.其次，揭示情境中蕴含的数学史，用字母表示数，将算式由特殊推广到一般，再结合几何图形得出平方差公式为过程阶段做好铺垫，让学生感悟数学知识的实际应用.

（二）过程阶段——面积割补，探究新知

问题2：如图5，从边长为a的大正方形纸片中减去一边长为b的小正方形，剩余图形面积为多少？除了列式计算，你能用几何拼接的形式将其表示出来吗？请小组利用课前准备的正方形纸片进行裁剪拼接，3分钟后由同学来分享合作探究的成果.

图5

预设：

①沿小正方形边长作切割线（如图6）；

图6

②沿正方形对角线作切割线（如图7）.

图7

由以上两种切割方式最终拼接图形面积都可表示为:（a+b）（a－b）=a2－b2.

揭示数学史：①中所运用的切割方法是公元3世纪我国古代数学家赵爽“负薪余日，聊观《周髀》”所发现的面积割补法（如图1），用以证明平方差公式，在《周髀算经》中注释为“勾股圆方图”.面积割补法是一种常见的作图解题的数学方法，在刘徽所注释的《九章算术》中称为出入相补原理（又称以盈补虚），将一个图形经过分割、移补来计算面积，是数量中平均思想在几何上的体现.

设计意图过程阶段通过小组合作的形式探究平方差公式的几何意义，培养学生数形结合能力的同时，有益于提升学生的直观想象核心素养.采用重构式引导学生在剪拼正方形纸片的过程中，思路自然接轨中国古代数学家赵爽的“面积割补法”，将不规则阴影图形转化为学生熟知的四边形，利用等积关系建立等式，让学生领会数学家的深刻思想与巧妙方法，树立学习数学的信心，增强爱国情怀和民族自豪感.

（三）对象阶段——典例分析，揭示本质

问题3：几何视角下的面积探究得到了式子（a+b）（a－b）=a2－b2，你能发现该式子蕴含的结构特征并用语言进行描述吗？

预设：整个式子含有两个数，前一个括号是两数之和，后一个括号是这两数之差，其中符号相同的a称为相同项，符号相反的b称为相反项，二者乘积等于这两数平方差，故称为平方差公式（如图8）.

图8

问题4：判断下列各式计算是否正确？若错误请加以修改，并指出α，b分别表示什么.

判断正误：

问题5：公元3世纪，古希腊数学家丢番图在其《算术》第1卷第27题中记载：已知两数和为20，乘积为96，求这两个数.你能利用平方差公式解决这一问题吗？

预设：两个数不能同时大于10，也不能同时小于10，必定一个大于10，一个小于10.可设一个数为10+x，另一个数为10－x，二者乘积形式（10+x）（10－x）符合公式结构，运用平方差公式（10+x）（10－x）=102－x2计算得x=2，两个数分别为12和8.

揭示数学史：丢番图“二元问题”的解法与古巴比伦数学泥板记载的“和差术”不谋而合，能让学生从中体会到数学知识和数学文化的传承及应用.“YBC4663泥板”载有这样一道二元问题［5］你能用和差术进行求解吗？

设计意图操作和过程阶段我们从“形”的视角探索了（a+b）（a－b）=a2－b2，对象阶段我们选取“数”的视角对（a+b）（a－b）=a2－b2进行剖析，揭示本质.问题4采用了教材例题，体现教材的示范性，其中a，b分别以数、单项式、多项式呈现，着重对公式中相同项和相反项进行辨析，加深学生对结构不变性和字母可变性的理解.问题5以数学史的方式融入平方差公式在解决二元一次方程组中的有效应用，不同于先前直接呈现式子判断正误，此处渗透了方程和换元思想，丰富了公式的运用情形.

（四）图式阶段——拓展深化，丰富认知

问题6：公元前300年，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第Ⅱ卷命题5中，用巧妙的几何图形证明了平方差公式，但其形式与今天所学存在差异，你能依据图2列出图形所示公式吗？

课堂小结：

（1）你能用图形、符号和文字语言表达平方差公式吗？

（2）平方差公式的本质是什么？

（3）看似枯燥的平方差公式居然蕴藏了如此丰富的数学史，哪一个令你印象最深刻？

揭示数学史：欧几里得用图2巧妙证明的公式属于平方差公式的精彩变形，其相同项为，相反项为.欧几里得的《几何原本》建立了人类历史上第一个公理体系（也称演绎逻辑体系），它的逻辑演绎范式几乎决定了自它之后整个西方数学和科学的表达方式.在这一部宏伟著作中还蕴含了许多以后我们要学习的数学知识，让我们一起期待与它们的相遇.

设计意图在之前的学习中，我们已经从代数和几何两个角度对平方差公式进行了探究，对其结构不变性和字母可变性的特征已有所掌握.引入欧几里得几何图解所得的变形公式，能突破学生思维定式，丰富学生对平方差公式的认识.简述《几何原本》的历史地位使学生感悟所学知识的重要性，并为后续学习做好了铺垫.以提问反思形式进行的课堂小结有利于梳理学生的知识体系，搭建几何、代数和文字相互转译的桥梁，为完全平方公式和因式分解的学习提供了思维方向.

结束语

APOS理论的本质是用操作、过程、对象和图式来表示数学概念学习中的动态心理过程，为搭建结构化的知识体系助力.数学史的自然融入使原本单调的数学课堂变得有趣起来，能在不同阶段的知识探索过程中选取典型素材推陈出新，感悟数学家的所思所想，体现了知识之谐、方法之美和探究之乐.适切的历史素材和多元的融入方式保障了教学活动的丰富性，古巴比伦、古希腊、古代中国以及近现代等诸多数学著作上记载着平方差公式的探究与应用，不仅能使学生体会数学知识在传承与发展中展现的文化魅力，还能体现数学史料在课堂教学运用中彰显的德育功效.