运用SOLO分类理论 发展学生数学思维

刘洋洋 李长辉

海南省儋州市民族中学 571700

SOLO分类理论的基本观点

“SOLO”全称为“Structure of the Observed Learning Outcome”，是由澳大利亚教育心理学家John B.Biggs 和Kevin F.Collis在皮亚杰发展阶段论基础上建立的一种新的学习质量评价理论——SOLO分类理论.他们认为一个人的总体认知结构是一个纯理论性的概念，是不可检测的，而一个人回答某个问题时所表现出来的思维结构却是可以检测的，彼格斯（Biggs）称之为“可观察的学习成果”［1］.

根据SOLO分类理论，彼格斯把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为五个水平［2］，如图1（彼格斯给出的图解）.

图1

SOLO 分类理论在初中数学中的一般应用

SOLO分类理论依据学习结果对学生的思维水平和对知识的掌握情况进行分析、评价和把握，有很强的实践性和可操作性.下面，笔者运用SOLO分类理论对中考数学试题和学生解题过程进行分析、评价.

（一）运用SOLO分类理论分析中考数学试卷结构

在2021年海南省中考数学备考分析会上，海南中学的房一登老师对海南省2020年初中学业水平考试数学科试卷的题型结构进行了分析（见表1），基础题∶中等题∶较难题=7∶2∶1，符合中招考试出题的结构要求.

表1 海南省2020年初中学业水平考试数学科试题题型结构分析

（2020年海南·中考）第1题：实数3的相反数是（ ）.

（2020年海南·中考）第6题：如图2，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE＝70°，∠ACD＝40°，则∠AEB等于（ ）.

图2

A.50° B.60° C.70° D.80°

简单题中的选择题第1题，只考查了“相反数”一个知识点，仅应用一个知识点即可解决问题.而简单题中的选择题第6题，考查了两个知识点：“两直线平行的性质及三角形的内角和.” 第7、第10、第17、第18、第19（2）（3）、第20（1）、第21（1）、第22（1）也同样需要应用两个或两个以上独立的知识点解决问题.所以根据SOLO分类理论，试卷中的简单题可划分为单一结构水平和多元结构水平，中等题可划分为关联结构水平，难题可划分为拓展抽象结构水平，具体划分如表2.

表2 SOLO思维水平特征和中考数学试题SOLO体现

从以上分析不难看出该试卷主要集中考查单点结构层次、多点结构层次和关联结构层次，选择题SOLO层次考查单一，非选择题SOLO层次考查多元化.总体而言，试题对学生思维技能水平考查适中，注重构建知识点之间的联系并加以应用，较好地反映了数学学科对学生思维技能水平培养的要求，为教师准确把握初中数学教学方向提供了参考.

其实任何一份数学试卷都蕴含着SOLO分类理论，只是教师未从其角度进行分析和评价.若运用SOLO分类理论编制试卷或运用SOLO分类理论对已有试卷结构进行划分，就可以从学生试卷的答题情况推断学生所处的思维技能水平和对知识的掌握情况，避免了只凭分数评判学生的问题.

（二）运用SOLO分类理论分析学生解题过程

学生数学解题过程的书写是“可观察的学习结果”，过程书写的条理性和逻辑性更能反映出学生数学思维所达到的水平.笔者参加了海南省2020年初中学业水平考试数学科评卷工作，评的是第22 题（二次函数综合问题）.笔者以此题为例，根据学生答题情况，用SOLO分类理论来分析、评价学生的思维技能水平.

（2020年海南·中考）第22题：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（-3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧.

①如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长.

图3

②如图4，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图4

前结构水平：学生出现抄原题和答非所问的现象，或是只有一点关于此类题的知识经验，猜想b和c的值后得出一个与此题无关的二次函数解析式.单一结构水平：学生能将A，B两点坐标代入抛物线解析式，但就此收敛，没有联想到二元一次方程组或是因二元一次方程组求解经验不足而放弃.

备用图

多元结构水平：学生能解决问题（1），能根据（1）中的抛物线解析式设出点P 的坐标，但不能用坐标正确地表示出线段PD和PE的长度或因求解二元一次方程计算能力不足而出错.

关联结构水平：学生可以根据（1）中的抛物线解析式设出点P的坐标并引入参数，能根据线段长度PD＝2PE的关系得到方程进行求解，能根据P点可能在第三象限或第二象限进行分类讨论，能求出PE长度.

拓展抽象结构水平：学生能根据问题（2）第②题中∠ACP＝∠OCB的条件及∠OCB在Rt△OCB中且其三边长度都是已知的，联想到把∠ACP也放在直角三角形中，得到过点A作直线PC垂线的方法，在应用三角形相似、已知两点求直线解析式和求直线与抛物线交点坐标的知识求出P点坐标.除此常规做法之外，有的学生还发现∠OCB和∠ACO都是直角三角形，正切值已知，于是过点P作x轴或y轴平行线，应用两角和与差的正切公式进行求解.

由上述分析可以看出，SOLO分类理论焦点集中在“质”而非“量”，它是从心理学角度来评价学生思维水平所能达到的深度和广度，它描述的是学生的学习水平，反映的是学生的学习质量等级.它不是告诉教师通过一个具体结果该如何划分学生，而是为教师提供了一个评价学生思维技能水平的思路和依据.因此，教师可以根据学生试卷的答题情况和学生解决某个具体问题时所提供和利用知识以及知识之间的联系，进而推断学生所处的思维技能水平和对知识的掌握情况.

SOLO 分类理论对初中数学教学的指导作用

评价的目的不是为了划分等级和选拔优秀者，而是为了学生的成长和教师的发展.教师运用“SOLO”分类理论分析、评价学生，不仅可以较好地掌握学生思维技能水平、学习需求，助推学生思维水平向高阶发展，还可以检测自己的教学效果和审视自己的教学行为.所以SOLO分类理论对初中数学教学有启示、指导的作用，教师可以根据SOLO分类理论进行教学设计和选择合适的教学策略.

（一）根据SOLO分类理论设计教学目标

根据SOLO分类理论对教学内容和学生的思维水平进行分析，可以细化设计出更有针对性、层次性和符合学生思维递进发展规律的教学目标.

例如，“代数式的值” 是学生在继“列代数式”之后学习的内容，课标的要求是“了解代数式值的意义，能准确求出代数式的值”，过于笼统简略，于是根据SOLO分类理论可细化、分层设计如下教学目标（如表3）.

表3 SOLO思维水平与“代数式的值”教学目标的对应关系

教学目标是教师的课前设定，课后教师一定要根据学生作业、练习、测试等落实教学目标完成情况.这需要教师根据SOLO分类理论布置作业、练习或者根据SOLO分类理论编制试题或对已有试题结构进行划分.

SOLO分类理论反映的是学生学习质量而非发展阶段，彼格斯提出“学习周期”的概念，也就是说，在学生数学学习中，SOLO分类理论中的五个思维技能水平是不断反复出现的［4］.例如学生在学习“有理数加减法”时可能表现出较高层次思维技能水平，而在学习“代数式的值”时却表现出困难或者很难拔高.所以根据SOLO分类理论设计数学中每一节、每一单元、每一专题的教学目标，再从学生目标完成情况角度出发，可以让教师更加准确地、合理地、科学地对学生每一节、每一单元、每一专题的学习情况进行划分，进而开展更有针对性的分层辅导，让处在不同思维技能水平的学生都能得到应有的提高.

（二）划分难度问题，设置合理坡度，助推学生思维水平向高阶发展

叶澜教授曾提到“好的数学问题是驱动学生思维的有效载体，数学教师关注数学课堂教学过程中的问题设置是新基础教育成功的关键指标之一”［4］.问题设置的主要目的是引导学生思考的方向，激发学生解决问题的积极性.因为学生知识基础、认知结构、思维能力等方面存在差异性，对某一问题有的学生会觉得简单、有的学生会觉得难，这都会影响学生学习的积极性.为了让各个层次的学生都能参与其中，都能有所收获，教师可以根据SOLO分类理论将某一有难度的问题进行划分，分为4个层次水平，设置合理的坡度，助推学生从较低思维结构向更高层次思维水平发展.

例如，“代数式的值”课后习题是摆放餐桌和椅子的问题（如图5），根据SOLO分类理论，教师可以为各个思维水平层次的学生设置如下问题：

图5

（1）单一结构水平：3张餐桌需要多少把椅子？（学生从图中数一数即可）

（2）多元结构水平：若有4张餐桌需要多少把椅子？（学生按照规律画出图形再数出数量即可，不必理解整体结构）

（3）关联结构水平：每多1张餐桌需多摆放多少把椅子？餐桌左右椅子数量是否有变化？（学生找到每多1张餐桌需多摆放4把椅子，餐桌左右椅子数量无变化的规律，就需对各个图形信息之间的关系有所认识）

（4）拓展抽象结构水平：n张餐桌可以放多少把椅子？（学生需脱离具体图形、数字，抽象得出一般结论4n+2）

除此之外，同学们有解决此问题不同的方法吗？（1张餐桌放6把椅子，每多1张餐桌需多摆放4把椅子，则有一般结论6+4（n－1）.得出一般结论后再让学生解决第（2）个问题就会很容易）

增加到100张、1000张餐桌呢？让学生感受到用字母表示数和从数学的角度找到、表示出事物的一般规律对人们实际生活的意义，从而激发学生想学好数学的内驱力.

其中“拓展思维结构水平”不局限于题目本身，可进行变式，如将本题餐桌改为竖着摆放：每张桌上下各放1张，前后两头各放2张，则n张餐桌可以放多少把椅子；或提炼题中所蕴含的数学思想、方法等，如通过这道题让学生发现、体会数学中由具体到抽象、由特殊到一般再到特殊的数学思想，有助于学生初步建立数学建模思想等.

（三）把握学生思维的前结构水平，注重数学知识的“实际意义”

前结构水平是指学生在学习新知之前，头脑中已有的知识结构，如已有的知识基础、生活经验、情感体验等.这些已有的前结构性知识，有的能促进学生的数学学习，有的反而阻碍学生的数学学习.所以教师在教学前不仅要对数学本体性知识进行研究，还要聚焦学情，把握学生思维的前结构水平，注重数学知识的“实际意义”，将其由具体到抽象进行过渡.

例如，很多刚步入初中的学生有丰富的生活经验，有扎实的小学四则运算基础，但在学习“有理数的加减法”时，对法则“有理数加法法则中有减法，而减法法则中又有加法”不理解，导致错误频发.学生的困惑不在于法则，而是缺乏由生活中的具体“赔2元”到数学中抽象的“-2”的认识迁移抽象能力.这时教师就应改变教学策略，从学生思维的前结构水平出发，利用学生的生活经验和正负数的实际意义，将其转化为具有一定生活意义的实际问题.例如计算（-3）+（+6）时，可以根据生活中“赔、赚”来进行分析，“-3”表示第一次赔了3元，第二次赚了6元，那最后到底是赚了还是赔了？赚了多少元或赔了多少元？显然是赚了3元，用+3来表示，所以（-3）+（+6）=+3，同理（+5）+（-7），（-2）+（-3）最后是赚了还是赔了？在学生理解基础上进行归类，引导学生从数学角度，用数学语言归纳得出有理数加法的法则，在让学生利用法则进行计算，从而加强学生对法则的理解和记忆，强化学生计算能力.数学来源于生活，在于理解，而不是机械地运用法则来模仿计算.

这里要注意“注重数学知识的实际意义”并不是将数学课堂生活化，数学课堂的“主题”应是培养学生用数学的眼光、用数学的思维、用数学的语言去发现、分析、描述、解决问题.“注重数学知识的实际意义” 只是数学课堂的“副题”，教学时不能只要“副题”而不要“主题”，更不能为了体现“副题”而忽略“主题”，它们应是有机的结合.例如上面“有理数的加法”这节课，通过生活化的教学，学生已基本会运算，但教师不能止步于此，更不能直接给出有理数加法法则，而是要引导学生从数学角度发现规律、归纳规律，用数学语言总结规律将其抽化为数学知识，在此基础上再回归生活，让学生应用其解决生活中的实际问题，这样不仅体现了“副题”，还可以让学生真切感受到数学来源于生活、服务于生活.