构造几何图形 妙解代数问题

◎杨诗婷 马绍文

(云南师范大学，云南 昆明 650500)

一、前言

“数学思想是数学的生命，是数学的灵魂”.其中数形结合思想是解题中常用的思想，数抽象而形式化，形具体而形象化.数与形对应的思维是分析性思维和视觉化思维，这两种思维在数学解题中都是非常重要的，它们在数学解题中相互作用，互为补充.

数形结合思想一般分为两种，一种是由“形”到“数”的转换，即将几何问题转化为代数问题，将复杂的问题简单化；另一种则是由“数”到“形”的转换，将代数问题转化为几何问题，使问题变得直观易懂.构造图形解决代数问题是数形结合思想的具体应用之一，对于复杂的代数问题，构造特殊的几何图形，将问题和条件直观地展示出来，化繁为简，便于解决问题.本文将通过4个典型例题，分析妙用斜率公式、距离公式和余弦定理构造图形解决代数问题的方法.

二、妙用斜率公式

其中tanα=-y，

整理得3y2+8y+3≤0，

解法二

分析题中的函数可以看作点A(cosx，sinx)和点B(-2，2)所在直线的斜率，则问题就转换为求直线AB斜率的取值范围.点A(cosx，sinx)是单位圆上的任意点，点B是定点，构造图形(如图1)，观察图形发现当直线AB与单位圆相切时，直线AB的斜率取最值.故求出直线AB与单位圆相切时直线AB的斜率即可解决问题.

图1

如图1所示.

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为kx-y-2k-2=0.

因为直线AB与单位圆相切，

所以圆心O到直线AB的距离为1，

评注：解法一用代数法解决该题，解法二则利用数形结合解决该题.二者的区别在于解法一需要将题目所给函数转换为正弦函数，利用正弦函数的性质得到不等式进行解题，而解法二则利用图形直接得到结果.所以解法二较为简便.

分析求函数值域的常用方法有单调性法、换元法和导数法，但是题目中所给的函数式是分式，所以换元后还是分式，求导也会将题目复杂化，函数的单调性也不容易判断，因此利用斜率公式构造图形来求解.其中y可以看成是点A(-2，1)与点B(x2，3x2)所在直线的斜率，则问题就转换为求直线AB斜率的取值范围.

解y可看成是点A(-2，1)与点(x2，3x2)所在直线的斜率，设x′=x2，y′=3x2，则y′=3x′(x′≥0).

故原函数的值域即为点A(-2，1)与直线y′=3x′(x′≥0)上的点(x′，y′)所在直线的斜率的取值范围.

如图2，作射线AC与直线y′=3x′(x′≥0)平行，易得kOA≤y

图2

三、妙用距离公式

(一)妙用两点间距离公式

设点A(3，2)，点B(0，1)，点C(x，x2)，如图3所示.

图3

此时问题转换为求线段AC和BC长度之差的最大值.

由图易知AC-BC≤AB，

当点C运动到点P时，AB取得最大值，

解如图4所示，f(x，y)表示在平面直角坐标系中的动点P(x，y)到定点A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，1)的距离之和.

图4

在△APD中，PA+PD≥AD，当且仅当点P在AD上时等号成立，

在△CPB中，PC+PB≥BC，当且仅当点P在BC上时等号成立，

(二)妙用点到直线的距离公式

例5已知x，y∈R且x2+y2-2x-2y-2≤0，求|x+y+3|的最值.

分析题中待求的式子有绝对值并且有两个变量，用代数方法求该式时首先要去绝对值.因为有两个变量，所以考虑利用平方法去绝对值，但是转换之后式子更加复杂，所以利用代数方法解决该题较困难.观察发现题目中|x+y+3|与点到直线的距离公式相似，同时不等式可以恒等变换为(x-1)2+(y-1)2≤4，即以点A(1，1)为圆心，半径为2的圆内或圆上的任意点到直线x+y+3=0的距离，于是结合点到直线的距离和不等式的几何意义构造图形解决问题.

解x2+y2-2x-2y-2≤0可化为(x-1)2+(y-1)2≤4，

图5

四、妙用余弦定理

如果题目中出现或者经过恒等变换后出现形如x2+y2-mxy(其中m=2cos〈x，y〉)的式子，则可以结合余弦定理a2+b2-2abcosC构造图形解决问题.

分析该题求证的结论很复杂，直接用基本不等式法求证很难.求证不等式的常规方法：先算出不等式左边的最小值，然后再算出不等式右边的最大值，最后将二者进行比较.而不等式中的式子都含有根号，这样解决会使问题复杂化，所以该问题难以用代数方法证明.观察不等式中的式子，从整体性出发，可以联想到“三角形两边之和大于第三边”，而第一个被开方数类似于勾股定理的形式，后面两个被开方数的形式则与余弦定理很相似.所以构造与题意相符的三角形来解决问题.

证明如图6，构造一个四边形ACBD，使AB，AC，AD的长分别是x，y，z,并且∠BAC=90°，∠BAD=60°.

图6

在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=x2+z2-xz，

在△BCD中，BC+BD>CD,

当B点在CD上时，有BC+BD=CD,

图7

当B，C两点均在AD上时取等号，

五、小结

通过对例题的分析和解答，可以发现利用数形结合思想解决代数问题很直观，而且容易理解，同时避免了繁杂的代数运算.但是这种方法有一定的局限性，如果图形不准确、不完整就会导致解答过程出现错误，所以在使用这种方法的过程中要注意图形的准确性和完整性.另外，通过构造图形解决代数问题时，学生需要深刻理解题目，并建立旧知与问题之间的联系.面对具体问题，学生要从不同角度去分析，这样就会使学生对问题的条件、结论以及它们之间的联系和转化方式有了多角度的理解，从而对条件、结论有不同形式的表达，形成多样化的解题方法,进而在解题时达到事半功倍的效果.

总之，数形结合是一种科学的、高效的解题方法，本文分析的“以形解数”的解题方法蕴含数形结合思想.若学生能够将数形结合思想运用到解题中，这将是对学生思维的一种开拓，会使学生在深刻理解知识的同时高效地学习.