数学抽象核心素养视野下高中数学概念课教学设计——以函数概念教学为例

◎徐文倩

(云南师范大学，云南 昆明 650500)

数学抽象是高中数学六大学科核心素养之一.培养学生的抽象能力，对学生理解数学知识的本质意义，形成学习数学的良好习惯，有极为重要的作用，同时也为学生其他学科的学习打下基础.

数学概念是构建数学知识结构体系的基础，正确理解数学概念是提高数学思维的关键.学生只有在理解概念的基础上，才能对数学概念进行有效归类、辨析、应用.数学概念是极为重要的，它能帮助学生掌握知识本质，构建知识框架，进而提高自身数学抽象能力.在实际教学中，教师普遍对解题教学更为重视，而忽视对概念的讲解，这导致学生对概念的理解比较模糊，对数学知识不能做到深层次理解，进而无法全面建构数学知识体系.这严重影响学生数学核心素养的发展.

函数概念在高中阶段非常重要，但在日常教学中，往往会出现重形式轻本质的现象，教师只是简单讲解概念，这使得学生对函数这个较为抽象的概念不能深入理解，只是浅尝辄止.对此，为使抽象的概念形象化，本文以新人教A版必修第一册第三章第一节“函数概念”为例进行教学设计，以期为一线教师提供教学思路.

一、数学抽象核心素养下的教学过程设计

(一)回顾旧知 引起认知冲突

【教师】问题1：生活中有很多运动变化的现象，举个例子：饮水机的水位随着时间的变化而不断降低.我们以前学过的哪种数学模型能描述这种运动变化中的数量关系呢？

【学生】回顾初中接触过的函数概念，口头回答出函数可以描述这种数量关系.

【师生】教师引导学生回忆初中学过的函数类型，并尝试说出函数的定义，教师总结初中学过的函数的定义、图象及性质.

【学生】交流讨论，发表各自意见，没有一致的结论.

【教师】初中学习的函数，关注的是变量之间的依赖关系，对于变量的对应关系及变量的变化范围没有涉及，初中所学的函数定义并不完善.下面我们通过几个具体的实例，深入认识函数.

设计意图：问题1，学生通过思考数学模型引出函数，并通过回顾初中函数的定义再现函数知识，为学习更为完善的函数定义奠定基础.问题2则是让学生认识到初中所学的函数定义是不完善的，需要继续深入研究函数的定义，为函数概念的教学做铺垫.

(二)创设问题情境 推进核心过程

情境1：某飞机飞行到一定高度后保持1080 km/h的速度匀速飞行15 min.飞机飞行的路程表示为s(单位：km)，飞行时间表示为t(单位：h).

【教师】问题1：这段时间内可以列出怎样的解析式？是一个函数吗？

【学生】根据初中学过的函数定义，可以列出解析式s=1080t，s与t是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数.

【教师】问题2：根据这个解析式，这架飞机飞行到一定高度后，飞行0.5 h的路程是540 km，这个说法正确吗？

【学生】飞机保持1080 km/h的速度只有15 min，无法判断15 min之后的情况，因此说法不正确.

【教师】问题3：如何准确表述s与t的对应关系呢？

【师生】学生关注到应该限定t的取值范围，教师引导学生利用集合分别表示s与t的变化范围，让学生初步尝试用集合和对应关系描述函数关系.学生第一次描述存在困难，教师进行补充、整理，总结为：飞机飞行的路程s与飞行时间t的对应关系是s=1080t.其中，t的变化范围是A1={t|0≤t≤0.25}，s的变化范围是B1={s|0≤s≤270}.对于A1中的任一时刻t，按照对应关系s=1080t，B1中都有唯一确定的路程s与之对应.

设计意图：问题1是让学生借助初中学过的函数概念判断该解析式是否满足函数的定义；问题2、问题3是让学生关注变量的变化范围，并学会用更为精确的语言来描述函数关系.

表1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况

【教师】问题1：根据表格1，恩格尔系数r是年份y的函数吗？

【学生】学生独立思考，有些学生可能认为r不是y的函数，教师在此基础上继续提问.

【教师】追问1：根据表格，你能找到2008年的恩格尔系数吗？这个值是否唯一存在？

追问2：对于数集A2={2006,2007,2008,…,2015}中的任意一个值y，你能找到对应的r值吗？

【师生】通过追问，学生回忆起表格也是表示函数对应关系的一种方式，教师对此加以解释.

【教师】问题2：参考前面给出的描述函数关系的方法，r与y的对应关系应如何表述呢？

【学生】小组尝试用集合与对应关系的语言描述函数，选择小组尝试对其进行精确表示.教师对学生的表述进行评价、补充.学生给出的函数值集合有可能是表中r的10个值，将其记为C2.此时，教师加以肯定并指出：根据恩格尔系数的定义，r的取值范围是B2={r|0

设计意图：学生在初中接触到的函数对应关系大多是用解析式进行表示的，因此他们理解用表格描述对应关系相对困难.教师以问题形式引导学生思考，使学生理解除了解析式，表格也是描述函数对应关系的一种方式，为学生独立确定函数的对应关系做准备.

情境3：某科技公司要求高级员工每周工作最少1天，最多不超4天.该公司高级员工的工资标准是每人每天1080元，按周发放工资.

【教师】问题1：根据问题情境，如何确定一位员工每周所得的工资？

【师生】教师引导学生结合情境2中的问题1，回忆初中学习的三种描述函数关系的方式.同时根据情境3，学生讨论得出表达式w=1080d.表格，图象等均可以确定一位高级员工每周所得的工资.

【教师】问题2：高级员工的工资w是他工作天数d的函数吗？

问题3：参考前面给出的描述，该问题中w与d的对应关系应如何精确表示呢？

【学生】独立回答问题2，同时尝试独立利用集合语言和对应关系描述w与d的对应关系，教师结合学生的描述进行点评总结.

【教师】追问：情境1和情境3中函数有着相同的对应关系，可不可以看成同一个函数？

【学生】对比发现，两个函数只有对应关系相同，自变量和因变量的变化范围不相同.

【教师】进一步引导学生得出判断函数相同的要素是自变量的变化范围和对应关系.

设计意图：通过问题1，学生理解函数对应关系的不同表示，例如表格、解析式等；问题3是让学生模仿情境1、情境2的方法给出描述，让学生熟悉函数对应关系表述的同时，进一步训练学生的抽象概括能力，并通过追问，为学生学习定义域、值域做铺垫.

(三)归纳总结 形成概念

【教师】情境1～3中的函数有哪些共同特征？

【师生】根据上述3个情境，小组内思考交流，利用集合与对应语言刻画函数的过程，总结出函数的共同特征，学生在概括时可能会有遗漏，教师借助表2帮助学生思考.

表2 函数要素

【师生】学生根据上表大致概括出函数的共同特征，教师进行总结.

【教师】我们可以发现在上述情境中函数的对应关系可以用表达式、图象、表格进行表示.实际上，对应关系还有很多表示方法，为了对应关系的表达更方便，数学上一般用符号f表示对应关系.(给出函数的定义，记函数为y=f(x),x∈A，解释f(x)的含义，同时强调f可以用g，h等字母代替，f只是表示对应法则的一种符号.)

【教师】对于y=f(x),x∈A这样表示函数的方法，老师给大家做一个形象的阐释(播放动画PPT)：假设自变量x是一个苹果，它在食品厂进行加工，制作苹果干、苹果汁、苹果脯等的机器就相当于函数中的对应关系，那么一个苹果通过不同的机器制作出来的苹果干、苹果脯或苹果汁就是函数中的函数值y，那么对于任意一个苹果，通过某一种机器只能制作出一种食品.

用数学语言解释y=f(x)：y是x的函数，即x在对应关系f的作用下对应y.

【教师】给出定义域、值域的定义，让学生思考：为什么在上表中，将情境2中函数值的集合，也就是现在定义的值域，写成C2，而不是更具有一般性的B2？

【师生】教师引导学生回看函数的定义，结合集合的内容，学生可以发现集合B是包含值域的，也就是说值域是集合B的子集，从而解释情境2的值域是C2.

【教师】函数的三要素是什么？判断函数相同的条件是什么？

【学生】根据3个情境和函数的定义，总结出函数的三要素是定义域、值域及对应关系.

【师生】教师引导学生回忆情境1和情境3中的对应关系，共同得出函数相同的条件：定义域和对应关系相同.

设计意图：在初中已有函数的认知基础上，学生通过对3个实例进行归纳、概括得到函数三要素，并在运用集合与对应的语言表述函数的过程中，建立起对函数概念的认识，另外，学生借助具体实例，感悟数学抽象的过程，有利于培养学生的数学抽象核心素养.

(四)巩固提升 深化概念

【学生】y=1符合函数的定义：定义域是R，值域是B={1}，对应关系把R中的任意一个数，对应到B中唯一确定的数1.

【教师】与一般函数不同的是y=1将多个实数通过对应关系变成了一个实数.反之，一个实数能通过对应关系变成多个实数吗？

【学生】不能，通过函数关系f:A→B可以将一个实数变成一个实数，或者将多个实数变成一个实数，最终结果只能是数集B有唯一的数与之对应，不能是一个实数通过对应关系变成多个实数.

【教师】在函数概念中，y=f(x)表示y是x的函数.同时我们强调了f可以用g，h等字母代替，f只是表示对应法则的一种符号.那么y=f(x)与y=g(x)是不是同一个函数呢？

【学生】f，g表示的是不同的对应关系，因此这两个函数的对应关系不同，不能看成同一个函数.

【教师】y=f(x)可以简记为f(x)，那么f(x)与f(a)的意义相同吗？

【学生】f(x)表示y是x的函数，这里x是自变量，y是因变量，f是对应关系；f(a)既可以表示自变量为a、对应关系为f的函数，也可以表示自变量为a时的函数值.

设计意图：数学抽象符号是其区别于其他学科的本质特征，学生对数学符号含义的理解程度，决定着他们理解数学概念的深度、广度、灵敏度.以环环相扣的问题落实学生数学抽象的培养，引导学生把握函数概念的本质，引发学生对函数概念更深入的思考，这在一定程度上锻炼了学生的抽象思维，完善了学生的知识脉络.

二、数学抽象核心素养下的概念课教学策略探析

(一)概念教学以“先行组织者”为切入口

在概念教学中，教师要辅以必要的引导性材料，即先行组织者，使学生建立起新概念与已有的知识结构之间的联系，从而使新概念顺利融入知识结构中.

在函数概念的教学中，学生对本文开头提出的问题存在争议，意识到初中所学的函数概念并不完善.基于此，教师创设情境，在问题中完成从“变量关系语言”到“集合-对应语言”刻画函数的过渡，从而抽象出函数的概念.先行组织者的设置，不仅使学生实现对概念的再认识，进而在更高的层次上思考问题，促进数学抽象能力的提高，还能使学生实现概念的迁移，进而形成稳定的数学知识结构.

(二)实现由“教教科书”到“用教科书教”的转变

教科书不是唯一的“范本”，在实际教学中，教师要对教材进行丰富的设计，创设合适的情境，设置合适的问题，使学生循序渐进地从形象化的情境中抽象出概念.

教科书对于函数概念的教学提供了素材，这些素材能充分体现函数的本质.若教师能对素材进行精细的加工，并在关键步骤设置合理的问题引导学生思考，则学生能够循序渐进地从具体的情境、图象、表格中抽象出函数的概念.高中数学概念相对抽象，教师要合理地使用教科书创设情境，设置循循善诱的问题，把抽象的概念具体化，落实学生抽象素养的培养.

(三)合理应用多元表征教学，降低认知负荷

与单一表征的教学相比，应用多元表征对概念进行教学能引导学生对概念进行更为精细的认知加工，从而促进学生对概念的有效内化.

在函数概念的教学中，除了抽象的符号表征，教师还要对函数赋予情境、图象、表格等多种外在表征，使学生在各种表征中提取函数的要素，抽象出函数的概念.概念的多元化使学生理解表征的转换和转译，并能从丰富的具象中抽象出数学符号，提升数学理解水平，对概念的学习产生更浓厚的兴趣，促进深度学习，从而有效降低认知负荷.

(四)结合信息技术辅助概念教学

信息技术为展现情境、动画、表格、图象等提供了最直观的手段，概念的呈现往往需要借助信息技术来完成.

在函数概念的教学中，教师可以利用信息技术展现表示函数的不同方法，如表格、情境、图象等，也可以利用信息技术动态展示函数的对应关系，使学生对函数概念中的关键词“任意”“对应”“唯一确定”有更直观的理解.通过视觉性的冲击，学生能经历由具象到抽象的过程，从而更好地提升抽象素养.

三、结语

高中数学概念更具抽象性和复杂性，学生又面临学业的压力，但教师不能以这些客观存在的原因为由，不重视或轻视概念教学.概念是理解数学知识的基石，概念教学是数学教学中非常重要的一环.因此，为了学生的长远发展和深度学习，教师要通过创设多元的情境，设置合理的问题，辅以必要的信息手段等，构建起概念的抽象及具象间的桥梁，使学生在学习的过程中，把握概念的本质，提升自身的数学抽象素养.