寻味数学思想方法，探索数学解题策略

◎吴小妹

(长乐一中,福建 福州 350200)

引言：数学思想方法不是一种具体的方法，而是一种抽象的数学意识，能够让问题得到更好的处理.数学思想主要包括数形结合思想、转化思想、函数思想、方程思想等，数学解题方法则包括配方法、换元法等.通过在高中数学解题教学中合理地使用各种数学思想方法，可以让学生认识和应用数学知识的能力得到提升，并且让学生机械解题的状态得到改变，使学生学会用更加灵活的方式探索解题思路，掌握某一类问题的解决方法，而不只是解决某一个问题.由此，提高学生的解题素养，提升高中数学教学的整体质量.

一、高中数学教学中几种主要数学思想的分析

1.函数与方程的思想

函数思想和方程思想经常被归为一种数学思想.函数思想是指让学生学会用变化的观点去研究问题中的数量关系，从而建立符合要求的函数关系；方程思想则是要对问题中变量之间的等量关系进行分析以建立方程.一般来讲，高中数学的不等式、方程、三角函数、立体几何等问题的教学中经常会用到函数与方程的思想.

比如，问题：一个正四棱锥S—ABCD，SA的长度是3，那么在这个正四棱锥的体积最大的时候，它的高是多少？这个问题同时考查了学生对立体几何和最值知识的掌握，因此要想快速解决问题，应用函数与方程的思想是最佳的.学生可以先假设这个正四棱锥底面正方形的长是a，那么根据对正四棱锥的了解，可以用a来表示这个正四棱锥的高，有了高和边长，就可以求出这个正四棱锥的体积.在用a表示正四棱锥的体积后，就可以使用求函数最值的方法，将已有的数据代入，求出正四棱锥体积的最大值是多少，进而求出高是多少.这个问题是十分典型的函数与方程构造问题，解题关键在于学生要拥有求函数最值的意识，从而将一个明显的立体几何问题和看起来不相关的函数知识联系在一起，以此找到解决问题的思路.

2.数形结合思想

数学是由数和形两种内容组合而成的，因此数形结合思想在整个数学领域中十分重要.这一思想能够让学生对数学的本质形成更加深刻的认识.实际上，数形结合思想包含着两种具体的思想，也就是以形助数或者以数助形.学生需要结合问题的实际情况，灵活地选择数形结合思想的应用方法，将复杂的问题简单化.在高中数学教学中，数形结合思想的应用十分广泛，如集合问题、函数交点、函数最值等问题.

比如，问题：一个点P在抛物线上，而这个抛物线可以写成y2=4x，那么从这个点P到A(2,1)的距离与点P到这条抛物线的焦点的距离的和最小时，点P的坐标是什么？这是一个涉及了解析几何知识的问题，而解析几何问题往往蕴含丰富的数形结合思想，能够让问题变得更加容易.在这个问题中，学生可以按照题目中给出的条件，将大概的图形画出来，而通过观察画出来的图形，可以找到这个问题中隐藏的一个条件，也就是点P到抛物线焦点的距离和点P到点A的距离之和与点P到这条抛物线的准线的距离和点P到点A的距离之和是相等的.再通过对抛物线进行分析，可以知道点A实际上在抛物线的内部，因此可以通过垂线段最短的知识来发现和最小的情况，进而求出点P的坐标.在解决这个问题的过程中，如果学生一味地使用代数知识解决问题，毫无疑问要进行大量的计算，而且最后很有可能会出现计算错误的情况，但是通过应用数形结合的思想，学生则可以很快地发现解决问题的思路.

3.分类讨论思想

分类讨论思想是一种对学生的逻辑思维发展有重要意义的思想，应用这一思想的目的是通过让学生对问题进行多种形式的表达，确保学生可以进行深度的探索，使学生在更加完善的思考中获得逻辑思维的提高.在高中数学解题教学中应用分类讨论的思想，需要教师结合对学生思维水平的了解，组织学生开展多元化的讨论以及实践活动，让学生形成分类解答的思想，从而更好地达到数学思想渗透的目的.

比如，问题：假设一个等比数列的公比为q，而这个数列的前n项和是大于0的，那么q的值是多少？这个问题的题干很简单，但是其中不仅考查了学生对等比数列前n项和公式的掌握，也需要学生意识到问题所涉及的多种情况，能够对各种情况进行讨论，从而顺利地解决问题.在实际解决问题的过程中，学生首先可以根据对公比概念的认识，将q的数值分成大于1及小于1这两种情况，接着再去解决，这样才能更好地找到解决问题的关键点.

4.转化与化归思想

转化和化归是两个概念，但是存在很大的相似性.化归是指将问题按照从未知到已知、从困难到简单等方向来进行转化，从而换一种角度思考问题，找到解决问题的有效方法.高中阶段的数学问题中往往包含复杂的条件，需要学生用到较多的知识来思考，而当学生对某一个问题找不到解决的思路时，就可以尝试应用转化或者化归的思想，将其中的条件转化成自己更加容易理解的条件，这时往往可以很快地找到思路，让问题顺利地解决.

比如，向量问题：在一个三角形ABC中，如果存在AB·AC+2BA·BC=3CA+CB，并且角A、B、C对应的边分别是a、b、c，那么sinC的最大值是多少？这是一个明显的三角形问题，但是其中却涉及了向量，导致很多学生无从下手.实际上，通过转化的思想将其中的向量转化成学生更加熟悉的角或者边，可以让学生很快地找到解决问题的方法.在这个问题中，学生可以使用正弦定理或者余弦定理来进行转化，从而得到关于cosC的一个表达式，进而通过sinC和cosC之间的关系来探索结论.

二、高中数学解题方法的讨论

数学思想和数学方法之间存在重要的联系，如果将数学思想称为数学问题解决的思想基础，那么数学方法则可以称为数学解题的实践者.在高中数学解题教学中，仅仅让学生掌握各种数学思想是不够的，只有让学生懂得将数学思想和数学方法结合在一起，才可以让学生获得数学解题的能力.而在高中阶段的数学解题中，数学方法主要包括求导法、数学归纳法、换元法等.

1.求导法

求导法是一种在解决函数问题的过程中经常会用到的方法，在解决数列问题时也经常通过构造函数的方式求解.

2.构造法

构造法是指学生在遇到不容易解决的问题时，可以结合对问题中条件的理解，以新的观点来构造新的图形或者函数模型，从而用新的研究对象来更好地探索问题.构造法在向量、三角函数等相关问题中经常会用到.

3.反证法

反证法的基本原理是，如果原命题的反命题是正确的，那么将命题中假设的条件作为这个问题推理的基础来推断假设和结论之间的矛盾，最终确定原命题是否真的成立.在使用反证法解决问题的时候一般要经过三个步骤：首先是对结论的对立面进行分析，同时做出假设；其次是在做出假设的过程中，需要考虑问题条件的多样性，必要时进行分类讨论；最后通过对结论进行分析，观察假设推导出的条件是否和已知的定理存在矛盾，从而判断原结论的正确性.

4.换元法

换元法是指用其他的变量来替换原来问题中的变量，从而实现问题的简化.在高中阶段经常使用的换元法包括整体换元、三角换元等.学生需要灵活地使用知识来寻找最适合的换元方式.

比如，问题：已知a2+b2=1，m2+n2=1，试着证明|am+bn|≤1.通过观察这个问题的内容，学生可以很快地联想到三角函数中正弦与余弦的关系，因此可以使用换元的方法进行探索，用三角函数的性质来解决问题.

三、引导学生利用数学思想方法解题的策略

1.从根本上重视数学思想方法的教学

数学思想方法是学生解决数学问题的法宝，能够让学生的解题效率得到大幅度的提升，但是如果教师仅仅寄希望于在解题教学中向学生传授数学思想方法，很难让学生领悟数学思想方法的价值.只有在教学中加强数学思想方法的渗透，让学生学会应用数学思想方法解决问题，才能使学生理解并且接受数学思想方法，在潜移默化中提高解题能力.

在当前的高中数学解题教学中，很多教师没有正确认识到数学思想方法的重要性，并且教材上也缺乏专门的引导，导致学生无法系统地学习数学思想方法，给学生掌握数学学习带来了阻碍.因此在实际的教学中，教师需要改变自身的观念，认识到数学思想方法的重要性，将数学思想方法的内涵渗透到教学的导入、探究等多个环节，提高数学思想方法在高中数学解题教学中的应用程度.

2.系统分析数学思想方法在教材中的分布情况

教材是教师教学的主要材料，也是学生解题能力获得提升的重要引导，高考数学题也是在教材的基础之上设计出来的，因此只有摸透教材，才可以给学生的解题带来科学有效的引导，帮助学生将各种数学思想方法应用到自己的解题中.在当前的高中数学解题教学中，存在教师忽视教材价值的问题，很多教师一味地使用高考题、练习册等作为学生学习的主要材料，却忽视了用教材来夯实学生的基础，导致学生对习题中数学思想方法的渗透方式无法形成正确的理解.因此，教师要改进做法，重视教材的价值，找到数学思想方法和教材知识之间的融通点，引导学生进行深入的研究.教师可以和学生一起对教材上的知识点进行总结，首先思考各个知识点都可以渗透哪些数学思想方法，接着引导学生进行探究，想一想每节中的经典题型都涉及了哪些数学思想方法，从而让学生摸清解题的规律.

3.在平时的作业中渗透数学思想方法

学生的解题能力和数学思想方法的掌握水平之间存在正反馈的关系，因此只有让学生多进行解题训练，才可以使学生掌握数学思想方法，并且使学生的解题能力得到提升.在高中数学解题教学中，教师可以利用作业布置来渗透数学思想方法，并且在讲解作业的过程中要多给学生机会来说一说自己的解题思路，进而在潜移默化中提高学生数学思想方法的掌握水平.

四、引导学生利用数学思想方法解题的注意事项

1.关注学生的兴趣发展

数学题在很多学生看来是枯燥的，这给学生运用数学思想方法解决问题带来了阻碍.因此，在实际的解题教学中，教师要加强对学生的兴趣培养，改变学生认为数学是枯燥、乏味的印象，让学生意识到数学题也可以充满乐趣.教师可以根据教学内容的特点给学生布置一些趣味性的习题，并且适当地使用信息技术手段，让学生带着兴趣去解决问题，使学生的解题能力获得有效的提升.

2.积极引导学生进行解题方法的对比

在高中数学解题教学中应用数学思想方法，需要教师结合实际情况来引导学生进行方法上的对比，从而让学生意识到数学思想方法的便利性，增强学生对用数学思想方法解题的接受度.很多学生对数学思想方法的重要性理解不够深刻，认为只要最终可以解决问题，使用什么方法都是可以的，这导致学生经常要走很多的弯路才能解决问题.对此，教师要引导学生以正确的方式理解和观察数学思想方法的解题价值，让学生可以突破自己的认知障碍，获得解题素养的提升.

3.加强对数学思想方法解题的研究

在渗透数学思想方法的过程中，教师要坚决避免形式化的问题，以免学生生硬地使用数学思想方法解决问题.教师要结合学生的实际需要，和学生一起对问题进行分析，引起学生的思考，让学生可以通过猜想、举例、验证等多种方式来探究问题，进而使学生学到“活”的解题方法.如果我们直接将学生带入已经搭建好的解题框架中，很容易导致学生思维僵化，如此就失去了用数学思想方法解题的意义.

结语

在高中数学解题教学中，教师要改变过去教学中一味让学生记住解题思路、大量做题的方法，积极引导学生使用数学思想方法解决问题，让学生可以更高效地解决问题，同时在对数学思想的欣赏中体会到数学的美感，增强数学学习兴趣，提高数学探究水平.教师要对数学思想方法在数学解题中的重要性进行认真的分析，并且加强对学生的引导，帮助学生掌握数学思想方法在解题中的应用，从而让数学思想方法在高中数学解题教学中发挥出真正的价值.