浅析初中数学动点问题解题策略

薛加付

(江苏省灌云高级中学城西分校 222200)

初中数学的动点问题有着较强的灵活性，出题形式各异，解题方法也不尽相同.在做动点问题的时候需要掌握一定的思路，把握住题干的关键之处，将题干分解成一系列小的问题，再进行逐一分析，逐一突破.动点问题中主要包含图形转换、三角函数等问题，对学生的解题思路与技巧要求较高，因此此类题型也比较困难.在教学过程中，教师要对这些类型的题目重视起来，进行有针对性地指导，促使学生对动点问题的分析与思考，掌握解题策略,培养解题思维，提高数学学习能力.

1 动点问题的现状

1.1 数量关系混乱

解决动点问题的关键之处在于学生是否能够理清楚其中的数量关系，然而在现实的做题过程中，学生对于这一部分的分析能力偏弱.由于动点问题在几何中的运用使得数形结合，题目中还会出现一定的变量与常量，这也就导致了学生在做题的时候常常理不清楚各种数量关系以及它们之间的关系，这就需要学生在解答的过程中格外细心.

1.2 空间感的缺失

动点问题中最大的一个特点就是它有一个或者若干个点是运动的，在这种情况下，学生必须要具有一定的空间感能力，展开合理的想象并且根据题意进行图形绘制，这种动态的空间感想象，对于一部缺失空间感或者空间感差的学生来讲，还是有较大的难度的，这也就导致他们在做题时，无法把握题目中的运动情形.

1.3 找不准切入点

动点问题在初中数学中的应用内容比较多，部分学生在做题时，对问题的类型不太明了，分不清类别.在处理这类问题时，要找准解题的切入点.具体来看，动点问题与图形的结合中主要包含三角形、四边形、多边形等，此外还有一些与直线和函数的问题等.不同类别的动点问题，解题方法也是不同的.对于那些类似的图形结合的动点问题，在一定程度上是存在相似的解题思路的.因此，在做动点问题的时候，学生要学会找准切入点，判断题目类型，结合自身知识对题目进行分析与解决，同时也要多下功夫提高自己的解题能力.

2 动点问题的解题策略

2.1 动静结合，找准数量关系

动点问题的实质是在运动场景下的问题.动点问题在实际的解题过程中是具有一定技巧的，动静结合的同时，必然存在着动中有静、静中有动的规律特点.这些问题，除了教师要在课堂上进行动点问题的演示与指导，还需要提高学生在这方面的理解.其中最主要的是，学生要搞清楚题目中的变量与常量以及它们之间的关系，运用动静结合的方法,找到解题的思路.如题:在正方形ABCD中，P是BC上的一个动点，其中，∠APE是直角，正方形的外角∠DCF的角平分线CE与PE相交于点E，证明:AP=FP.在解这道题时，首先需要画图，然后再根据教师的指导，利用全等三角形的相关知识进行证明，P是一个动点，所以其所在的线段不能直接作为解题的条件，这就需要老师引导学生思考点P运动到哪里才能够出现适合证明全等三角形的对应条件呢?经过引导，学生很快可以想到，P点到达BC的中点时，可以转化成为一个静态的点，这时问题就可以迎刃而解了.

2.2 学会画图

在动点问题的解答过程中，辅助性解题画图是必不可少的.很大一部分同学解决不好此类题目一个重要的原因就是不会画图.而不会画图又分很多种情况，具体包括绘制错误、找不到绘图信息甚至不会画图等等.这些情况的出现都与学生空间感的差异有一定的关系.另外，对于题目理解得不透彻，也是画图画不清晰的一个原因.动点问题的“动态”特质，决定了它是运动着的场景，而运动体现在数学题目中又是一个十分抽象的状态，这就要求学生必须要学会辅助性画图解题的技能.如何锻炼自己的这方面能力呢？首先，对于所给题干，一定要将已知条件罗列清晰，根据所有的已知条件，将简单的几何图形勾勒出来，并且将已知条件进行标注；再者，整理好已知条件后，要将题干隐形的已知条件挖掘出来.例如：正方形就说明它的边长长度是一样的；等腰三角形就说明这个三角形的两条边是相等的；而直角三角形，说明是满足勾股定理的等等.这些隐形的已知条件也就是数学学习的基础性知识，需要学生在日常的学习中有一定的积累；最后，根据所有整理的已知条件，将问题代入，完善图形，进行题目的解答.绘图辅助解答会大大降低动点问题的难度，是学生对于解答动点问题一个非常便捷且有效的学习方法.除此之外，培养学生的空间感也可以从日常的教学中入手，教师应当有意识地对于空间图形进行演示教学，引导学生一起积极思考，有意识地构建出适合自己的空间想象体，为解答问题提供便利.

2.3 找准解题切入点

对于不同类型的动点问题，解题的方法也存在着一定的差异.但对于相似类型的题目而言，在解答时候也是存在着相似之处.所以，分类学习、归纳学习对于初中生来讲也是非常重要的.只有弄清楚大的类别，才能够找准题目的切入点，结合自己所学的知识，对动点题目进行思考与分析.动点问题所涉及到的类型多种多样，学生在解答题目的时候也要分门别类，了解不同类型的解题思路.比如说，在做题时候，要明白这些问题是三角形和多边形中的动点，还是在线段上的动点；是多种图形结合起来的动点还是单一的动点；是线段和的动点还是线段差的动点；是求动点所组成的图形面积还是证明组成图形的一些条件等等.通过对题干进行透彻的分析，找准解题切入点.学生对于这些类别有所分辨之后，解题就会容易很多.例如,在线段动点的解答过程中，学生可以利用两点之间垂线的距离最短进行辅助性解题，突破一些最值的问题；如果是在图形类的动点问题，可以尝试引导学生通过将动点与图形的一些定值以及比值作为突破口进行解答等.这种解题的方法需要教师有耐心地引导，培养学生对于切入点有着很强的敏感度，看到什么图形就可以想到对应的解题切入点，当学生对于切入点可以准确地把握时，解题的技巧也就得到了提升，解题的难度也就会随之下降，动点问题的难度就会有了明显的降低.

2.4 建立变量的函数关系

依据前面动静结合的思路，学生在做题的过程中接触的做题方法主要是利用函数图象来展现动点的变化行迹，以此来建立变量之间的函数关系，通过图形表现出来.这里对变量的研究我们可以采用发展的观点去看待，使得问题解决起来更加顺利.例如：一只小老鼠从A点出发，沿着扇形APE(图1所示)的边缘部分匀速的移动一周，设小老鼠移动的时间为t，小老鼠到A点的距离为S.试求S关于t的函数图像.

图1

分析小老鼠从A→P的移动过程中，小老鼠到A点的距离会随着它的移动时间t的增大而增大，小老鼠从P→E的移动过程中，它到A点的距离S基本保持不变，小老鼠从E→A的运动过程中，小老鼠到A点的距离S会随着时间t的增大而减小，因此S关于t的函数图象就可以展现出来.通过对这个问题思考与分析，在解决相似类型的题目时，学生就会有了一定的解题思路，不再手足无措.

3 函数动点问题典例分析

动点在函数中的运用属于比较困难的一类问题，并且在近些年的中考中出现的频率也有所提高，这无疑提高了解题的难度，所以在教学活动中，教师与学生也要将此类问题重视起来，下面通过一道例题进行浅析.

如图2(a)，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3, 0)和点B,交y轴于点C(0, 3).

图2

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC, 求点P的坐标;

(3)如图2(b),设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.

解答思路：(1) 把点A、C的坐标分别代入函数解析式,得出关于系数的方程组，通过解方程组获得系数的数值.

(2)设P点坐标为(x，-x2-2x+3)，根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标.

(3)先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3,再设Q点坐标为(x,x+3) ，则D点坐标为(x,-x2-2x+3)，然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.

关于函数中的动点问题，学生要打好坚实的基础，老师再进行有针对的指导，共同攻克这一难题，提升学生对于动点函数问题的解答能力.

总之，初中阶段的动点问题是难度较大的，并且在初中阶段所占的比例也比较大.想要突破性的解决动点问题，学生必须要学会相对应的学习技巧与解题思路，学会将动态问题化作静态问题进行解答，降低问题的难度.教师在教学过程中也要有意识地培养学生解答动点问题的解题思维，准备大量的练习题，让同学们在总结中成长，在实践中锻炼自己的解题能力，从而在应对动点问题时可以做到“手到擒来”.