平面3R 串联机器人的动力学轨迹跟踪迭代学习控制

赵涛 刘勇 赵虎 苏博 朱洋 李庚禹

（1 北方民族大学机电工程学院，银川,750021；2 银川能源学院,银川,750100；3 北方民族大学电气信息工程学院，银川,750021）

0 引言

机器人是一种能通过其外表或动作表达自身意图、模拟人的特点的机械或虚拟的人工机构，本质上可看作是一个机电系统。工业机器人主要由基座、关节、连杆和末端执行器等组成，根据自身结构特点，可分为串联机器人、并联机器人和混联机器人。其中，串联机器人是通过关节将一系列连杆串联成开环的运动链，通过利用驱动器驱动各个关节运动从而带动连杆的相对运动，使末端执行器到达合适的位姿。相对于并联机器人，串联机器人具有结构简单、成本低、工作空间大等优点，现已广泛应用于许多领域[1-2]，如各类机床、装配车间。

《“十四五”机器人产业发展规划》明确提出了“机器人+”应用行动，主要从3 个方面开展：一，深耕行业应用，在具有较大规模应用的领域（如汽车、电子、机械、轻工等）着力开发和推广机器人新产品，开拓高端应用市场，深入推动智能制造和智慧生活；二，拓展新兴应用，在初步应用和潜在需求领域（如矿山、石油、化工等），结合具体的应用场景，开发机器人产品和解决方案，开展试点示范，拓展机器人的应用空间；三，做强特色应用，在特定细分场景、环节和领域，形成专业化和定制化的解决方案并复制推广，打造特色服务品牌，形成具有竞争力的新优势[3]。这对机器人的发展与推广提供了空间。

针对平面三连杆（3R）串联机器人，黄自鑫等人[4]针对中间关节为欠驱动的非完整二阶平面三连杆机械臂，提出一种基于轨迹规划的末端点位置控制策略，但是该机械臂的动力学模型忽略了重力项。于航[5]采用欧拉-拉格朗日方程建立二阶平面上的三连杆机构的动力学模型，并利用PID 算法对三连杆机构的末端轨迹进行跟踪控制，但是该三连杆机构的动力学模型也是未考虑重力项。朱秋国等人[6]提出一种三连杆动力学模型作为仿人机器人的简化模型，相比于传统的飞轮倒立摆模型或线性倒立摆模型，该模型具有更高的精确性，同时他们还设计了仿人机器人的站立抗扰动平衡控制器。杨妍[7]将三连杆机器人的系统模型进行简化，采用拉格朗日功能平衡法进行动力学方程的推导，得到在理想的数学模型下与机器人的动力学问题相关的一系列变量参数，更好地分析解决了机器人的运动控制问题。

本文研究的机器人是一种平面三连杆机械臂，其具有3 个旋转自由度。本文首先采用拉格朗日方程建立该机器人的动力学模型，再根据迭代学习控制原理，设计该机器人轨迹跟踪迭代学习控制的控制器，最后通过数值仿真验证该机器人动力学模型的正确性和轨迹跟踪迭代学习控制的有效性。

1 动力学建模

2 控制器设计

迭代学习控制是通过迭代修正达到某种控制目标的改善，其算法较为简单，能在给定的时间范围内实现未知对象实际运行轨迹以高精度跟踪给定期望轨迹，且不依赖系统的精确数学模型，已广泛应用在机器人控制领域。

对于一种三关节的串联机器人，其动态性能可由以下二阶非线性微分方程描述：

3 数值仿真

本文采用闭环PD 型反馈迭代学习控制律进行数值仿真，机器人结构参数如表1 所示。

表1 机器人结构参数

机器人五次迭代学习的跟踪过程如图2 所示，图中红色、蓝色和黑色的粗虚线分别代表关节1、关节2 和关节3 期望的角位移曲线，红色、蓝色和黑色的细实线分别代表关节1、关节2 和关节3 每次迭代的角位移曲线。由图2 可知，经过五次迭代学习，3 个关节每次迭代的角位移曲线越来越接近期望的角位移曲线。

机器人第五次迭代学习的位置跟踪如图3 所示，图中红色、蓝色和黑色的粗虚线分别代表关节1、关节2 和关节3 期望的角位移曲线，红色、蓝色和黑色的细实线分别代表关节1、关节2 和关节3 第五次迭代的角位移曲线。由图3 可知，经过第五次迭代学习，3 个关节迭代的角位移曲线与期望的角位移曲线完全吻合，验证了机器人动力学模型的正确性和迭代学习控制方法的有效性。

机器人5 次迭代中误差范数的收敛过程如图4 所示，图中红色、蓝色和黑色的细实线分别代表关节1、关节2和关节3 的误差曲线。由图4 可知，关节1 角位移的初始误差为0.367rad，关节2 角位移的初始误差为0.094rad，关节3 角位移的初始误差为0.003rad，经过第二次迭代之后，3 个关节的角位移误差基本趋于0。

4 结论

本文研究了一种平面3R 串联机器人，根据拉格朗日方程建立了该机器人的动力学模型，采用机器人轨迹跟踪迭代学习控制方法，设计了迭代学习控制算法的控制器，利用闭环PD 型迭代学习控制律进行数值仿真，经过五次迭代学习，机器人3 个关节每次迭代的角位移曲线越来越接近期望的角位移曲线，其中第五次迭代学习3个关节迭代的角位移曲线与期望的角位移曲线完全吻合。数值仿真结果验证了机器人动力学模型的正确性和迭代学习控制方法的有效性。