问题串教学：数学课堂的“主线拉动”

孙仕贤

［摘要］ 问题是数学课堂的核心要素，课堂主线是一堂数学课的方向引领，将课堂问题结合课堂主线进行串联，形成的问题串对学生数学学习有很大的帮助。本文以“三次函数图像与性质探究”课堂教学为例，基于问题串探究教学案例，通过教后反思，结合案例分析，提出设置怎样的问题串可以拉动课堂主线的相关策略。

［关键词］ 问题串；三次函数；课堂主线；数学实验

问题串是指教师在教学过程中根据教学内容和教学目标精心设计出的一系列与本节课逻辑相关的层次性问题。问题串有利于营造和谐互动的课堂氛围，培养学生的数学思维能力，突破教学的重点、难点。在高中数学教学中，让学生从简单的特例入手，再不断地改变已知条件设置问题，提高思维难度，这种螺旋上升式的问题串教学能极大地推动学生思维水平的发展。

如何设置问题串是让一堂数学课具有灵魂的关键。问题串的设置应围绕一个主线进行，每一个问题都不能独立存在，而应由一根绳子一般的主线所串联起来，脱离了主线串联的问题串很难有效地达到预期的课堂效果。本文中，笔者以一節公开课“三次函数的图像与性质探究”为例，研究问题串教学拉动数学课主线的积极影响，并给出了运用问题串来拉动课堂主线的策略。

一、三次函数问题串探究教学意义

三次函数是高中数学重要的一类函数，很多典型的综合大题都是以三次函数为载体而展开的。同时，三次函数的导函数是一个二次函数，学生可以利用学过的二次函数相关经验，类比研究三次函数的图像与性质。

因为涉及函数图像研究，所以有效地在课堂体现数学抽象、逻辑推理、直观想象的数学核心素养是本节课的重中之重。学生对用导函数研究函数性质并不陌生，但确定准确、可行的函数图像研究方向，学生还有一定的困难。其次，能否将抽象的数学代数式和直观的函数图像关联与对应起来，这反映出一种很重要的数学思维能力——数形结合，而这也是本节课的研究主题之一。此外，对于三次函数的图像分类方式，从图像的直观呈现到最后的确定代数上的分类标准，其间的过程让学生深刻感受到了分类讨论思想的重要性，如何寻找分类的标准，也是学生需要掌握的一项重要能力。

因此，本节课为了达到训练学生数学思维和核心素养的目标，通过设置探究活动和设计问题串的形式，将三次函数的图像与性质探究过程经过一系列的小组探究活动、小组问题讨论、学生数学实验、学生课堂总结展示等方式，用问题串将各项活动串联起来，让学生由表及里、从具体到抽象、从复杂到简化地在课堂上完成了三次函数的图像与性质探究。这样的问题串教学模式，将整节课连成片，学生学习层次逐渐递进，主线清晰，课堂上学生互动频繁，课堂效果尚佳。下面笔者截取课堂中部分问题串的实录进行展示，并对设计内容进行分析和探究。

二、课堂问题串设计分析

（一）复习回顾，旧问题引入新知

函数本不是学生陌生的内容，研究具体函数的基本思路学生也已具备，但在高二下学期这个节点，考虑到本节内容和高一函数知识的纵向联系，通过设置问题串，利用合适的数学问题情境有助于学生回顾研究三次函数所需的预备知识，这样有利于课堂活动的开展及后续问题串的设置。课堂问题串如下：

问题一：在初中，我们已经学习了二次函数，下面老师想请大家来一同回顾下，对于一般的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，b，c∈R）中，系数变化对函数图像有什么影响？

问题二：对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），其定义域为R，它的函数图像是什么样的呢？

通过回顾二次函数相关知识，学生体悟到函数解析式中系数对图像的影响，同时也为下面开展一般的三次函数图像与性质探究打下知识基础。课堂上，学生对二次函数的性质掌握得很熟练，但当新的问题出现时，对于如何进一步探究表现出手足无措的情况。课堂上的这一状况让笔者更加坚定本节课对学生函数过往知识复习是有必要的。这样的课堂问题串让学生产生了知识需求感，从而奠定了这节课探究新知的基调。

（二）数学实验，主问题探究新知

数学课堂往往充满了思维的碰撞，但数学的抽象性是学生学习数学知识的核心困难。为了让数学课堂更具趣味性，便于学生直观理解相应的数学概念，本节课采用了现代科技手段，开展数学实验的方式，利用问题串进行实验探究，启发与引导学生开展三次函数的探究学习。为了让学生有明确的探究方向，笔者在数学实验环节设置了如下的问题串：

问题一：请同学们打开平板，在Geogebra图形计算器上输入三次函数表达式y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），拖动数轴改变a、b、c、d的取值，观察三次函数图像的动态变化，并思考：根据你的观察，当a、b、c、d变化时，图像会有哪些可能的情况？

问题二：我们想知道各系数对三次函数图像的影响，其实就是研究各系数对函数单调性的影响，你会选择什么知识作为你研究一个新函数图像与性质的工具？

问题三：请大家尝试绘制三次函数y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的导函数y'=3ax3+2bx+c图像，你会画出哪些情况呢？

（学生活动后，学生代表展示成果）

问题四：你画出这些图形的分类标准是什么？

问题五：现在你能根据导函数的分类情况，画出对应原函数的图像吗？

问题六：那我们可以得到什么样的探究结论？

（学生活动，根据导函数图像绘制原函数图像，总结结论，填写总结表格并展示）

第二部分的问题串设计是本节课新知探究的重点，为了让学生直观感受到系数改变对图像的影响，笔者结合GGB图形计算器设置探究问题串，引导学生观察图像，得出大致的图像规律。

在这个环节中学生获得了充足的数学实验探究时间，得到的图像分类也在其他同学的补充下完整呈现。这也和上一个环节中的问题设置有关联，学生在产生一探究竟的欲望后，他们对于数学实验的探究观察就会愈发的细致，因此得出的结论也会趋于准确。

有了直观的分类后，对于其背后隐藏的数学知识，笔者也通过设置问题串的方式，引导学生思考其理论依据，帮助学生确立研究该数学问题的工具和方法。在这样的探究后，学生便较好地掌握了如何研究函数图像与性质的基本方法和工具，这对以后深入学习函数、导数知识起到了重要的铺垫作用。

在课堂上学生对笔者设置的问题给出了准确回答，从选择研究工具为导数，再到探究导函数图像和原函数图像的对应关系，他们在对问题的不断深入中加深了对知识的理解，最终由学生自主探究出相关结论，达到笔者设置问题串的目的。

（三）知识拓展，问题串应用新知

检验所学内容是否掌握的方式无外乎能否有效地应用。三次函数的学习除了掌握其图像和系数关系，导函数和原函数图像关系之外，还应注重数学思想方法的学习。本节内容涉及了分类讨论、数形结合等数学思想方法，体现了数学抽象、数学建模、直观想象等数学核心素养。因此，笔者设计了有关三次函数零点个数的问题串。

问题一：结合三次函数的圖像和性质，请同学们思考三次函数的零点会有哪些可能的情况？

问题二：以上的零点情况都有哪些约束条件？

学生在三次函数图像的分类标准下思考三次函数零点问题，这对培养分类讨论思想大有裨益，也能让他们明白掌握思想方法比死记硬背结论更加有效。

课堂上，学生经过问题串思考，对于这个拓展探究基本上有了研究方向，很快就通过图像分类，确定分类标准和分类情况，得出最终结论。不难发现，本节课的问题串设置达到了提升学生研究函数图像与性质的教学目标。

（四）课堂小结，新问题提升新知

适当的课堂总结，是对这一节课的反思与升华，有助于学生构建起三次函数的相关知识体系，并掌握更有效的方法研究函数问题。需要注意课堂的总结并不是简单的知识回顾，而是在回顾知识的基础上，让学生思考这节课在数学思想上的收获和启发，思考老师的问题设置帮助自己掌握了哪些方法与技巧。善于课堂总结与反思，课后整理与思考的学生在数学学习上必会有很大的自驱力。

三、设置问题串拉动课堂主线的策略方法

本节课课堂教学层次由浅入深、由表及里、层次递进，学生在课堂上目标明确，课堂主线脉络清晰，不是在简单的灌输知识，而是在教学生如何学习数学。这样的设计能让数学课堂层次清晰，有助于教师结合课堂主线设置问题串开展数学教学，这也体现了问题串教学的优势所在。问题串教学体现了构建数学知识、探究数学问题、形成数学方法、体现数学能力、展现数学文化等多重教育价值。因此，笔者就设置怎样的问题串以达到拉动课堂主线提出了以下策略与方法。

（一）设置递进性的问题串

因为学生的数学能力和思维存在差异，所以教师在设计问题串时应考虑到全体学生，由易到难、由表及里。这不仅体现了新知识与已学知识的前后关联，也彰显了本节课的思维层次和前后问题的逻辑关联，对学生抓住课堂主线及训练思维有很大帮助。本节课中，笔者以回顾二次函数作为引入内容，到利用现代科技开展数学实验探究三次函数图像与性质不同分类的直观表象，再到选取研究工具并开展深入的图像分类的数学论证，最后到应用图像拓展探究三次函数零点问题。课堂教学活动由问题串层层引导，思维难度层层递进，促进了学生能力的逐步提升。同时，也关注到了所学知识的数学本质，拉动课堂知识与思维主线，提高了课堂效率。

（二）设置探究性的问题串

数学核心素养在数学课堂上的表征是一个从认知到解决再到吸收内化的过程。若仅是零散的课堂提问、几道例题的训练并不足以帮助学生培养数学核心素养。因此，具有探究性的问题串设计往往比大量的例题训练更有助于培养学生的数学核心素养。本节课笔者尝试将现代科技技术带入课堂，利用平板电脑及Geogebra图形计算器开展数学实验探究，根据探究内容精心设置了系列问题串，帮助学生经历了从体验问题到解决问题，最后到内化吸收相关知识的实验探究过程，不仅涵育了数学抽象、逻辑推理和直观想象等数学核心素养，还给学生渗透了数形结合、分类讨论、类比的数学思想方法。在探究性问题串的帮助下，学生不仅高效地掌握了知识内容，还培养了自主思考、自主探究的学习能力。

（三）设置针对性的问题串

一堂有价值的数学课往往是通过问题串引领的，而问题串中的每一个小问题都直指这节课的知识主线和思维主线。例如，在案例问题串中，笔者先是回顾了已学的二次函数，在此基础上提出三次函数图像的研究问题，接着让学生通过实验观察，思考当三次函数各系数变化时图像的不同呈现情况，这样的提问目标指向明确，让学生观察总结，直观地掌握图像分类。其次，第二次活动中，在确定了导函数为研究工具后，让学生根据课前复习的二次函数内容画出导函数的所有可能图像，学生就能顺势而为，很快地根据二次函数开口方向和与零点个数得出了6种可能的导函数图像，并在老师的追问下将6种情况同类合并，得出了4类导函数图像。最后，根据导函数图像绘制了原函数图像，对比直观实验结果，形成了知识结构的串联与统一。笔者在课堂上发现学生的活动目标非常明确，没有出现没有头绪或漫无目的的情况，学生大多课堂思维活跃，紧跟课堂主线节奏。这说明精准的、有针对性的问题串设置对于课堂主线推动和学生思维培养有很大帮助。

总之，问题串因以核心问题为中心，设计目标精准与思维开放的系列问题，可以有效地引导学生围绕知识和思维主线，层层深入地思考数学问题。

［参考文献］

［1］张佳淳，汪晓勤.基于数学史：轨迹概念教学中的问题串设计——以深度学习的原则为指导[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（02）：24-29.

［2］唐晓芳.例谈用“问题串”教学策略来建构高效数学课堂[J].数学教学通讯，2020（12）：19-20.