例谈累加法求数列通项公式的求解策略

江中伟

(广东省梅州市虎山中学 514299)

利用累加法求数列的通项公式是很常用的一种方法，但在教学中学生实际上掌握得并不是很理想.根据本人的教学实践，本文把累加法求数列通项公式的方法细化，分门别类，总结类型和方法.对于an-an-1=f(n)(n≥2)，利用累加法求数列的通项公式an=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)，把它总结为六种类型及对应的求解方法.

1 常规型

例1 在数列{an}中，已知a1=2，an+1-an=2n(n∈N*),则a50=____.

分析由an+1-an=2n，得

a2-a1=2×1，

a3-a2=2×2，

a4-a3=2×3，

……

an-an-1=2(n-1)(n≥2)，

以上n-1个式子相加可得

又a1=2，所以an=n2-n+2(n≥2).

故a50=2500-50+2=2452.

例2 在数列{an}中，已知a1=2，an+1-an=2n(n∈N*)，则a9=____.

分析由a1=2，an+1-an=2n可得

a2-a1=2，

a3-a2=22，

a4-a3=23，

……

an-an-1=2n-1(n≥2)，

以上n-1个式子相加可得

an-a1=2+22+23+…+2n-1=2n-2.

所以an=2n-2+a1=2n.

故a9=29=512.

点评是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成an-an-1=f(n)(n≥2)，或者an+1-an=f(n)的形式，其次还要用到等差数列或等比数列的前n项和公式.

2 换元型

例3 在数列{an}中，已知a1=13，(n+1)an+1-nan=2n+1(n∈N*)，则下列说法正确的是( ).

A.an+1≥an

B.an+1≤an

C.数列{an}的最小项为a3和a4

D.数列{an}的最大项为a3和a4

从而可得a1>a2>a3=a4

点评本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项公式，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，这是利用换元等差累加法求数列通项公式.

利用累加法得

=b1+lnn.

当n=1时a1=2也适合上式，

故an=2n+nlnn(n∈N*).

点评本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项公式，以及运用对数的运算性质，这是利用换元对数累加法求数列通项公式.

3 裂项型

利用累加法可得

4 同除裂项型

所以数列{bn}是单调递增数列.

因此当n=1时,bn即nan的最小值为1.

点评对已知式子如何变形是解题的关键，本题抓住等式两边同除以anan+1后，再裂项利用累加法求解，这是同除裂项累加型求数列通项公式.

分析两边同时除以n(n+1)anan+1可得

点评本题主要考查数列的递推公式的应用，合理利用“裂项法”和“累加法”求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，这是双同除系数裂项累加型求数列通项公式.

5 奇偶正负讨论累加型

例9 在数列{an}中，已知a1=1，an+1=an+(-1)nn(n∈N*)，则a20=____.

分析由已知可得，当n为奇数时，则an+1-an=-n；当n为偶数时，则an+1-an=n.

利用累加法可得a20-a1=-1×9+(-1).

即a20=-9.

6 累加型综合难题

例10 在数列{an}中，已知a1=1，a2n-1+2a2n=1-22n-1，2a2n+a2n+1=1+22n(n∈N*)，求a2n-1.

故a2n-1=22n-1-1.

点评此题的难点是从已知条件中找到关系式：a2n+1-a2n-1=22n+22n-1=3×22n-1，然后利用累加法即可求解.

在例习题教学中要使学生真正理解和掌握解题方法，教师必须选择有代表性的例习题，分门别类，举三反一，帮助学生归纳总结解题方法，学生才能做到举一反三，把方法弄懂弄透，提高解题能力，提升数学核心素养.