解析几何中非对称式的应对策略——一道椭圆题的探究

袁文娟

(江苏省张家港中等专业学校 215600)

在解析几何中，经常涉及直线与二次曲线的交点问题，在计算过程中往往要用到二次方程的根与系数的关系，且相应的目标式子中会出现关于两个交点的横(或纵)坐标x1，x2(或y1，y2)的和或积的式子(往往是关于x1，x2(或y1，y2)对称的)，此时只要利用二次方程的根与系数的关系将其代入即可解决问题．然而在解析几何中，也会出现相关的目标式子不是简单的关于x1，x2(或y1，y2)的和或积的对称式子，也就是出现了非对称的形式，此时就不能通过简单的代换来解决.

1 问题呈现

(1)求C的离心率；

2 问题解决

2.1 第(1)问解析

2.2 第(2)问解析

(m2+3)y2+2my-3=0.

由根与系数的关系,得

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=my+1，m≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y2<0

(m2+3)y2+2my-3=0.

由根与系数的关系,得

设直线l的方程为x=my+1，m≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y2<0

所以tx1y2+2ty2=x2y1-2y1，

①

x1y2-2y2=tx2y1+2ty1.

②

由①+②,得

(t+1)x1y2+2(t-1)y2=(t+1)x2y1+2(t-1)y1.

当t=-1时，得y2=y1，不合题意，舍去；

3 规律升华

探究1根据以上解析几何中的非对称式问题的不同视角分析与解决，进一步拓展与升华，可以将问题归纳为以下一般性的结论.

探究2以上结论1中对应的点P在椭圆中，其实，其点在x轴上非椭圆的顶点即可，一样可以得到相应的定值问题.

4 教学启示

4.1 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法

4.1.1 特点：待证几何量、关系式等不受动点或动直线的影响而有固定的值；

4.1.2 两大解法：

(1)从特殊位置、特殊值等情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)引入变量法，其解题流程为：

4.2 解析几何中非对称式的应对策略与技巧

整体代换法在解决解析几何问题时，可以将一些代数式(乘积、和式、差式等)作为一个整体来处理，在运算过程中加以合理代换，整体应用，是解决解析几何中非对称式中的一个常用技巧；

特值验证法其实就是特殊到一般法，根据特殊位置、特殊值等确定特殊情况下所求的几何量、关系式所对应的情况，再从特殊情况向一般情况来验证，推广到一般情况来展开与应用；

设而不求法凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题时，对于解析几何中的一些几何量、关系式所对应的情况，都尽可能实施“设而不求”，在这个过程中不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多；

引入参数法引入几何量、关系式所对应的部分为参数表示变化量，逆向思维，主次交换，通过直线与圆锥曲线的关系加以变形与转化，将该参数作为常数代入题中加以推理，进而借助待定系数法来分析与应用.

当然碰到具体问题时，还有其他相关破解技巧与应对策略，关键是正确把握题目内涵，抓住问题实质，借助相应的技巧方法加以分析与应用，养成良好的解题习惯，全面优化解题品质，提升解题能力.