二元一次方程与一次函数珠联璧合

周红雨

二元一次方程与一次函数之间存在对应关系：以一个二元一次方程的解为坐标的点在与之对应的一次函数的图象上；反之，一个一次函数图象上的点的坐标一定是与之对应的二元一次方程的解.现举例说明二者珠联璧合求解的过程．

一、化一次函数图象交点为方程组的解进行解题

例1 （2022·浙江·杭州）已知一次函数[y=3x-1]与[y=kx（k]是常数，[k≠0）]的图象的交点坐标是（1，2），则方程组[3x-y=1，kx-y=0]的解是．

解析：原方程组可化为[y=3x-1，y=kx，]

由一次函数[y=3x-1]与y = kx的图象的交点坐标是（1，2），

可知原方程组的解为[x=1，y=2.]故应填[x=1，y=2.]

例2 （2022·陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y = -x + 4与y = 2x + m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组[x+y-4=0，2x-y+m=0]的解为（）．

A. [x=-1，y=5] B. [x=3，y=1]    C. [x=1，y=3]   D. [x=9，y=-5]

解析：将点P（3，n）代入y = -x + 4中，得n = -3 + 4 = 1，∴P（3，1），

[∴y=-x+4，y=2x+m]的解为[x=3，y=1.]

∵ [x+y-4=0，2x-y+m=0]可变形为[y=-x+4，y=2x+m，][∴]原方程组的解为[x=3，y=1.]故选B．

二、化二元一次方程的解为一次函数图象上的点进行解题

例3 （2022·新疆）A，B两地相距300 km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1 h．图2是甲、乙行驶路程[y甲km]，[y乙km]随行驶时间[x（h）]变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：（1）填空：甲的速度为km/h；（2）分别求出[y甲]，[y乙]与[x]之间的函数解析式；（3）求出点[C]的坐标，并写出点[C]的实际意义．

解析：点C为两个一次函数图象的交点，我们可以先求出这两个一次函数的表达式，再联立成二元一次方程组，求出方程组的解，即为交点C的坐标.

（1）甲的速度为[300÷5=60（km/h）]. 故填60.

（2）由（1）可知，[y甲=60x（0

设[y乙=kx+b]，根据题意得[k+b=0，4k+b=300，]解得[k=100，b=-100，]

∴[y乙=100x-100（1

（3）由[y=60x，y=100x-100，]得[x=2.5，y=150，]∴点[C]的坐标为[2.5，150].

点C的实际意义：甲出发2.5 h时，乙追上甲，此时两人距A地150 km.

例4 （2022·河北）如图3，在平面直角坐标系中，线段[AB]的端点为[A（-8，19）]，[B（6， 5）]．（1）求[AB]所在直线的解析式；（2）某同学设计了一个动画：在函数[y=mx+n（m≠0， y≥0）]中，分别输入[m]和[n]的值，得到射線[CD]，其中[C（c， 0）]. 当[c=2]时，会从[C]处弹出一个光点[P]，并沿[CD]飞行；当[c≠2]时，只发出射线而无光点弹出. ①若有光点[P]弹出，试推算[m]，[n]应满足的数量关系；②当有光点[P]弹出，并击中线段[AB]上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段[AB]就会发光. 求此时整数[m]的个数．

解析：（1）设线段AB所在直线的函数解析式为[y=kx+b]，

则[-8k+b=19，6k+b=5，]解得[k=-1，b=11，]∴[y=-x+11][-8≤x≤6].

（2）①由题意可知射线[y=mx+n]过点（2，0），可得[2m+n=0].

②∵[2m+n=0]，∴[n=-2m]，∴射线CD的解析式为[y=mx-2m].

∴[y=mx-2m，y=-x+11，]∴[m=9x-2-1].

∵射线CD与线段AB交于整点，∴整数m由整数x决定，∴[x-2]是9的约数.

∵[-8≤x≤6]，∴[-10≤x-2≤4]，∴[x-2]的值为-9，-3，-1，1，3.

当x - 2 = -9时，m = -2；当x - 2 = -3时，m = -4；当x - 2 = -1时，m = -10；

当x - 2 = 1时，m = 8；当x - 2 = 3时，m = 2．

符合条件的整数m有5个，分别是-10，-4，-2，2，8.

（作者单位：江苏省兴化市安丰初级中学）