以多项式相乘为背景设计的求值问题

葛中梁

多项式与多项式相乘，在未合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积. 只要同学们计算时按一定的顺序进行，不仅可以做到不重不漏，还可以顺利解决以多项式相乘为背景设计的求值问题.

一、乘积中不含二次项、三次项的问题

例1 已知多项式[x2+nx+3]与[x2-3x+m]的乘积中不含有[x2]和[x3]项，求[（m+n）（m2-mn+n2）]的值.

解析：[（x2+nx+3）（x2-3x+m）  ][ =  x4+  （n-3）x3+（m-3n+3）x2+（mn-9）x+3m.]

[∵]多项式[x2+nx+3]与[x2-3x+m]的乘积中不含有[x2]和[x3]项，

[∴n-3=0]，[m-3n+3=0]，[∴m=6]，[n=3]，

则[（m+n）（m2-mn+n2）] [=（6+3）×（62-6×3+32）=243].

例2 已知[（x2+mx-3）（2x-n）]的展开式中不含[x2]项，常数项是[-6]. （1）求[m]，[n]的值；（2）若[a3=m]，[b3=n]，求[（a+b）（a2-ab+b2）]的值.

解析：（1）（x2 + mx -3）（2x - n） [=2x3+2mx2-6x-nx2-mnx+3n ][=2x3+  （2m-n）x2-（mn+6）x+3n]，

根据展开式中不含[x2]项，常数项是[-6]，可得方程[2m-n=0]且[3n=-6]，

解得[m=-1]，[n=-2]；

（2）[（a+b）（a2-ab+b2）] [=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3]

[=a3+b3] [=m+n ][=-1-2] [=-3].

反思：解题的关键是运用多项式乘法法则展开，合并同类项后，令不含有的项的系数为零，转化为含字母系数的方程，从而求值.

二、抄错多项式中的运算符号与字母的问题

例3 在计算[（x+a）（x+b）]时，甲把[b]错看成了6，得到结果是[x2+8x+12]. 求出[a]的值.

解析：[（x+a）（x+6）][ =x2+6x+ax+6a][ =x2+（6+a）x+6a]，

因为其结果是[x2+8x+12]，所以对应项的系数一定相等，可列出方程[6+a=8]，或[6a=12]，解得[a=2].

例4 小刚同学计算一道整式乘法：[（3x+a）（2x-3）]，由于他抄错了多项式中[a]前面的符号，把“[+]”写成“[-]”，得到的结果为[6x2+bx+12]. （1）求[a]，[b]的值；（2）计算这道整式乘法的正确结果.

解析：（1）由题意得[（3x-a）（2x-3）=] [6x2-（2a+9）x+3a=6x2+bx+12]，

[∴][- （2a+9）=b]，[3a=12]，[∴a=4]，[b=-17]；

（2）[（3x+4）（2x-3） ][=6x2-9x+8x-12][ =6x2-x-12].

反思：解题的关键是“将错就错”，利用多项式乘多项式的法则计算，再与给出的结果比较，根据“对应项系数相等”列所求字母的方程，即可获得答案.

三、新定义的特征多项式的乘积问题

例5 给出如下定义：我们把有序实数对[（a]，[b]，[c）]叫做关于[x]的二次多项式[ax2+bx+c]的特征系数对，把关于[x]的二次多项式[ax2+bx+c]叫做有序实数对[（a]，[b]，[c）]的特征多项式. （1）关于[x]的二次多项式[3x2+2x-1]的特征系数对为 ；（2）求有序实数对[（1]，4，[4）]的特征多项式与有序实数对[（1]，[-4]，[4）]的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对[（p]，[q]，[-1）]的特征多项式与有序实数对[（m]，[n]，[-2）]的特征多项式的乘积的结果为[2x4+x3-10x2-x+2]，直接写出[（4p-2q-1）（2m-n-1）]的值为.

解析：（1）根据“有序实数对[（a]，[b]，[c）]的特征多项式”的意义可知：

关于[x]的二次多项式[3x2+2x-1]的特征系数对为[（3]，2，[-1）]；

（2）[∵]有序实数对（1，4，4）的特征多项式为[x2+4x+4]，

有序实数对[（1]，[-4]，[4）]的特征多项式为[x2-4x+4]，

[∴（x2+4x+4）（x2-4x+4）= ][（x2+4）2-（4x）2=x4+8x2+16-16x2=x4-8x2+16]；

（3）根据特征多项式的定义可得[（p]，[q]，[-1）]的特征多项式为[px2+qx-1]，

[（m]，[n]，[-2）]的特征多项式为[mx2+nx-2]，

根据题意得[（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2]，

令[x=-2]，则[（4p-2q-1）（4m-2n-2）=32-8-40+2+2][=-12]，

觀察求值式的系数，将上式两边都除以2，可得[（4p-2q-1）（2m-n-1）=-6].

反思：理解并掌握有序实数对[（a]，[b]，[c）]的特征多项式是解决本题的关键. 在问题（3）中求值时，根据系数的特征巧妙利用整体思想，对恒等式中的x赋予特殊值[-2]，起到了化难为易的作用.

（作者单位：江苏省盐城市盐都区实验初级中学）