怎样由递推关系式求数列的通项公式
2022-11-30王霞瑶
语数外学习·高中版上旬 2022年9期
王霞瑶
由递推关系式求数列的通项公式问题比较常见,常以选择题、填空题出现.此类问题中的递推关系式多种多样,因而解答此类问题的关键是合理变形递推关系式.本文结合例题介绍三个求数列通项公式的技巧.
一、累加
累加,顾名思义是指将多个式子一起相加.若已知的递推关系式形如an+1-an=f(n),则可通过累加来求数列的通项公式.分别令n=1,2,3,…,n,再将这n个式子累加,即可求得数列的通项公式.
一般地,an-an-1=f(n)只满足n≥2的情形,因此通过累加,求得的数列通项公式只满足n≥2的情形,需對n=1的情况单独进行讨论.
二、累乘
对于形如的数列递推关系式,需将n=1,2,3,…,n时的式子累乘,那么相邻两项的分子、分母相互约分,即可得an的表达式,进而得到数列{an}的通项公式.
三、构造辅助数列
对于形如等的递推关系式,在求数列的通项公式时,往往要在递推式的左右同时除以一个常数、取倒数,将其变形为的形式,然后引入待定系数λ,将其变形为,从而构造出辅助数列,再根据等差数列或等比数列的通项公式进行求解.
该递推关系式为分式,于是在其左右取倒数,将其转化为这样便构造出等差数列,只需根据等差数列的通项公式进行求解即可.
由此可见,由递推关系式求数列的通项公式,需先辨别递推关系式的形式,如等,然后采用与之相应的技巧,如累乘、累加、构造辅助数列来进行求解.