怎样由递推关系式求数列的通项公式

王霞瑶

由递推关系式求数列的通项公式问题比较常见，常以选择题、填空题出现．此类问题中的递推关系式多种多样，因而解答此类问题的关键是合理变形递推关系式．本文结合例题介绍三个求数列通项公式的技巧．

一、累加

累加，顾名思义是指将多个式子一起相加．若已知的递推关系式形如an+1-an=f（n），则可通过累加来求数列的通项公式．分别令n=1，2，3，…，n，再将这n个式子累加，即可求得数列的通项公式．

一般地，an-an-1=f（n）只满足n≥2的情形，因此通过累加，求得的数列通项公式只满足n≥2的情形，需對n=1的情况单独进行讨论．

二、累乘

对于形如的数列递推关系式，需将n=1，2，3，…，n时的式子累乘，那么相邻两项的分子、分母相互约分，即可得an的表达式，进而得到数列{an}的通项公式．

三、构造辅助数列

对于形如等的递推关系式，在求数列的通项公式时，往往要在递推式的左右同时除以一个常数、取倒数，将其变形为的形式，然后引入待定系数λ，将其变形为，从而构造出辅助数列，再根据等差数列或等比数列的通项公式进行求解．

该递推关系式为分式，于是在其左右取倒数，将其转化为这样便构造出等差数列，只需根据等差数列的通项公式进行求解即可．

由此可见，由递推关系式求数列的通项公式，需先辨别递推关系式的形式，如等，然后采用与之相应的技巧，如累乘、累加、构造辅助数列来进行求解．