求三角函数最值的三种思路

王慧子

三角函数最值问题涉及的知识面较广，常与三角函数的性质、图象、定义，二次函数的性质、图象，基本不等式、一元二次方程的判別式等相结合，因而解答此类问题的思路较多．笔者对其中的三种思路进行了总结，下面结合实例进行介绍．

一、运用三角函数的性质

若三角函数式可直接化为y=A sin（ωx+φ）+h、y =A cos（ωx+φ）+h、y=A tan（ωx+φ）+h的形式，便可根据正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性求得函数的最值．在求最值时，往往要先根据函数的定义域，求得ωx+φ的取值范围，然后结合三角函数的图象确定函数的最大、最小值．

解答本题，需先利用二倍角公式、辅助角公式将函数式化简为只含有正弦函数的式子，然后根据正弦函数的有界性和单调性求得最值．

二、采用换元法

有些三角函数式较为复杂，其中含有分式、根式、绝对值、多次出现的式子，此时可引入新变量，将三角函数式中的某一部分用新变量替换，将三角函数式转化为关于新变量的三角函数式、二次函数式、指数式、对数式，然后根据基本初等函数的性质求三角函数的最值．在换元的过程中，要关注新旧变量的取值范围．

解答该题，一需注意挖掘隐含条件，即三角形的内角和为，且每一个锐角不能超过二需选取合适的式子进行换元，将三角函数式转化为关于新元的函数式，根据初等函数的性质求得最值．

三、利用基本不等式

基本不等式：a+b≥2√ab（a、b>0）是解答最值问题的常用T具．运用基本不等式求解三角函数式最值问题，需先将三角函数式进行合理的变形，以便配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值．若两式大于0，即可运用基本不等式求最值；若小于0，则需将该式乘以-1，使两式均为大于0，再运用基本不等式求得最值．在求得最值后，还需检验等号成立的条件是否满足题意．

先将已知关系式进行变形，求得tanβ的表达式，而该式为分式，可将分子、分母同时除以tanα，便可构造出两式的和，而利用基本不等式即可求得tanβ的最值，进而得到cosβ的最值．

三角函数最值问题在高考试题中出现的频率较高，且题型多变，同学们需归纳解题的技巧，熟练掌握求三角函数最值问题的各种思路，以便在再次遇到同样类型的题目时，能够做到游刃有余．