半正则理想与Q0-Noether环

陈 丹, 王芳贵, 林诗雨

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

本文恒设R是交换环.众所周知,在整环的环结构刻画中,商域常常要发挥重要作用,所获得的结论也非常丰富.因此,学者们希望把整环的环结构刻画的方法和相关研究推广到有零因子的交换环上.传统地,人们以R的完全分式环T(R)(设S是环R的非零因子乘法封闭集,则T(R):=RS称为R的完全分式环)的行为来代替整环时商域的行为.在实际应用中,T(R)的作用主要限于对正则理想的讨论,即那些包含正则元的理想.例如,整环R是Dedekind整环,当且仅当R的非零理想是可逆理想,把Dedekind整环推广到交换环时,自然地,学者们则把Dedekind环定义为满足正则理想的可逆的交换环.

然而正则理想和T(R)在推广整环上一些经典结果时,也存有不足之处.例如,设R是整环,则R是整闭整环(在R的商域中的整闭包即R自身)当且仅当多项式环R[x]是整闭整环.这一结果推广到交换环时,Brewer等[1]注意到,“R在T(R)中整闭当且仅当R[x]在T(R[x])中整闭环”是不成立的,因而Lucas[2]关注了R的所谓有限分式环Q0(R),即由半正则理想构成的理想乘法系确定的环,这是R的一类比T(R)更大的扩环.借助Q0(R),Lucas[3]证明了若R是约化环,则R在Q0(R)中整闭当且仅当R[x]在T(R[X])中整闭.由此可见,当把整环上的某些结果推广到交换环上时,Q0(R)的行为要好于T(R)的行为.

在文献[3]中,Lucas首次借助R的有限生成半正则理想到R的同态等价类给出了有限分式环Q0(R)的构造.设I是R的理想,若I中包含R的一个非零因子,则I称为正则理想;若存在I的有限生成子理想I0,使得ann(I0)=0,则I称为R的半正则理想.相应地,理想I称为R的非半正则理想,是指对I的任意的有限生成子理想J,都有ann(J)≠0.用表示R的有限生成半正则理想的集合.显然是R的理想乘法系,即R∈,且对任意I,J∈,有IJ∈.设x表示R上的未定元.容易看到,设b0,b1,…,bn∈R,则理想I:=(b0,b1,…,bn)是半正则理想当且仅当多项式

f(x):=b0+b1x+…+bnxn

是R[x]的非零因子(参见文献[4]).因此,Q0(R)更确切地可等价定义为

使得Iα⊆R},

其中T(R[x])表示多项式环R[x]的完全商环,即T(R[x])=R[x]S,这里S表示R[x]的非零因子乘法集.对α∈Q0(R),α也可以明确表示为

本文从对环R与环Q0(R)的相互关系进行对比研究入手,发现Q0(R)的许多性质集中表现在非半正则理想上.为了给出R的理想与环Q0(R)的理想的对比关系,引入了Lucas模和模的Lucas包络概念,并证明了理想I的Lucas包络Q0(I)≠Q0(R)当且仅当I是R的非半正则理想.作为应用,在第3节中也引入了Q0-Noether环的概念,即满足非半正则理想升链条件的环,并证明了关于Q0-Noether环的Hilbert基定理,即R是Q0-Noether环当且仅当多项式环R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether环.

1 环Q0(R)和Lucas模

设M是R-模,定义

tor(M)={z∈M|存在J∈,使得Jz=0},

引理 1.1设M是R-模,f(x)∈R[x].若f(x)是M的零因子,则存在u∈M,u≠0,使得

f(x)u=0.

证明类似于文献[4]中定理1.7.7的证明.

1)M是Lucas模;

Jz=f(J)=g(J)=Jy.

现在假设反之条件成立.对任何f:J→M,则存在同态g:R→E(M),使得对任何a∈J,有f(a)=g(a).记g(1)=z,则

Jz=g(J)=f(J)⊆M,

由条件有z∈M.因此,g:R→M是f的扩张,由命题1.4的1)有M是Lucas模.

命题 1.6设N是Lucas模,M是N的子模,则以下各条等价:

1)M是Lucas模;

证明1)⟹2) 设M是Lucas模,因为M⊆N,故可以假设E(M)⊆E(N).于是可记

E(N)=E(M)⊕A,

则有

z=y+a,y∈E(M),a∈A.

3)⟹2) 显然.

称之为M的Lucas包络.

1)Q0(M)是Lucas模;

2) 若N是Lucas模,且M⊆N,则Q0(M)⊆N,于是Q0(M)是包含M的最小Lucas模;

3)M是Lucas模当且仅当Q0(M)=M;

4)Q0(Q0(M))=Q0(M);

5) 若A是M的子模,则Q0(A)⊆Q0(M).

证明1) 设Jz⊆Q0(M),其中

Jz⊆M⊆N.

注意到z∈E(M)⊆E(N),由命题1.5有z∈N.

3) 由2)即知.

4) 由3)即知.

5) 由于A⊆M⊆Q0(M)以及Q0(M)是Lucas模,由2)得到Q0(A)⊆Q0(M).

其中T(M[x])表示M[x]在R[x]的非零因子构成的乘法封闭集S下的局部化,即

T(M[x])=M[x]S.

显然,H是R-模.

1) 设

2)Q0(M)=H.

证明1) 类似于文献[4]中命题6.4.4的证明.

2) 先证明H是M的本性扩张,即H⊆E(M).

设

其中,ui∈M,i=0,1,…,n,α≠0,则

故

则

故

由dkα=uk,得到对任何i、k,有dkui=bkui=biuk,故Q0(M)⊆H,于是得到Q0(M)=H.

定义

于是Q0(M)作成了一个Q0(R)-模.特别地,Lucas模其实是Q0(R)-模.此外,若A是M的子模,则Q0(A)是Q0(M)的Q0(R)-子模.特别地,若I是R的理想,则Q0(I)是Q0(R)的理想.

下面给出Q0(R)的理想与R的理想的关系.

命题 1.101) 设J是R的有限生成半正则理想,则Q0(J)=Q0(R).特别地,若a∈R是非零因子,则Q0(Ra)=Q0(R).

3) 若I是R的非半正则理想,则Q0(I)是Q0(R)的非半正则理想.

4) 设a∈R,若a是R的零因子,则

Q0(Ra)⊆Q0(ann(ann(a))≠Q0(R).

证明1) 由J1⊆J,故1∈Q0(J).由于Q0(J)是Q0(R)的理想,对任意的r∈Q0(R),有r·1∈Q0(J),故Q0(R)⊆Q0(J),因此Q0(J)=Q0(R).特别地,a∈R是非零因子,因此ann(Ra)=0,Ra是R的有限生成半正则理想,则Q0(Ra)=Q0(R).

Q0(I)=Q0(R).

4) 因为Ra·ann(a)=0,因此

Ra⊆ann(ann(a)),

故有Ra⊆ann(ann(a))⊆R.从而

Q0(Ra)⊆Q0(ann(ann(a))≠Q0(R).

若有Q0(ann(ann(a))=Q0(R),则由命题1.10的2)知存在J∈,使得J⊆ann(ann(a)).于是对任何b∈ann(a),有Jb=0.由于J是半正则的,故b=0,即ann(a)=0,这与a是零因子的事实矛盾,故

Q0(ann(ann(a))≠Q0(R).

2 非半正则素理想

由命题1.10,环R与环Q0(R)之间的联系主要依赖于非半正则理想,下面着重讨论R的非半正则理想性质.

证明设N是I的有限生成子理想,则存在下标k,使得N⊆Ik.由于Ik是非正则的,故annR(N)≠0.因此,I是非半正则理想.

引理 2.21) 设I是R的非半正则理想,则存在R的极大的非半正则理想m,使得I⊆m.

2)R的极大的非半正则理想是素理想.

证明1) 对偏序集

Γ={A|A是R的非半正则理想,且I⊆A},

由于I∈Γ,故Γ非空.用集合的包含关系作为序关系,则Γ就做成了一个偏序集.设{Ai}是Γ中的一个链,由引理2.1可得A=∪Ai是R的非半正则理想.若A=R,因为R是半正则理想,故矛盾,则A≠R,且A∈Γ,故A是理想{Ai}的上界.由Zorn引理,存在R的极大的非半正则理想m,使得I⊆m.

命题 2.3设p是R的素理想,则以下各条等价:

1) p是R的非半正则理想;

2)Q0(p)是Q0(R)的素理想;

3)Q0(p)≠Q0(R);

4)Q0(p)是Q0(R)的非半正则理想;

5)Q0(p)∩R=p.

2)⟹3) 显然.

3)⟹1) 由命题1.10即得.

1)⟹4) 由命题1.10的3)即得.

4)⟹3) 显然.

5)⟹3) 显然.

定理 2.4设I是R的非半正则理想,P是Q0(I)上的极小素理想,则P是Q0(R)的非半正则理想,且P=Q0(p),其中p=P∩R.

假设反之条件成立.设z∈M,令I=ann(z),对m∈-Max(R),由于在Mm中,故存在s∈R,s∉m,使得sz=0,故Im.由引理2.2的1),I是半正则理想,故有J∈,使得J⊆I,于是有Jz=0,即M是-挠模.

命题 2.6对R-模M,以下各条等价:

2)⟹3) 0→A→F→M→0是正合列,其中F是自由模.由命题2.6的2)有F⊆Q0(A).

证明在命题2.6的3)中取A=N,F=Q0(N),M=Q0(N)/N即得.

3 Q0-Noether环

下面借助上节讨论的非半正则理想来引入Q0-Noether环的概念,并讨论其Hilbert基性质.

定义 3.1环R称为Q0-Noether环,是指R的的任何非半正则理想的升链都是稳定的,即若

I1⊆I2⊆…⊆In⊆…

是R的非半正则理想升链,则存在正整数m,使得当m≥n时,恒有In=Im.

定理 3.2对环R,以下条件等价:

1)R是Q0-Noether环;

2)R有关于非半正则理想的极大条件,即R的任何非半正则理想的非空集合必有极大元;

3)R的任何非半正则理想都是有限生成的.

证明1)⟹2) 设Γ是R的任何非半正则理想的非空集合,反设Γ中无极大元,任取I1∈Γ,则I1不是极大元,因此有I2∈Γ,使得I1⊂I2.由于I2也不是极大元素,故存在I3∈Γ,使得I2⊂I3.如此进行下去,则在R中有一个不稳定的非半正则理想升链

I1⊂I2⊂I3⊂…⊂In⊂…

这与R是Q0-Noether环的事实矛盾.因此,反设不成立.

2)⟹3) 设I是R的非半正则理想,令

Γ={A⊆I|A是有限生成的}.

由于0∈Γ,故Γ非空.由假设条件2)知Γ有极大元A.若A≠N,则存在z∈I-A,于是A1=A+Rz是I的有限生成子理想,且真包含A.这与A的极大性矛盾,因此I=A是有限生成的.

I=Rz1+Rz2+…+Rzk,z1,z2,…,zk∈I,

故存在一个m,使得zi∈Im,i=1,2,…,k.因此,有I=Im.于是当n≥m时,In=Im,故该升链是稳定的.

命题 3.3若R的有限生成半正则理想是正则理想,则R是Q0-Noether环当且仅当R满足非正则理想的升链条件.

证明显然正则理想都是半正则理想,从而非半正则理想都是非正则理想.由命题3.3的条件,有限生成半正则理想是正则理想,故半正则理想也是正则理想,从而非正则理想都是非半正则理想,故断语为真.

命题 3.4设R是任何环,则在多项式环R[x]中,有限生成半正则理想是正则理想.

证明设A是R[x]的半正则理想,由文献[4]中习题6.31(2),A中包含有非零因子,从而是正则理想.

结合命题3.3和命题3.4知,R[X]是Q0(R)-Noether环当且仅当R[x]满足非正则理想的升链条件.下面证明关于Q0-Noether环的Hilbert基定理.

设A是R[x]的理想,用Ln(A)表示0与元素a的集合,其中a是某个n次多项式f∈A的首项,则Ln(A)是R的理想.

引理 3.5设A、B是R[x]的非零理想,则有:

1) 若i≤j,则Li(A)⊆Lj(A);

2) 若A⊆B,则对任何n,有Ln(A)⊆Ln(B);

3) 设A⊆B,则A=B当且仅当对任何n,有

Ln(A)=Ln(B).

证明参见文献[10]的引理7.12.

引理 3.61) 设A是R[x]的非正则理想,则对任何m,Lm(A)是R的非半正则理想;

2) 设I是R的非半正则理想,则I[x]是R[x]的非正则理想.

证明1) 反设Lm(A)是半正则的,则存在一个半正则理想J=(d1,d2,…,dn)⊆Lm(A),于是有m次多项式f1,f2,…,fn∈A,使得fi的首项系数就是di,i=1,2,…,n.因为A是R[x]的理想,从而有

f=f1+xm+1f2+x2m+1f3+…+x(n-1)m+1fn∈A.

用c(f)表示f的系数生成的理想,则J⊆c(f).因此,c(f)是半正则的,故f是A中的非零因子.因为A是R[x]的非正则理想,A不含有非零因子,故矛盾.

2) 反设I[x]是正则理想,则I[x]有非零因子f.记f=anxn+…+a1x+a0,则ai∈I,且有

J:=(a0,a1,…,an)

是R的半正则理想,这与I是非半正则的假设矛盾.

定理 3.7(Hilbert基定理) 环R是Q0-Noether环当且仅当对任何n≥1,多项式环R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether环.

证明设R是Q0-Noether环,为证明多项式环R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether环,只需要对n=1的情形进行证明.由命题3.3与命题3.4,只要证明R[x]满足非正则理想的升链条件即可.

设A1⊆A2⊆…⊆An⊆…是R[x]的非正则理想的升链,对任何m、n,由引理3.6,Lm(An)是R的非半正则理想.注意当i≤m,j≤n时,Li(Aj)⊆Lm(An),从而

L0(A0)⊆L1(A1)⊆L2(A2)⊆…

⊆Ln(An)⊆Ln+1(An+1)⊆…

是R的非半正则理想的升链.由于R是Q0-Noether环,故存在m,使得

Lm(Am)=Lm+1(Am+1)=…=

Lm+k(Am+k)=….

设i≥m且j≥m,取定k,使得i≤m+k,j≤m+k,由于

Lm(Am)⊆Li(Ak)⊆Lm+k(Am+k),

则有

Li(Aj)=Lm(Am).

对固定的i,Li(A0)⊆Li(A1)⊆…⊆Li(An)⊆…是R的非半正则理想升链,故存在mi,使得j≥mi时,有Li(Aj)=Li(Ami).

情形1i≥m,由前面的分析知取mi=m即能满足要求;

情形2i

综上可知mi有上界,设为k,于是当j≥k时,对一切i,恒有Li(Aj)=Li(Ak).由引理3.5的3),Aj=Ak,故给定的非正则理想升链是稳定的.因此,R[x]是Q0-Noether环.

反之,设多项式环R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether环,同样只需要对n=1的情况进行证明,即设R[x]是Q0-Noether环.

设I1⊆I2⊆…⊆In⊆…是R的非半正则理想升链,由引理3.6的2)知

I1[x]⊆I2[x]⊆…⊆In[x]⊆…

是R[x]的非正则理想升链.由于R[x]是Q0-Noether环,则存在正整数m,使得当m≥n时,恒有In[x]=Im[x].自然地,当m≥n时,恒有In=Im,从而R是Q0-Noether环.

显然Noether环是Q0-Noether环.

注 3.8Q0-Noether环不是Noether环是显然的.例如,设R是整环,但不是Noether环,则R的非半正则理想只有零理想,从而R是Q0-Noether环,但R不是Noether环.