三阶非线性薛定谔方程新的精确解

刘静静, 曹 彧, 孙峪怀

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

非线性薛定谔方程是量子力学的基本方程.这里,讨论如下形式的三阶非线性薛定谔方程[1-4]

iqx+α2(qtt+2q|q|2)-iα3(qttt+

6qt|q|2)=0,

(1)

其中i是虚数单位,i2=-1,x表示沿传播方向的归一化距离,t表示延迟时间,q=q(x,t)表示电场的缓变包络线,α2、α3是实参数.对非线性薛定谔方程,已经有很多求解方法,例如:修正的简单方程方法[5]、拉格朗日恒等式法[6]、tan(φ(ξ)/2)展开法[7]、变分法[8]以及文献[9-12]给出的方法.特别地,一些学者对三阶非线性薛定谔方程的精确解进行了研究,例如,Liu等[1]通过Hirota双线性法,Zkan等[13]通过扩展的修正子方程方法与Lie对称群方法分别求得了三阶非线性薛定谔方程的精确解.本文通过动力系统分支理论[14-18],试图分析了此三阶非线性薛定谔方程的演化规律,构建了其精确解及一些解所对应的图像,具体过程与结果如下.

1 求解过程

将方程(1)表示成如下形式:

q(x,t)=u(ξ)eiφ(x,t),ξ=x-vt,

φ=-kx+wt+θ,

(2)

其中，u和φ分别代表q的振幅分量和相位分量,v和k分别代表孤子速度和波矢,w是频率,θ是相位常数.现将方程(2)带入方程(1),分离实部虚部得

(3)

α3u‴v3+u′+(6α3u2u′-

2α2wu′-3α3w2u′)v=0.

(4)

对方程(4)积分一次并令其积分常数为0,可得

(5)

比较方程(3)和(5)得到

(6)

其中参数满足如下条件:

对于(5)式,令u′=y,可得如下Hamilton系统:

(8)

以及Hamilton量

(9)

其中

为了得到(8)式平面相图,令

f(u)=-Au3+Bu.

(10)

1) 当AB>0,得到f(u)的3个零点

(11)

零点处的Hamilton量分别为:

h1=H(u1,0)=0,h2=H(u0,0)=

(12)

2) 当AB<0,得到f(u)的一个零点

u3=0.

(13)

假设Si(ui,0)(i=0,1,2)是系统(8)的一个平衡点,则该平衡点处的特征值为

(14)

由动力系统定性理论可得:

1) 当f′(ui)>0时,则平衡点Si(ui,0)是鞍点;

2) 当f′(ui)=0时,则平衡点Si(ui,0)是退化的鞍点;

3) 当f′(ui)<0时,则平衡点Si(ui,0)是中心点.

由上述定理,根据系数A,B可得到系统(8)不同的分支相图,如图1～2所示.

图1 当A>0,B>0时,系统(8)的分支相图

图2 当A>0,B<0时,系统(8)的分支相图

由图1知,当A>0,B>0时,系统(8)有一个唯一平衡点.

是中心点,原点(u0,0)=(0,0)是鞍点.

情况 1当h=h1=0,由过点(u1,0)、(u2,0)、(0,0)的轨道τ1、τ2:

(15)

求解并化简得

(17)

即得到方程(1)的亮孤立波解

exp[i(-kx+wt+θ)],

(18)

其中

当参数A=1,B=4,c=1,-10

图3 A=1,B=4,v=1,-10

情况 2当h>h1=0,由过点(u3,0)、(u4,0)轨道

τ3:y=

其中

(20)

求解并化简得:

(21)

其中

即得到方程(1)的周期波解:

其中

r1=

exp[i(-kx+ωt+θ)].

(23)

图 -10

图 -10

图-10

τ4,τ5:y=

其中,

(25)

求解并化简得:

(26)

exp[i(-kx+wt+θ)],

(27)

其中

2 总结与讨论

为进一步分析、理解和构建光纤传输中的孤波的演化,首先通过波变换将三阶非线性Schrödinger方程化为平面动力系统,进而分析出奇点及其分类、演化轨道.同时还得到系统色散关系和哈密顿量.沿不同演化轨道积分,构建了系列精确解.通过与先前文献[1,13]结果的比较,发现q2.1、q2.2、q3.1、q3.2结果是新的孤立波.研究过程与结果表明,上述方法对求解其他类型的薛定谔方程具有普适性.