一类双扩散对流方程组的解对Lewis系数的连续依赖性研究

王泽

（广东金融学院 互联网金融与信息工程学院，广东 广州 510521）

一类双扩散对流方程组的解对Lewis系数的连续依赖性研究

王泽

（广东金融学院 互联网金融与信息工程学院，广东 广州 510521）

研究了有界区域内多孔介质中一类双扩散扰动模型的解的结构稳定性。首先得到了一些有用的先验估计，然后利用这些先验估计构建了解的差所满足的一阶微分不等式，最后通过积分该微分不等式，建立了解对Lewis系数的连续依赖性结果。该结果表明，用双扩散扰动模型描述多孔介质中的流体流动是准确的。

双扩散对流方程组；连续依赖性；Rayleigh系数；Lewis系数

0 引言

结构稳定性是指模型本身的稳定性。传统的稳定性研究主要针对初始数据的连续依赖性，而实际上方程系数、方程组本身以及边界数据的变化对解的影响很大。文献［1］详细介绍了结构稳定性的本质。本文旨在通过对结构稳定性的研究帮助理解模型（或方程组）在物理中的适用性。在实际建模过程中，数据的测量和计算都不可避免存在误差，误差时刻存在，若一个微小的误差导致解急剧变化，说明方程组是不稳定的，用该方程组反映物理性质亦是不准确的。因此，结构稳定性的研究对物理建模至关重要。

多孔介质在现实生活中广泛存在，很多物质都由多孔介质材料制作而成。对多孔介质中流体方程组解的性态研究已成为数学与力学领域的热点问题。已有结果主要集中在Brinkman，Darcy和Forchheimer方程组。NIELD等［2］和STRAUGHAN［3］对这些方程组进行了广泛讨论。PAYNE等［4］讨论了Brinkman，Darcy，Forchheimer和其他多孔介质方程的Saint-Venant原则，主要研究了多孔介质中流体方程组的空间衰减估计结果。FRANCHI等［5］、PAYNE等［6］、LIN等［7］研究了多孔介质中流体方程组的结构稳定性，近年来，取得了一些新结果［8-21］。双扩散对流问题在现实生活中应用广泛，相关研究可见文献［22-23］。本文将继续研究这类双扩散对流问题，研究其解的稳定性问题，所讨论的方程组含速度、压力、温度以及浓度扰动。有关这类方程组的详细介绍可参见文献［3，24-25］。

下文所用符号约定如下：

初始条件为

下文安排如下：首先得到一些有用的先验估计，接着借助这些先验估计，构建解的差所满足的微分不等式，通过积分该不等式得到需要的结构稳定性结果。有关双扩散扰动模型的结构稳定性的研究，目前尚无文献涉及。由于温度满足的方程与Brinkman，Forchheimer及Darcy类方程组不同，导致无法估计温度最大值。同时由于速度方程组不含拉普拉斯项，使得速度的梯度估计难度加大。所给的温度与浓度扰动的边界条件为Robin边界，此时与均为正常数，如何处理边界项是一大难点。本文通过其他估计较好地解决了这些问题。

1 先验估计

为得到结论，需要以下引理。

对式（6）利用Schwarz不等式，可得

由式（7），即可得到式（4）。

证明 对于梯度，有恒等式

对于式（15）右边第2项，由散度定理、式（2）和式（4），可得

联合式（15）和式（16），可得

令

则

对于式（19），由Gronwall不等式，可得

将式（20）代入式（17），可得

将式（20）代入式（18），可得

令

则

由Gronwall不等式，可得

将式（26）和式（20）代入式（8），可得

证明 利用文献［27］的结果，有

边界条件为

初始条件为

定理1可分解为以下5个引理进行证明。

引理6得证。

对于式（42）右边第2项，由散度定理和式（36），可得

对于式（42）右边第3项，由散度定理和式（36），可得

对于式（42）右边第4项，由散度定理和式（36），可得

联合式（42）～式（45），可得

对于式（49）右边第2项，由散度定理和式（36），可得

联合式（49）和式（50），并由Hölder不等式，可得

证明 联合式（40）、式（41）、式（48）和式（53），可得

令

则有

由Gronwall不等式，可得

定理1得证。

［1］AMES K A， STRAUGHAN B. Non-standard and Improperly Posed Problems［M］. San Diego：Academic press， 1997.

［2］NIELD D A， BEJAN A. Convection in Porous Media［M］. Berlin： Springer，1992.

［3］STRAUGHAN B. Stability and Wave Motion in Porous Media［M］. Berlin： Springer，2008.

［4］PAYNE L E， SONG J C. Spatial decay in a double diffusive convection problem in Darcy flow［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2007，330（2）： 864-875. DOI：10. 1016/j.jmaa.2006.08.013

［5］FRANCHI F， STRAUGHAN B. Continuous dependence and decay for the Forchheimer equations［J］. Proceedings of the Royal Society A （Mathematical，Physical and Engineering Sciences），2003， 459（2040）：3195-3202. DOI：10.1098/rspa. 2003.1169

［6］PAYNE L E， STRAUGHAN B. Structural stability for the Darcy equations of flow in porous media［J］. Proceedings of the Royal Society A （Mathematical，Physical and Engineering Sciences），1998， 454（1974）：1691-1698. DOI：10.1098/rspa.1998. 0227

［7］LIN C H， PAYNE L E. Structural stability for a Brinkman fluid［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2007，30（5）： 567-578. DOI：10. 1002/mma.799

［8］CHEN W H， LIU Y. Structural stability for a Brinkman-Forchheimer type model with temperature-dependent solubility［J］. Boundary Value Problems， 2016，2016（1）： 55. DOI：10.1186/s13661-016-0558-y

［9］CICHOŃ M， YANTIR A. On continuous dependence of solutions of dynamic equations［J］. Applied Mathematics and Computation， 2015，252： 473-483. DOI：10.1016/j.amc.2014.12.047

［10］MA H P， LIU B. Exact controllability and continuous dependence of fractional neutral integro-differential equations with state-dependent delay［J］. Acta Mathematica Scientia， 2017，37（1）： 235-258. DOI：10.1016/S0252-9602（16）30128-X

［11］WU H L， REN Y，HU F. Continuous dependence property of BSDE with constraints［J］. Applied Mathematics Letters， 2015，45： 41-46. DOI：10. 1016/j.aml.2015.01.002

［12］HARFASH A J. Structural stability for two convection models in a reacting fluid with magnetic field effect［J］. Annals Henri Poincaré， 2014， 15（12）：2441-2465. DOI：10.1007/s00023-013-0307-z

［13］LI Y F， LIN C H. Continuous dependence for the nonhomogeneous Brinkman-Forchheimer equations in a semi-infinite pipe［J］. Applied Mathematics and Computation， 2014，244： 201-208. DOI：10.1016/j.amc.2014.06.082

［14］LIU Y， XIAO S Z. Structural stability for the Brinkman fluid interfacing with a Darcy fluid in an unbounded domain［J］. Nonlinear Analysis （Real World Applications），2018， 42：308-333. DOI：10. 1016/j.nonrwa.2018.01.007

［15］LIU Y， XIAO S Z，LIN Y W. Continuous dependence for the Brinkman-Forchheimer fluid interfacing with a Darcy fluid in a bounded domain［J］. Mathematics and Computers in Simulation， 2018，150： 66-82. DOI：10.1016/j.matcom.2018.02.009

［16］LIU Y. Continuous dependence for a thermal convection model with temperature-dependent solubility［J］. Applied Mathematics and Computation， 2017，308： 18-30. DOI：10.1016/j.amc.2017.03.004

［17］李远飞. 大尺度海洋大气动力学三维黏性原始方程对边界参数的连续依赖性［J］. 吉林大学学报（理学版），2019，57（5）： 1053-1059. DOI：10.13413/j.cnki.jdxblxb.2019038

LI Y F. Continuous dependence on boundary parameters for three-dimensional viscous primitive equation of large-scale ocean atmospheric dynamics［J］. Journal of Jilin University（Science Edition），2019， 57（5）：1053-1059. DOI：10.13413/j.cnki.jdxblxb.2019038

［18］李远飞.原始方程组对黏性系数的连续依赖性［J］. 山东大学学报（理学版），2019，54（12）：12-23. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0.2019.539

LI Y F. Continuous dependence on the viscosity coefficient for the primitive equations［J］. Journal of Shandong University（Science Edition）， 2019，54（12）：12-23. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0. 2019.539

［19］李远飞，郭连红.具有边界反应Brinkman-Forchheimer型多孔介质的结构稳定性［J］. 高校应用数学学报，2019，34（3）： 315-324.

LI Y F， GUO L H. Structural stability on boundary reaction terms in a porous medium of Brinkman-Forchheimer type［J］. Applied Mathematics：A Journal of Chinese Universities， 2019，34（3）： 315-324.

［20］李远飞. 海洋动力学中二维黏性原始方程组解对热源的收敛性［J］. 应用数学和力学， 2020，41（3）：339-352. DOI：10.21656/1000-0887.400176

LI Y F. Convergence results on heat source for 2D viscous primitive equations of ocean dynamics［J］. Applied Mathematics and Mechanics， 2020，41（3）： 339-352. DOI：10.21656/1000-0887.400176

［21］CIARLETTA M， STRAUGHAN B，TIBULLO V. Structural stability for a thermal convection model with temperature-dependent solubility［J］. Nonlinear Analysis （Real World Applications）， 2015，22： 34-43. DOI：10.1016/j.nonrwa.2014.07.012

［22］DEEPIKA N. Linear and nonlinear stability of double-diffusive convection with the Soret effect［J］. Transport in Porous Media， 2018，121：93-108. DOI：10.1007/s11242-017-0949-2

［23］HARFASH A J， CHALLOOB H A. Slip boundary conditions and through flow effects on double-diffusive convection in internally heated heterogeneous Brinkman porous media［J］. Chinese Journal of Physics， 2018，56（1）： 10-22. DOI：10.1016/j.cjph.2017.11.023

［24］STRAUGHAN B. Anisotropic inertia effect in microfluidic porous thermosolutal convection［J］. Microfluidics and Nanofluidics， 2014，16： 361-368. DOI：10.1007/s10404-013-1208-7

［25］STRAUGHAN B. Heated and salted below porous convection with generalized temperature and solute boundary conditions［J］. Transport in Porous Media， 2020，131： 617-631. DOI：10.1007/s11242-019-01359-y

［26］WEATHERBURN C E. Differential Geometry of Three Dimensions［M］. London：Cambridge University Press， 1980.

［27］LIN C H， PAYNE L E. Continuous dependence on the Soret coefficient for double diffusive convection in Darcy flow［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008，342（1）： 311-325. DOI：10. 1016/j.jmaa.2007.11.036

Continuous dependence of solutions of a class of double diffusion convection equations on Lewis coefficients

WANG Ze

（School of Internet Finance and Information Engineering，Guangdong University of Finance，Guangzhou510521，China）

This paper studies the structural stability for solutions of a double diffusion perturbation model in porous medium in a bounded domain. We firstly obtain some useful a priori estimates. Using these a priori estimates, we then formulate a first order differential inequality that the solution satisfies. Finally, by integrating the inequality, we get the result of continuous dependence for the solutions on the Lewis coefficient. This result shows that it is accurate for the double diffusion perturbation model to be used to describe the flow in porous media.

double diffusion convection equations; continuous dependence; Rayleigh coefficient; Lewis coefficient

O 175

A

1008⁃9497（2022）03⁃300⁃08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.006

2020⁃06⁃22.

广州市科技计划项目（201707010126）.

王泽（1969—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-5208-5059，男，硕士，副教授，主要从事数据挖掘、人工智能、偏微分方程等研究，E-mail：20-030@gduf.edu.cn.