Bernoulli泛函空间中广义计数算子的表示

周玉兰，陈嘉，孔华芳，薛蕊，程秀强

（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070）

Bernoulli泛函空间中广义计数算子的表示

周玉兰，陈嘉，孔华芳，薛蕊，程秀强

（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070）

得到离散时间正规鞅平方可积泛函空间中广义计数算子的5种表示：（1）量子Bernoulli噪声（quantum Bernoulli noises，QBN）的加权表示；（2）的谱表示，广义计数算子以-计数测度的值域为其点谱；（3）的“对角化”表示，可表示为的标准正交基所生成的一维对角化正交投影算子的加权极限；（4）广义Skorohod积分-广义随机梯度表示，可表示为互共轭算子和的复合算子；（5）对上的任意非负函数，可构造一列有界广义计数算子，恰为该有界广义计数算子的强极限，当可和时，为该有界广义计数算子的一致极限。

算子谱；广义计数算子；对角化算子；广义Skorohod积分；广义随机梯度

0 引言

在量子物理研究中，具有增生、湮灭等性质的物理系统广泛存在，这类系统的演化过程可用Fock空间中的量子随机微分方程描述，其中以增生算子、湮灭算子和保守（计数）算子作为基本过程。量子随机积分实际上是Fock空间中适当的适应量子过程关于基本过程的积分，这是经典It随机积分理论在算子领域的非交换扩张，将随机分析理论提升至算子水平，在不同的分析框架下有不同的扩张形式［1-5］。ATTAL等［6］提出了连续时间Guichardet-Fock空间中的量子随机积分，这为Fock空间中的量子随机积分提供了统一的理论框架，并扩大了量子随机积分的定义域，从而脱离了指数域的限制。在经典随机分析中，半鞅、鞅、局部鞅是适应过程关于基本噪声过程（包括连续时间的Gauss噪声和离散情形的Bernoulli噪声以及带跳的Poission过程）的随机积分。作为该内容在量子理论中的推广，关于量子鞅、量子半鞅及局部量子鞅的表示是很重要的研究内容。为研究量子鞅的性质及表示，有必要对增生、湮灭和计数算子以及相应过程的性质进行深入讨论。

近年来，离散时间正规鞅噪声广受关注，WANG等［7］给出了关于离散时间正规鞅的分析框架，提出了量子Bernoulli噪声（quantum Bernoulli noises，QBN）的概念［8］，并讨论了其典则反交换关系等性质。QBN为中的一列点态增生、湮灭算子，其在离散时间量子随机分析理论研究中具有重要作用，且应用广泛［9-18］，如WANG等［9］提出了量子Bernoulli噪声局部化的概念，并用其构造了一致连续的量子Markov半群（quantum Markov semigroups，QMS）；CHEN［14］用QBN直接构造了QMS，并讨论了该半群不变态的存在性。计数算子为中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN共同构成了离散时间正规鞅泛函框架下量子随机分析理论的基本算子，其在量子随机积分中扮演了重要角色。基本算子性质在很大程度上影响积分算子性质。

WANG等［15］用QBN讨论了一类加权计数算子，认为应用加权计数算子可构造一类QMS。文献［19］讨论了连续时间Guichardet-Fock空间中计数算子的表示问题，可表示为修正点态广义随机梯度族及共轭族的算子值Bochner积分，也可表示为修正随机梯度及Skorohod积分复合，以及的特征值。周玉兰等［20］讨论了在离散时间正规鞅平方可积泛函空间中计数算子的进一步推广，提出了广义计数算子的概念，并证明了这类算子的性质，广义计数算子为中稠定自伴闭线性算子，而有界当且仅当为上的平方可和函数，且与QBN满足一定的交换关系。基于此，本文充分利用中正交基的特点，进一步提出的对角表示和极限表示，讨论了中广义计数算子的表示问题，并得到5种表示：

1 预备知识

定理6表明，QBN是可交换的、幂零的，且满足典则反交换关系。

为广义Skorohod积分算子。

2 主要结果

绝对收敛，且

故式（13）绝对收敛，且

则

故

其中，

（iii）显然，

另外，由

知

故

其中，

又

即式（22）成立。

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［21］周玉兰，薛蕊，程秀强，等. 广义计数算子的交换性质［J］.山东大学学报（理学版），2021，56（4）：94-101. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0.2020.494

ZHOU Y L， XUE R，CHENG X Q， et al. Commutative properties of generalized number operators［J］. Journal of Shandong University（Natural Science）， 2021，56（4）： 94-101. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0. 2020.494

The representation of generalized number operator acting on the Bernoulli functionals space

ZHOU Yulan, CHEN Jia, KONG Huafang, XUE Rui, CHENG Xiuqiang

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou730070，China）

This paper presents five representations for the generalized number operatordefined in, the space of square integrable functionals in terms of the discrete-time normal martingale, (1) The weighted representation of the quantum Bernoulli noises (QBN); (2) The spectrum representation, the spectrum ofis just the range of the-counting measureon; (3) The quot;diagonalizationquot; representation, i.e.,can be expressed as the weighted limit of the one-dimensional diagonalized orthogonal projection operators generated by the QNB; (4) The representation in terms of the generalized Skorohod integral-generalized stochastic gradient, specifically,is the composition of the generalized Skorohodand its adjoint, the generalized stochastic gradient; (5) For many nonnegative functionon, a bounded generalized number operators are constructed, which is convergent strongly toand ifis summable, the sequence is convergent uniformly to.

spectrum of operator; generalized number operator; diagonalization operator; generalized Skorohod integral; generalized stochastic gradient

O 211

A

1008⁃9497（2022）03⁃316⁃08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.008

2020⁃12⁃23.

国家自然科学基金地区科学基金项目（11861057）.

周玉兰（1978—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4831-7149，女，博士，副教授，主要从事随机分析研究，E-mail：zhouylw123@163.com