A-Browder定理及其摄动

孙晨辉，王宁，曹小红

（1.渭南师范学院数学与统计学院，陕西 渭南 714099； 2.陕西师范大学数学与统计学院，陕西 西安 710119）

A-Browder定理及其摄动

孙晨辉1，王宁2，曹小红2

（1.渭南师范学院数学与统计学院，陕西 渭南 714099； 2.陕西师范大学数学与统计学院，陕西 西安 710119）

运用新定义的谱集，刻画了有界线性算子满足a-Browder定理的充要条件。通过该谱集，分别研究了有界线性算子的a-Browder定理与单值延拓性质的紧摄动问题，并对二者之间的关系进行了探索。

a-Browder定理；单值延拓性质；谱；摄动

20世纪初期，Weyl在检验自伴算子的Weyl谱时发现了Weyl定理。之后，Weyl定理得到进一步推广和发展。例如，HARTE等［1］获得了Browder定理；RAKOČEVIĆ［2］刻画了Weyl定理的另外2种变形：a-Weyl定理和a-Browder定理。这些变形被称为Weyl型定理。有界线性算子的Weyl型定理能很好地反映各类谱集的结构特征和分布情况，因此对Weyl型定理的研究是谱理论的重要课题之一。近年来，Weyl型定理备受关注，并取得了许多好的结果［3-5］。算子的摄动理论有助于更好地了解摄动后特征值的分布规律，国内外学者对满足Weyl型定理的算子的摄动进行了有益的研究［6-8］。本文将以半Fredholm算子特性为基础，运用文献［9］中定义的谱集对有界线性算子a-Browder定理的判定做等价刻画，不仅给出了不同于传统定义的判定方法，而且能更深刻地了解当线性算子满足a-Browder定理时各类谱集的结构特征与分布情况。另外，分别研究了线性算子a-Browder定理与SVEP的紧摄动问题，探讨了二者在紧摄动下的关系。

1 预备知识

本文主要探讨与有界线性算子a-Browder定理相关的问题，通过新的谱子集与的关系，给出了算子满足a-Browder定理的充要条件，并运用新谱集研究有界线性算子的a-Browder定理与单值延拓性质的稳定性，得到了一些有意义的结果。

2 A-Browder定理的判定

显然

若不然

证明 （i）→（ii）。由定理1，知

3 A-Browder定理及单值延拓性质的紧摄动

下面研究线性算子的SVEP与a-Browder定理的紧摄动及二者之间的关系。

用类似的方法可证

由定理2，可得：

证明 必要性。由推论3，必要性显然成立。

反之，由条件（ii），利用类似于定理2的证明方法，可以验证连通，所以。由定理2的必要性证明，知存在紧算子，使得，且对任意的，。从而由定理2，可知充分性成立。

下面讨论a-Browder定理的紧摄动。

［1］HARTE R， LEE W Y. Another on Weylapos;s theorem［J］. Transactions of the American Mathematial Society， 1997，349（5）： 2115-2124. DOI：10.1090/s0002-9947-97-01881-3

［2］RAKOCEVIC V. On a class of operators［J］. Mathematicki Vesnik， 1985， 37（4）：423-426.

［3］WU X F， HUANG J J，CHEN A. Weylness of 2×2 operator matrices ［J］. Mathematische Nachrichten， 2018，291（1）： 187-203. DOI：10.1002/mana.2016 00424

［4］DONG J， CAO X H，DAI L. On Weylapos;s theorem for functions of operators ［J］. Acta Mathematica Sinica， 2019，35（8）： 1367-1376. DOI：10.1007/s10114-019-7512-8

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［10］FINCH J K. The single valued extension property on a Banach space ［J］. Pacific Journal of Mathematics， 1975，58： 61-69. DOI：10.2140/pjm.1975.58.61

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A-Browderapos;s theorem and its perturbations

SUN Chenhui1, WANG Ning2, CAO Xiaohong2

（1. School of Mathematics and Statistics，Weinan Normal University，Weinan714099，Shaanxi Province，China；2. School of Mathematics and Statistics，Shaanxi Normal University，Xiapos;an710119，China）

In this paper, by using the newly defined spectrum set, the necessary and sufficient conditions for bounded linear operators satisfying a-Browderapos;s theorem are obtained. Moreover, by using the spectrum set, the compact perturbations of a-Browderapos;s theorem and the single valued extension property for bounded linear operators are studied respectively, and the relationship between them is discussed.

a-Browderapos;s theorem; single valued extension property; spectrum; perturbation

O177.2

A

1008⁃9497（2022）03⁃287⁃07

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.004

2020⁃08⁃25.

陕西省教育厅2021年度一般专项科研计划项目（21JK0637）；渭南师范学院2021年人才项目（2021RC16）.

孙晨辉（1986—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9151-9494，女，博士，讲师，主要从事算子理论与算子代数研究， E-mail：sunchenhui1986@163.com.