基于三个策略的教学设计探索

【摘要】平方差公式是多项式乘以多项式的特殊形式。在公式教学中采取整体性策略、活动性策略、数学审美策略，将数学抽象、直观想象等核心素养的培养落到实处，对学生后续学习具有重要意义。本文以人教版八年级上册第十四章第二节“乘法公式”的第一课时“平方差公式”的教學为例进行研究。

【关键词】平方差公式；三个策略；核心素养

作者简介：秦玉红（1970—），女，新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州昌吉市第七中学。

一、三个策略概述

其一是整体性策略。根据认知教育心理学家奥苏贝尔的认知同化理论，学习需以已有的认知结构为基础，学习的过程是新旧知识相互作用的过程。基于整合协调原则，采取整体性策略，让学生进行知识的建构，能够转变学生原来只能理解与应用零散的知识点的模式。

其二是活动性策略。遵循教育家杜威“从做中学”原则，采取活动性策略，让学生在动手操作的活动中学习，手脑并用，能够帮助学生积累数学活动经验，培养学生的数学核心素养。

其三是数学审美策略。采取数学审美策略，需要教师让学生在学习与运用公式的过程中感受数学的简洁美，激发学生追求真善美的欲望，提高学生的审美能力。

二、教学目标及教学重难点

本课的教学目标为：1.让学生了解平方差公式的形成过程，能够用代数和几何方法证明平方差公式；2.让学生掌握平方差公式的结构特征，学会灵活运用平方差公式进行计算（教学重点），体会平方差公式结构的不变性和字母的可变性（教学难点）；3.让学生总结平方差公式的研究方法，理清研究平方差公式的基本思路，为后续研究完全平方公式打好基础［1］。

三、基于三个策略的教学过程

（一）创设情境，导入新课

例题1：小明陪妈妈去菜店，买了3.8千克单价是4.2元的青菜。售货员还没有说出应付的金额，小明就脱口而出“应付15.96元”。妈妈吃惊地问他怎么算得这么快，小明说他用了昨天学的一个数学公式。你们知道小明是如何又快又准地算出结果的吗？

设计意图：创设贴近生活的问题情境，旨在设置悬念，引发学生思考，提升学生学习的兴趣，激发学生运用数学知识解决实际问题的欲望。

（二）温故知新，探索新知

例题2：计算（1） （x+1） （x+2）；（2） （x+1） （x-1）；（3）（m+2） （m-3）；（4） （m+2） （m-2）；（5） （2 x +1） （2 x +1）；（6） （2 x +1） （2 x -1）。然后思考下列问题：1.请观察以上多项式乘以多项式的计算结果，说说你有什么发现？（追问：具有什么特征的二项式相乘结果是二项式？）2.试着将你的发现用含有字母的式子表示出来。（追问：你能说出每个字母的含义是什么吗？）

设计意图：教师引导学生先对具体的式子进行观察、思考和归纳，再把式子中的数字换成字母，试着概括出平方差公式，借助语言和符号进行表达，可以让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，对平方差公式形成初步的认识，从整体性的角度，提升学生的数学抽象能力，为证明、应用平方差公式做

铺垫。

（三）进行猜想，证明规律

例题3：猜想“（a+b） （a-b） =？”，用自己的话说一说，试着证明你的猜想。（追问：“（a+b） （a-b）”与多项式乘以多项式的法则中的“（a+b） （c+d）”有什么区别和联系？从数、符号、项等角度分析公式的结构特征是什么。）

设计意图：在学生运用代数方法概括出公式之后，强调公式结构的不变性和字母的可变性，可以为他们运用公式进行计算提供理论根据。回归多项式乘以多项式的本质，可以让学生经历从一般到特殊的过程，体会特殊形式的简洁性。

（四）动手实践，几何验证

例题4：（1）由a2和b2，你能联想到什么？你能用几何图形表示a2-b2吗？（预设学生画出的图形如图1-1所示。）（2）由（a+b） （a-b），你又能联想到什么？你能把图1-1的图形转化成长和宽分别为（a+b）和（a-b）的长方形吗？请动手剪一剪，拼一拼。（预设学生画出的部分图形如图1-2、图1-3所示。）（3）请问图1-1与图1-2、图1-3的图形面积有什么关系？你能根据所得的结论验证平方差公式吗？（4）你知道中国古代的数学家是怎么推导平方差公式的吗？（教师告诉学生早在很多年前，赵爽就用面积割补法证明了平方差公式的正确性。）

设计意图：在这一环节，教师设计层层递进的问题，让学生进行深度思考与探究；开展数学实验活动，让学生动手实践，借助几何直观进一步理解平方差公式的几何意义；引导学生运用面积割补法来证明平方差公式，渗透数形结合思想，可以培养学生的直观想象素养，帮助学生养成多角度思考问题的习惯，提高逻辑思维能力。此外，教师引入有关平方差公式的数学史，可以拓展学生的知识面，激发学生的学习动机，培养学生的爱国情操。

（五）典例精析，应用新知

练习1：计算（1） （3x+2） （3x-2）；（2） （x+2y） （x-2y）。

然后思考下列问题：平方差公式中的a、b代表什么？运用平方差公式进行计算的一般步骤是什么？

设计意图：在学生解题的过程中，教师再次强调平方差公式中的a、b的意义，渗透换元思想，总结计算的步骤，有利于学生规范地解答相关题目，提高书写的条理性。

练习2：下列多项式乘以多项式的式子中，能用平方差公式计算的是（ ）

A. （x+y） （x-y）

B. （-x+y） （-x-y）

C. （-x+y） （x+y）

D. （-x-y） （x-y）

E. （x-y） （y-x）

F. （x+y） （-x-y）

G. （m+n+p） （m+n+p）

H. （m+n+p） （m+n-p）

设计意图：教师设计这道练习题，以此让学生在观察、交流和思辨的过程中明确平方差公式的结构特征，加深对平方差公式结构的不變性和字母的可变性的认识，了解运用平方差公式的条件。

练习3：计算103×97

设计意图：教师设计这道练习题，旨在让学生尝试运用平方差公式进行简便计算，巩固所学知识。

练习4：请在下面第1个括号内填上1个二项式，并用平方差公式进行计算。

（3a-5b） （ ） = （ ） 2- （ ） 2=

设计意图：教师设计这个开放性问题，可以积累学生运用平方差公式的活动经验，让学生掌握正向、逆向运用平方差公式的条件。

练习5：计算（1） （2+1） × （22+1） × （24+1） ×（28+1） +1；（2） （3+1） × （32+1） × （34+1） × （38+1）。

设计意图：教师设计拓展提升的练习内容，有利于发散学生的思维，让学生把握公式的结构特征，培养学生的转化能力，实现学生深度学习。

之后，教师让同桌之间相互出题。其中一名学生需要根据平方差公式的结构特征编题，另一名学生需要先判断题目是否符合公式的特征，然后做题；做完后，由编题的学生进行批改。

设计意图：学习公式需要学生理解和记忆运用公式的条件。学生在出题的过程中，先找到运用公式的条件，再借助公式的模型设计题目，有利于掌握公式。

教师利用剩下的课堂时间让学生围绕“导入环节的例题1中小明是如何算出结果的？”这一问题进行小组讨论。［预设学生的答案为：3.8×4.2= （4-0.2） ×（4+0.2） =42-0.04=15.96。］

设计意图：首尾呼应，让学生熟练掌握平方差公式的结构特征，感受数学的简洁美。

四、反思

“平方差公式”一课是“乘法公式”这一节的起始课，在进行教学设计时基于本章“整式的乘法与因式分解”整体教学的内容，有利于学生对多项式乘以多项式的计算方法形成更全面的认识，把握包括平方差公式在内的这一类数学公式的共同特征［2］。学生通过观察、猜想、证明、实践等方式，从整体性视角探索规律，借助几何图形分析公式的几何意义，可以加深对公式的理解，实现数与形的转化［3］。

精心设计数学活动，有利于突破教学的重难点，向学生渗透数学思想。开展关于平方差公式的问题思考、规律证明、实验探究、知识应用等活动，能够让学生认识平方差公式的由来和内涵，积累从特殊到一般、从具体到抽象的数学活动经验，发展数学抽象素养。在平方差公式的教学中，教师不仅从数的角度对公式进行了推导，从几何的角度证明了公式的正确性，而且借助图形直观地呈现了公式的结构特征。这有助于学生提升数形结合的能力，发展直观想象素养。

运用数学公式可以为解决问题提供简便的方法。学生在问题引导下能够发现，运用平方差公式进行计算的结果会比一般的多项式乘以多项式的结果更加简洁，初步感受数学的简洁美。在应用新知环节，学生在运用平方差公式的过程中体会到了公式给运算带来的便捷性，进一步感受计算结果的简洁美。

教学即指导，学习即研究。两者的关系为“以研定导、以导促研、导研耦合”。具体来说，“以研定导”主要是以学生现有的知识水平和最近发展区为基础，制订教学目标，设计教学内容，选择教学方式，进行教学评价。换言之，教师不应喧宾夺主，把自己的观点强加给学生，而应根据学生的知识基础，以及他们在研究时可能会遇到的困难，决定应该如何指导，指导到何种程度。“以导促研”是指由于学生在研究中常常会遇到困难，因此教师的指导是必不可少的。教师给予学生适时、合理的指导不是为了快速地传授知识，训练学生的解题技能，而是为了暗示学生研究的思路和策略，让学生通过教师的指导，提高自身的研究能力。“导研耦合”是指教师与学生、学生与学生之间应该相互作用，相互影响，从而提高教与学、导与研的匹配程度，使教学效益最大化。

学生经过小学阶段的数学学习，已经掌握了基本的数学理论知识。但是有的学生往往不能灵活地运用数学知识解决实际问题。采取三个策略，让学生经历“实践—理论—实践”的过程，不仅能够帮助他们更好地掌握基础知识，掌握数学的思想、方法和语言，还能提高他们发现问题、分析问题和解决问题的能力，让他们树立正确的数学观，全面地认识数学。传统的教学大多是以教师为主体的“满堂灌”式的教学。采取三个策略，能够让教师由课堂的主导者转变为引导者，让学生由聆听者转变为思考者，由知识的接受者转变为知识的探索者。做好教师和学生在角色上的转变，能够将“教是为了不教”“授人以鱼不如授人以渔”落到实处。

【参考文献】

［1］傅兰英.基于认知结构的教学设计：以“平方差公式”的教学设计为例［J］.中国数学教育，2021

（17）：35-39.

［2］欧阳勇.深入钻研教材 让导入课切实有效：以人教版《平方差公式》的导入为例［J］.中小学教学研究，2013（11）：15-17.

［3］张东.数学核心素养视角下公式教学的思考与实践［J］.中国数学教育，2018（19）：3-5.