2021年全国卷函数试题剖析

曾 蒙，仲诗源

（江苏第二师范学院，江苏 南京 211200）

函数是高中阶段数学学习的核心内容之一，在历届高考中一直都是不可或缺的一个考点。了解高考真题中函数的要求及考查方式，可以帮助学生更有效地进行函数学习。本文从2021年全国卷出发，聚焦函数考查知识点，探讨求解函数试题常用的工具，分析其中蕴含的数学思想方法。

1 函数试题分析

在2021年新高考数学试卷中考查了4道函数题，共计27分，占试卷的18%。考查题型涉及单项选择题、填空题、解答题，具体情况见表1。

下面针对这四道函数题分别从知识点考查、数学思想方法以及能力要求进行简单分析：

分析：本题主要以指数函数考查导数的概念及其几何意义。利用导数为相应函数在一点上的切线斜率的几何意义得出题中曲线的切线，结合求导所得增减性进一步得到答案。体现了函数与方程的思想以及转化的思想，将切线问题转化为函数问题，要求学生要拥有运用意识的能力。

分析：本题主要考查函数奇偶性的应用。函数奇偶性的判断是在定义域关于原点对称的情况下，根据与的关系进行判断，本题就是利用偶函数的关系式确定未知数的值。本题将偶函数这一已知条件转化为这一关系式充分体现了转化的思想，考查学生运用知识的能力，对于偶函数的概念定义有着深刻的理解进而学会应用。

分析：本题主要考查了函数的最值问题。首先确定函数的定义域，由于去绝对值时导致的正负不同，再对自变量进行分类讨论，最后利用导数确定函数单调性，从而进一步得到最值。本题要求考生有分类讨论的思想，对于这一类问题不能想着直接计算，而是有根据条件进行分类考虑问题的意识。同时也要有运用意识的能力，不能仅仅将知识局限于如何求导，而是要学会运用导数求解不同问题。

分析：本题以导数及其应用为知识载体，考查了函数的单调性、极值与最值的问题。第一小问为函数单调性问题，第二小问则是在构造新函数的基础上，利用导数证明不等式。本题难点主要在于已知条件的等价转化，以及函数构造。对于考生的转化思想与创新意识有着巨大的考验，这也是作为压轴题拉开考生间差距的地方。考生能够从数学角度发现与指出问题，并且自主解决未学习接触过的或是以一种全新的方法简洁地解决问题的能力是突破该难题的关键。

2 解决函数问题常用工具

通过对2021全国卷中的4道函数试题的分析，其中有3道题在解答过程中需要利用导数作为工具进行解答，如例1、例3、例4。在例1中题目从导数的几何意义出发，即曲线在某一点处的切线斜率为函数在该点的导数，同时利用导数研究函数单调性，以此得出大小关系。在例3中，通过使用导数确定不同情况下的函数单调性从而得出函数的最小值。在例4中，无论是第一小问的单调性还是第二小问的不等式证明都离不开导数的应用。总结发现函数对于导数的应用主要分为两方面，一方面是利用导数的几何意义解决斜率问题如例1；另一方面则更为常见，利用导数确定函数单调性，从而进一步解决最值、零点、不等式等问题。导数作为一个强有效地解决问题的工具，有意识地利用导数可以大幅度的提高考生解题速度、增加正确率。

在做题过程中可以发现，解得函数的导数难度并不高，确定求什么函数的导数往往才是难点。如例1，首先需要利用切线构造出，才能进一步求导得出单调性从而求解。同样的如例4，也需要通过先构造新的函数：，然后针对两个新构造的函数求导才能最终得到所需要的结果。如果想要利用导数快速的解决函数问题，不仅仅需要掌握求导公式，同时还需要学会构造函数。正确的函数构造才能通过导数将题目引向正确的答案。

3 函数试题中蕴含的数学思想方法

3.1 函数与方程的思想方法

函数与方程的思想方法在函数问题中是贯穿始终的。或是将方程转化为函数问题，如例1通过切线以及导数几何意义将问题转化为方程有两个解的问题，即可转化为函数与x轴有两个交点，最后再用单调性求解，其中由方程的解转化为函数零点的过程就是运用了函数与方程的思想。或是在解答函数问题时构造并求解方程以此得到最终答案，如例2根据函数奇偶性得到方程，通过解方程得到答案。函数与方程是在解题过程紧密结合的，在一定条件下可以互相转换，从而达到将抽象复杂问题简单化的目的。

3.2 转化与化归的思想方法

根据上文所探讨的函数试题中数学工具运用，作为函数解答中最重要的工具—导数，其关键是构造正确的函数。而如何构造函数就需要考生拥有转化与化归思想，尤其是转化的思想。面对复杂的函数问题，其第一要义就是根据题意构造出能引向答案的函数，如例4，转化思想不仅仅存在于构造函数中，准确地说数学问题每一步的解答都离不开转化思想的运用，将题目中无法解决的复杂问题通过等价转化一步步简化，最终转化为可以解决的简单问题，如例1就需要考生将切线问题转化为可以通过单调性求解的函数问题。掌握转化与化归的思想方法是考生解决函数问题的必要武器。

4 结语

通过对于2021年新高考数学试卷中函数相关题目的分析，函数知识点考查方向主要为函数的性质以及以导数为工具解决单调性、最值、切线等问题。其中利用导数作为工具解决函数问题更是贯穿函数考查过程。因此在函数教学中教师应当重视数学工具在解题中的作用，并在教学过程中渗透函数与方程、转化与化归的数学思想，有意识地帮助学生拓宽解题思路，提高学生分析问题、解决问题的能力。