基于案例的互动式《运筹学》课程导入方法研究

李珍萍，吴玉文，刘洪伟

（北京物资学院信息学院，北京 101149）

0 引言

运筹学是信息管理类专业的核心课，对培养学生创新能力具有非常重要的作用。由于运筹学教材中包含大量的数学公式和计算过程[1-3]，学生容易产生畏惧心理。传统的运筹学课程导入模式以教师讲授为主，很难吸引学生的注意力。如果在课程导入阶段能够激发学生的学习兴趣，对于后续教学将起到事半功倍的效果[4-6]。近年来，我们结合信息管理专业学生特点，尝试使用基于案例的互动式课程导入模式，收到了良好的效果。下面结合一个具体案例介绍运筹学课程导入各个环节的设计要点。

1 围绕教学目标选择案例

由于在运筹学课程导入阶段，学生尚未学习运筹学的基本概念和模型，我们选取一维下料问题设计课程导入案例，该案例既通俗易懂，又有一定的挑战度。

问题描述：某公司专门生产一种三角形钢架，该钢架由长为2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根焊接而成。制作钢架用的圆钢需要从长为6米的原材料上切割下来，原材料是整根购买的。问：（1）如果生产1套钢架，至少需要切割多少根原材料？（2）如果生产10套钢架，则至少需要切割多少根原材料？（3）如果生产100套钢架，则至少需要切割多少根原材料？

上述问题通俗易懂，三个子问题看似相同，但求解难度逐渐增大，通过与学生互动分析求解问题的方法，激发学生的兴趣，为后续课程学习留下余地。

2 基于案例导入课程

2.1 开课前发布作业和问卷，并统计完成情况

开课前一周在超星网络学习平台中以填空题的形式发布案例题，让学生想办法解决三个子问题；答题结束统计每一问的正确率，结果如下：第一问正确率100%，第二问正确率54%，第三问正确率40%。答题结束发布问卷，统计学生使用的解题方法；结果是：第一问全体同学都使用了枚举法，第二问大部分同学使用“部分枚举法+经验法”；第三问大部分同学使用“经验法+推理法”的方法。

2.2 课程导入前，对学生作答情况进行总结

首先总结学生完成作业情况，向学生展示每一问的正确率和学生使用方法的统计结果。结合每一问的正确率，分析学生选用的方法是否可行。

第一问规模较小，使用枚举法可以直接得到最优方案；本题正确率100%。第二问规模增大，枚举法计算量大，且很难列举全部方案，大部分学生采取部分枚举法与经验分析相结合寻找问题的答案，但由于经验不足，推理缺乏依据，因此本题正确率大打折扣。第三问规模进一步增大，枚举法完全行不通，大部分学生采取凭直觉(经验)推广第二问的结论，如直接将第二问的结果乘以10倍作为第三问的结果。由于需求量的增加和使用原材料数量之间并不是简单的线性关系，因此这种方法给出的答案是错误的。

通过分析，总结实际决策中两种常用方法的固有缺陷：枚举法只能解决小规模问题；经验法需要事先积累丰富的经验，对于全新的问题，没有经验可以借鉴。

2.3 提出问题，引出运筹学的定义以及学习运筹学的必要性

由于实际中经常遇到全新的决策问题，而且问题规模较大，因此枚举法和经验法都行不通，应该采取什么方法？

本学期我们要学习的运筹学将为你提供解决各种实际决策问题的科学方法。此时引出运筹学定义，接下来结合刚才的案例介绍用运筹学方法解决实际问题的步骤。

3 结合案例介绍运筹学解决问题的步骤

3.1 问题分析

制作100套钢架，只要拥有数量充足的三种尺寸圆钢即可。不同尺寸的圆钢只能从长度为6米的原材料上截取，而原材料必须整根购买。因此需要决策两个问题：购买多少根原材料？每根原材料如何切割？

由于这两个问题是关联在一起的，我们先从后一个问题入手，引出切割模式的定义。由于零部件的种类有限（只有3种），6米长的原材料对应的可行切割模式是有限的。如果能把所有可行切割模式列出来，就可以直接从中选择需要使用的模式，以及使用每种模式切割的原材料根数，从而解决购买多少根原材料的问题。通过分析将下料问题分解为两个子问题：

子问题1：确定一根原材料对应的基本切割模式；

子问题2：确定使用每种模式切割的原材料数量，使得切割得到的零部件满足生产需求，并且使用的原材料总数量最少（或成本最低）。

3.2 建立数学模型

子问题1：确定基本切割模式。

确定基本切割模式可以转化成整数线性不等式组的求解问题，启发学生自己就建立模型。

设某种切割模式得到的长度为2.9米、2.1米和1.5米的圆钢数量分别为，当且仅当下列不等式组成立时，切割模式为可行的。

如何根据上述整数线性不等式组求出基本切割模式？是否有必要将所有可行解都列为基本切割模式？

根据占优准则，那些浪费较严重方案可以不考虑，如：剩余料头大于最小零件长度的切割方案。启发学生思考：如何避免剩余料头大于零部件长度？在求解上述不等式组的时候可以直接增加一个用于评价方案好坏的指标，如：切使出来的各种零部件数量之和尽可能多。

通过设置不同权系数得到基本切割模式。

由于生产一批钢架需要各种长度的零部件，因此需要求出多种具有较大差异的基本模式。为此为每种零件数量设置一个权重，将问题转化下列条件极值（此处先用条件极值的概念引入，同时告诉学生这个问题就是运筹学中的整数背包问题）。

通过调整权重系数，得到多种差异性切割模式，将学生求出的切割模式汇总形成基本切割模式表。

子问题2：确定使用每种基本模式切割的原材料数量。

将每种模式使用量作为决策变量，建立整数线性规划模型，告诉学生整数线性规划是运筹学中的重要方法，在实际中有着广泛的应用场景。

3.3 借助于Excel求解模型，并分析参数变化，引出智能决策支持系统

给学生演示利用Excel求解模型的过程，通过比较人工求解和软件求解的速度，让学生体会信息技术的威力。启发学生思考：当客户的订单数量发生变化时，如何借助于软件迅速求解？引出智能决策系统的重要性。

3.4 总结运筹学的重要性，激发学生的爱国热情和社会责任感

智能决策系统的核心技术就是运筹学模型和算法。当前我国智能决策系统关键技术国产化率还较低，迫切需要加快研发和应用的进程。学好运筹学是开发智能决策系统的重要前提，这是时代赋予你们的重要使命。

4 结论

采用互动式案例导入模式，让学生体会运筹学在辅助决策中的作用，激发了学生的学习兴趣，通过分析国内智能决策系统研发和应用现状，唤醒了学生的爱国热情和社会责任感。通过对比发现，采用案例互动模式导入课程，学生的学习积极性和学习效果明显提升。