离散数学翻转课堂教学案例探究——以“推理理论”为例

黄梅华 林志强

(1广东财经大学统计与数学学院，广州 510320；2广州大学数学与信息科学学院，广州 510006)

《离散数学》作为计算机类专业的基础核心课程，包括数理逻辑、集合论、图论、组合数学、代数等，具有知识点分散、内容高度抽象性等特点，致使其学习重点难以把握，学习目标难以明确，传统教学模式很难引起学生的学习兴趣。如何改变《离散数学》的教学方式，提高趣味性，提高学生学习专注力，就成为了迫切需要解决的问题[1]。

翻转课堂2000年起源于美国，它重新定义了教和学的模式，对于基本知识，学生通过教学视频、播课、网络等多媒体进行课前自学；课堂上教师引导学生主动思考和应用这些知识，进一步掌握和巩固知识点[2]。好的翻转课堂必须具备如下特点[3][4]：一是制作短而精的教学视频，有利于学生能够集中注意力快速学习基础知识；二是教学目标明确，使学生有明确的努力方向，从而能够进行自主学习；三是重构学习过程，翻转传统的“教和学”，学生自主学习知识，课堂上教师引导学生“内化吸收”习得的知识，学生完全成教学过程的主体。

将翻转课堂的教学模式应用到《离散数学》的教学中，让学生主动学习和探索课程内容，有利于提高学生的学习兴趣，增加学生学习的积极性[5][8]。本文选取《离散数学》课程中推理理论教学案例，探讨其在翻转课堂模式下的设计与应用，从而达到激发学生学习兴趣，实现教学目标最优化的效果。

一、教学背景

数理逻辑是离散数学课程的重要模块，是用特制符号和数学方法来研究、处理演绎方法的逻辑学。它将思维模式符号化，从而使思维过程变成一个可计算的思维演算过程。推理理论是数理逻辑中的重要内容，主要研究从前提出发，推导出结论的形式化逻辑过程。前提就是推理所依据的已知命题，结论则是根据推理规则，从前提出发推理出的新的命题。推理是数学和其他自然学科中思考问题的基本模式，研究推理理论对培养人的逻辑思维能力以及指导科学研究中分析和解决问题的能力，都具有重要的理论意义与实际应用价值。

二、教学目标

本课程教学主要有知识和能力两个目标。

(一)知识目标

理解和掌握推理的形式结构和推理定律，熟练应用推理理论解决实际问题，学会将已知问题符号化，利用推理定律进行推理演算的方法。

(二)能力目标

通过讨论和分析问题，培养学生将实际问题数学符号的意识，以及应用数学方法解决实际问题的能力。在研究讨论问题的过程中，增强学生的逻辑思维能力。

三、教学策略

第一，将推理理论知识内容拆分，分别做成3-5分钟的教学小视频，包括：①推理的形式结构，阐述为什么命题公式A1∧A2∧…An→B为重言式时推理就是正确的；② 推理定律，分别介绍8条常见的推理定律及其使用规则；③ 构造证明法，分别介绍直接证明法、附加前提证明法和归谬法三种证明方法。

第二，教学模式采用翻转课堂，课前先让学生通过线上学习和小组讨论等方式，初步掌握推理理论的基本结构、推理定律和基本推理演算等内容。课堂上，教师进行进一步讲解、提问，师生互动讨论，对知识和方法作进一步深入的理解。

第三，课堂教学选取一个具有代表性的例题，采用例题教学法，通过对该例题的解决，将推理理论的知识点和方法的应用展现给学生，使理论知识落到实处，学生更容易理解和掌握。

第四，以问题驱动推动课堂教学进程。引入例题，根据如下问题逐渐展开引导学生：① 如何将题设符号化为命题，结论如何转化为命题符号。② 观察命题之间的联系，有什么共同的简单命题。③ 要选取什么样的定律来完成推理。

四、教学过程

(一)例题导入

例 一个侦探在调查了某珠宝店的钻石项链失窃案后，了解到以下事实：

1.营业员A或B盗窃了钻石项链；

2.若A作案，则作案不在营业时间；

3.若B提供的证词正确，则货柜未上锁；

4.若B提供的证词不正确，则作案发生在营业时间；

5.货柜上了锁。

请判断是谁盗窃了项链？

请同学们思考第一步要做什么？经过讨论，同学们发现必须将已知事实符号化为命题公式，也即得到推理前提。进一步，同学们发现，相比课前学习的推理理论演算模式，本题并没有确定的结论。

板书完成该题目必须解决的问题：① 符号化推理前提；给出可能的结论，符号化结论；② 确定可能用到的推理定律；③ 构造整个推理过程，得出结论。

(二)符号化前提和结论

请同学们先回顾命题公式的相关知识。

教师提问：在写出前提和结论的命题公式之前，应该先做什么？

同学们共同讨论：应该先写出题设中出现的简单命题。然后再请一位主动请缨的同学在黑板上写出这些简单命题，其他同学也纷纷在下面进行尝试。

设p：营业员A盗窃了钻石项链；q：营业员B盗窃了钻石项链；r：作案发生在营业时间；s：B提供的证词正确；t：货柜上了锁。

教师提问：进一步如何写出前提和结论？

学生讨论后回答：前提只需根据上面的简单命题和题设直接写出。结论则要分两种情况，A或B盗窃了钻石项链。因此问题转化为判断

p∨q,p→r,s→t,s→r,t⟹porq

(三)问题转化为判断推理

p∨q,p→r,s→t,s→r,t⟹p和p∨q,p→r,s→t,s→r,t⟹q的正确性。请同学根据课前学习汇报，应该如何判断上述推理的正确性？有几种方法？有同学发言：有两种方法，第一是证明A1∧A2∧…An→B为重言式，其中A1∧A2∧…An是前提的合取，B是结论，可以用真值表法或者等值演算法；第二是用构造证明法。

请同学们思考为何要引入构造证明法？直接用真值表法或者等值演算法可以吗？

学生讨论后没有得出明确结论。教师进行解答：对比课前视频和书本学习中二者的计算过程可以看出，证明A1∧A2∧…An→B计算量较大，特别是当题设涉及到的简单命题较多的时候；而采用构造证明法，则可以较快得到结论，当然需要更多得观察和技巧。

请同学们先观察所有条件和结论p∨q,p→r,s→t,s→r,t⟹porq.回顾课前网上和书本学习的推理定律，列出有可能用到的定律。

(四)构造推理过程

先考虑p∨q,p→r,s→t,s→r,t⟹q，构造其推理过程。同学们经过讨论，一致认为采用直接构造法。利用之前列出的定律，师生共同完成整个构造过程：1.s→t前提引入；2.t前提引入；3.s①②拒取式；4.s→r前提引入；5.r③④假言推理；6.p→r前提引入；7.p⑤⑥拒取式；8.p∨q前提引入；9.q⑦⑧析取三段论。

得出结论，推理正确，因此营业员B盗窃了钻石项链。同学们很快发现，证明过程得第7步已经得出结论，营业员A没有盗窃钻石项链，因此完成整个推理过程，得出确定性结论，同学们很有成就感。

五、教学反思

这个案例教学选取了一个有趣得实际推理问题，采用翻转课堂教学模式，线上学生先学习课程中的基本知识，课堂上师生共同尝试采用所学知识解决这一问题，体现了以学生为主体，发挥学生主观能动性的教学思想。教学过程采用问题驱动的教学方法，引导学生一步步解决问题，激发学生的成就感，对所学知识进行运用，学生不再是机械地学习知识，而是学有所用，使得学生理论知识和方法的理解和运用能力大幅地提升。在教学过程中也观察到个别学生参与度不高，原因是没有自觉地提前进行线上学习，如何提高学生线上学习的积极性，是下一步必须考虑的问题。