HPM视角下高中数学概念教学策略

徐军琴

(甘肃省定西市岷县第四中学 甘肃 岷县 748400)

我国现行《普通高中数学课程标准》中明确指出："数学与人类的生活以及社会发展有着紧密的联系，不但是一种成熟的运算与推理工具，同时也可以作为一种进行信息表达与交流的语言。数学学科知识承载的是一种文化和思想，其也是人类文明发展与积累下的文化精髓。"同时，新课程标准中还提到数学承载的是文化，课堂教学中也要注重教材知识的拓展，不可只局限于教材内容，要加强数学知识产生背景与发展过程的讲授。HPM是数学史与数学教育之间的关系，企业是新课程标准下对高中数学教育改革提出的新方向，以HPM视角进行高中数学课堂教学不但能够激发学生学习的主动性，同时也可以在不同程度上提升学生数学理解能力、创新能力，尤其数学概念教学中，对于一些难以被学生快速理解的概念可以进行"追根溯源"，使学生快速梳理数学概念结构，达到理解与掌握数学概念知识的效果。

1.HPM背景及其应用价值

1.1 HPM背景。简单来讲，HPM是指数学史与数学教育之间的关系，是Relations between History and Pedagogy'of Mathematics)的简称，最早是在上世纪七十年代初由专注于数学史与数学教育之间关系研究的组织"数学史与数学关系国际研究小组"提出，对于数学研究者而言，是属于一项新的研究领域。事实上，早在十九世纪就曾有数学家关注了数学史与数学教育之间的关系，但并未在大范围内进行学术讨论，仅作为一项研究内容，到上世纪末，HPM才逐渐进入众多数学家视野，并成为了数学教育研究的一项重要课题，我国则是于本世纪初方开始关注HPM相关理念的研究。[1]

1.2 HPM教学融入的价值。从教师角度来说，通过HPM的融入和应用能够了解到更多有关数学知识的历史和数学思想以及数学文化，从而帮助教师提高自身的数学教学素养，使教师可以从不同的角度去进行数学问题的研究与分析，提高其教学能力，而且HPM的应用也能够让教师从数学教学活动角度去进行教学的创新，打开教学的新思路与新视角。

从学生角度而言，通过HPM理念的融入可以帮助学生开拓知识的视野，使学生快速理解所学的数学概念和数学命题，尤其在数学知识的学习过程中可以让学生充分了解数学概念知识和数学命题的根源，从而激发学生对数学知识学习的积极性，对学生探究欲望和探索知识的精神也有着很好的培养作用，使学生可以掌握现代科学的学习方法。[2]

2.基于HPM视角下高中数学概念教学的原则

高中数学概念、知识内容对于高中生来讲较为抽象，难以做到快速的理解和掌握，而且在学习数学概念相关知识，学生往往也会遇到多种不同的困难。如果高中学生始终无法掌握数学概念、知识学习的思路和方法，就容易产生厌学心理，从而失去学习数学知识的兴趣。在HPM视角下高中数学概念教学过程中，教师需要依据学生身心发展特点选择合适的策略，以便于学生能够快速接受数学概念、知识并实现理解和灵活运用。这也需要教师通过对HPM相关理念的研究，从不同的视角去进行数学概念知识的理解，从而为教学开展提供新的思路，但也必须要遵循一定的原则。

2.1 真实性原则。HPM是数学史与数学教育之间的关系。将其在高中数学概念教学当中的融入和应用，需要注重数学史的选择必须要真实，尤其要注意不可为活跃课堂教学氛围而随意进行数学历史上人物与相关故事的篡改，如此会容易误导学生对数学历史信息的了解。目前，网络上常常会流传多种不同版本的数学史料和一些数学家的历史故事等等。而教师在课堂上讲述数学史的过程中，也常会出于个人喜好而主观进行加工创造，对所融入的数学史是否真实却并没有进行确认。一但广为传播，就会导致失去这一数学知识发展历史的真实性。所以，在进行教学设计时，教师需要仔细查阅与所选择数学史相关的书籍和资料，对多种不同数学史相关知识要进行总结归纳，尤其要懂得去进行甄别，审核数学史故事的真实性和可靠性，并挑选与上课内容相关的准确的数学史料来进行教学应用。[3]

2.2 遵循适用性原则。基于HPM视角下高中数学概念，教学开展中需要明确本堂课程教学内容的目的，而且要充分了解引入数学史想要达到什么效果？要体现出哪些数学知识的价值？并且也要清楚地掌握应该在哪一教学环节引入数学史，如此才能够全面把握教材课标要求和数学史之间的融合。另外，还要重点考虑所选择的数学史是否符合高中学生的理解水平和认知能力，是否真正能够满足学生的实际需要。不同地区学校，无论教学内容还是教学目标或者教学时间以及教学顺序也会存在差异性，所以要充分考虑学生课堂教学的各项要素与数学史的适用性，尤其注意高中数学概念教学案例设计时需要确保数学史在教学中能够发挥出具有的价值，合理进行数学史料的选择，使数学史料可以自然地融入到概念教学当中，达到预期的效果。

2.3 遵循可接受性原则。数学学科有着悠久的发展历史，其中必然会存在着一些晦涩难懂的数学概念与数学公式以及数学定理。尤其数学概念、数学公式与数学定理的推导证明过程，对于高中学生来讲，有着很高的难度，而且不同年龄层次的学生也会有不同的个性特点，如果所选择的数学史料没有满足学生心理发展特点的要求，则数学史料的融入作用必然无法得以凸显。所以，所选择的数学史料要具有较高的可接受性，要能够被高中学生年龄层次、理解能力、认知水平所接受。[4]

2.4 遵循趣味性特点。数学史料在高中数学概念教学过程中的融入与应用，需要考虑到学生的心理特点。尤其高中阶段的学生，面临着高考的巨大压力，其心理压力较大，在繁重的学习任务当中会产生浓烈的疲倦感，所以，教师不能只是为了提高课堂教学的效率而将一些枯燥乏味的知识强加给学生。所以再进行概念教学之前，要选择具有一定趣味性的数学史料，并以生动形象的语言传递给学生。在保证数学史料真实性与可靠性基础上，激发学生对数学概念学习的兴趣，缓解学生的心理压力，使其能够在愉悦、轻松的氛围下感受到古人的聪明智慧，体会到数学概念知识的魅力。教师可以选择将数学史料当中的一些故事设计为小情景剧或话剧片段，以直观的形式展示给学生，让学生更加愿意接受这样的教学内容。

3.基于HPM视角下高中数学概念教学的策略

3.1 高中数学导数概念中的应用策略。高中数学当中，导数是属于微积分中的重要基础概念。当自变量增量趋于零时，因变量的增量与自变量增量之商的极限。例如，在函数当中存在导数时，则可以称这一函数可导或可微分。可导的函数通常连续，而不连续的函数则一定不可导。本质上讲，导数是一个求极限的过程。

例如，实际教学过程中，首先需要进行情境的创设。教师可以将现实生活当中较为常见的易拉罐来作为举例，易拉罐对液体的实际容量是相同的，其设计尺寸基本一致，此时，教师可以提出问题，如此设计是巧合还是必需？

如此进行提问的原因就在于让学生进行相关问题的探究。对于易拉罐的设计，在最初必然会考虑一些因素。例如，怎样才能保证材料成本的节约？在制作易拉罐过程中，材料与易拉罐表面积有着直接的关系，所以这就可以提炼出一个问题，体积相同的圆柱体，其高与半径如何取值时，方才能够保证其面积最小？这一问题如果运用算数法，往往很难算出。

因此，需要通过导数概念的引入来进行问题，解决方法的探寻，这就需要引入导数概念的相关资料。以易拉罐来解释导数概念，经过测量可以发现，高度为实际半径的四倍左右。而这一测量结果与计算出的结果显然并不相同。问题症结的关键在于易拉罐厚度，与其侧面及底面厚度是不同的。通过测量可发现易拉罐侧面厚度约为0.012厘米，顶部厚度则约为0.027厘米，底部实际厚度约为0.020厘米，为确保计算的便利性，可将侧面厚度近似计算为0.01厘米，底面厚度计算近似为0.02厘米，并让学生进行易拉罐高度与半径实际比值的计算，通过再次计算，就可以发现测量值与计算值几乎相同。基于HPM视角下的概念教学，能够很好的实现问题的简化，使学生在接触到导数概念之后产生导数概念难度并不高的认知，且重点是能够利用HPM理念，结合导数概念，来进行生活中常见问题的解决。从而吸引学生的注意力，激发学生学习数学概念相关知识的热情和兴趣，为导数概念后续知识的学习奠定坚实基础。[5]

此外，在进行导数概念课程设计时，教师也可以考虑情境的不同，设计以问题为引导，通过提出问题、解决问题来帮助学生了解导数的概念。如对易拉罐半径与高度最佳比例相关问题的深入探究和思考，使学生不由自主的去通过实践去寻找解决问题的答案。如此，就能够很大程度上提高课堂教学的效率和质量，但必须要注意的是进行导数概念理解和深入研究，需要结合具体的问题的设计与导数概念，要深度契合通过递进式的问题，来逐渐将学生引入导数概念的学习与理解当中，通过实际探究过程去帮助学生理解概念知识和问题。例如导数概念当中，关于球体最佳比例相关问题的探究，教师可以进行情境的创设和引入，将现实生活当中交通网的设计和模拟作为情境创设的背景，为学生进行例题的设计。通过交通网图片的展示标出图中A点与D点分别位于宽度为50米的河上，而其中B点和D点又分别位于河两边的对岸。其中A点和B点之间的距离为100米，可知陆地运输速度为水上运输的两倍，为确保A点到D点实际运输时间最短，需在C点进行转换码头的设立，此时求BCD与AC之间的距离。

实际解题方法探究过程中，教师需要引导学生。首先，进行水流速度的设定，在陆地运输速度是水上运输速度的二倍，此时可以假设BCD角度为MA，则由此可以得出导数函数进而利用相关算式解出答案。

3.2 基于HPM理念附加式方式引入高中数学概念。于高中数学课堂教学而言，引入使其初始环节发挥着重要的价值作用，数学概念教学更是如此。在实际教学开展当中，如果直接给出数学概念，往往会导致学生不明所以，无法获知数学概念产生的原因和根源，也就难以培养学生独立思考和知识探究的能力，对学生个性化发展和数学知识的理解与运用会产生一定的影响。而将附加式方式运用在概念教学当中，并融入与该数学概念相关的数学史料则能够让学生掌握数学概念产生的原因和过程，从而了解知识结构，优化其对概念的认知和识别。例如，在高中数学课堂当中，进行对数与对数运算这一知识的讲解时，可以为学生讲述数的发现过程，在16世纪末到17世纪初，随着航海与天文的快速发展，对于数字计算的运用也越来越广泛，但彼时，对于运算方法的研究不足。为此，苏格兰数学家纳皮尔在进行天文学研究过程中，为了能够实现分别计算，而发明了对数，可以说对数的发明对于数学来讲是重大的突破，天文学界与数学界对对数的发明高度认可。所以在讲解对数这一概念数学史时，可以培养学生对数学未知、探索的意识，从而激发学生对数学概念了解和学习的热情。另外，在进行情境创设时，也可以根据相关概念知识，历史和发现过程为背景。事实上，数学是伴随着人类的存在和发展而不断发展的，有着悠久的历史，从古至今也流传着很多经典的数学名题，吸引着众多数学家和数学爱好者去不断的探索，也可以将这一段一段真实的数学史料比作一把把钥匙，让学生打开一个又一个数学知识的宝库，引入数学猜想在数学故事的了解当中明白数学的产生过程和创造过程。利用数学史料来创设情境，能够真正实现数学概念教学与数学史的融合，增加学生对数学知识学习的兴趣，使其具备探索意识和数学思维，让学生可以更加容易地理解数学概念和数学思想，以及数学方法。例如，教师在讲述等差数列的前N项和这一刻的过程中，可以引用高斯计算一加二加三加100的例子。在讲述高斯这一案例时，可以有选择的保留原始的史料，用趣味性的语言去讲述高斯算法，通过高斯算法的介绍和故事的情节，吸引学生以简单的案例来作为概念知识的引入，使学生开始对相关概念、知识产生探究的兴趣，而且快速地理解数学概念知识，也往往能够让学生建立自信，使其更好地投入到数学概念的学习和相关问题的探究当中。

3.3 以顺应方式讲述平面概念相关知识。高中数学概念有着其固有的发现、推导和证明的过程。通过这些过程，可以更好地了解高中数学概念相关知识。所以教师在进行数学概念教学过程中，不但要帮助学生从推导证明过程去学会分析，数学概念的相关思路，理解并掌握这一过程中的数学思想与数学方法，还要能够真正学会正确表达这一数学概念的证明过程，如用语言表达来叙述这一数学概念的发现、推导和证明过程。例如在学习空间点、直线、平面的位置关系这四个公里时，可以为学生引入平面的概念和公理，从初期发展对平面的认知到平面构造性阶段，数学家所总结出的定义，再到最后希尔伯特公理化阶段所诞生的平面概念这整个发展过程。其中，教师要合理的选择数学史料根据学生的个性特点和理解能力进行推导，证明过程中还原公式、定理等相关知识过程的讲述，以这一推导证明的过程，帮助学生了解其中所包含的数学思想，并掌握数学概念证明的方法，整个平面历史的发展过程当中，教师需要让学生明确希尔伯特公理化出现之后，有效解决了平面相关定义与逻辑的问题。而现代数学课本当中，关于平面定义与公理的阐述也是于彼时所定型，在教学过程中，通过这一过程能够帮助学生加强对平面概念的深刻理解，使其全面了解公理之间所存在的联系。从而提高课堂教学的效果。

结束语：

结合上述文章内容所述，HPM理念在高中数学概念教学当中的融入与应用，既是对传统数学课堂教学方式的改革与创新，使学生能够真正了解和理解，数学文化与数学价值，同时也能够从本质上激发学生学习和了解数学文化，数学概念知识的兴趣，使学生能够快速掌握学习和运用数学概念、知识的方法。此外，在进行数学知识发展过程的模拟中，也有利于培养学生独立思考能力、探究能力和自主学习能力，在HPM视角下，高中数学教师要重视对整个数学概念相关知识，探究过程的，讲述合理选择数学史料，并采用顺应式、附加式等多种不同的方法，通过情境的创设帮助学生融入概念教学课堂，使其快速了解高中数学概念的产生过程相关知识内容，使学生可以在数学问题的分析和解决过程中提高其自身的数学综合素养。