大于中位数与大于等于中位数数据个数的区别

相剑利

【摘要】中位数是刻画数据集中趋势的统计量之一，反映数据集中趋势的位置代表值.由中位数的定义可以得到结论：这组数据中大于等于中位数的至少有一半，大于中位数的至多有一半.

【关键词】中位数；大于中位数；大于等于中位数

1中位数的意义

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.

例如：一组数据有20个，这些数据由小到大排列后分别记为a1，a2，a3，…，a20.

根据中位数的定义，这组数据的中位数为

a10+a112，

那么a11≥a10+a112，a10≤a10+a112.

于是可以得到结论：

（1）这组数据中大于等于中位数的至少有一半.因为后10个数据a11，a12，…，a20都大于等于中位数，而且前10个数据a1，a2，…，a10中也可能有等于中位数的，所以这组数据中大于等于中位数的至少有一半.

（2）这组数据中大于中位数的至多有一半.因为后10个数据a11，a12，…，a20有可能都大于中位数，但前10个数据a1，a2，…，a10中不可能有大于中位数的，所以这组数据中大于中位数的至多有一半.

2应用结论解决问题

例1为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如图1（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：

b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由.

解（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，

因为6≤x<8有3家，8≤x<10有7家，10≤x<12有8家，

所以中位数落在10≤x<12上，

所以m=10.1.

（2）甲城市由4月份收入的数据可得p1=12；乙城市中位数为11.5，说明大于等于11.5的至少有13家，这些数据都高于平均数11.0，则p2至少为13个.

所以p1<p2.

例2某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．

a.设营业员该月的销售额为x（单位：万元），甲部门营业员销售额数据的频数分布直方图如图2（数据分成5组：10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30，30≤x≤35）：

b.甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x＜25这一组的是：

21.322.122.623.724.324.324.824.9

c.甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数甲部门22.8m乙部门23.022.7

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n1．在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0萬元的人数为n2．比较n1，n2的大小，并说明理由.

解（1）24.0.

（2）n1＞n2．理由如下：

由甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知n1＝11.

因为在乙部门抽取的20名营业员该月销售额数据的中位数是22.7万元，说明大于22.7万元的至多有10家，那么大于23.0万元的也至多有10家，所以n2≤10.

所以n1＞n2.

例32022年是中国共产主义青年团建团100周年.某校团委组织七、八年级学生开展主题为“成团百年，勇当先锋”的团史知识学习活动.为了解这两个年级学生团史知识的学习情况，从七、八年级的学生中，各随机抽取了20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

a.该校七年级抽取的学生测试成绩的数据的频数分布直方图如图3（数据分为5组：75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）：

b.该校七年级抽取的学生测试成绩的数据在85≤x＜90这一组的是：

858585868788

c.该校七、八年级抽取的学生的测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数七年级85.2m85八年级87.189.590

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）此次测试成绩90分及90分以上为优秀．记该校七年级抽取的学生中成绩优秀的人数是x1，八年级抽取的学生中成绩优秀的人数为x2．比较x1，x2的大小，并说明理由.

解（1）85；

（2）x1<x2.理由如下：

由七年级抽取的学生测试成绩的数据可知

x1=5.

由八年级抽取的20名学生测试成绩的数据的中位数是89.5分可知成绩大于89.5分的至多10个，

因为成绩均为整数，而且众数等于90分，说明成绩从小到排第11个恰好是90分，

于是成绩90分及90分以上的恰好为10个，

故x2=10.

所以x1<x2.