用整体法解二元一次方程组

周雪

【摘要】 二元一次方程组是初中数学中最重要的知识点之一，解二元一次方程组一般采用代入消元法和加减消元法等常规方法.但对于某些特殊系数结构的二元一次方程组时，可运用整体的方法解决问题，相比代入消元法和加减消元法解题更方便.本文将通过例题和练习说明整体法解决二元一次方程的巧妙之处.

【关键词】 二元一次方程组；整体法；运算

例1 解方程组

3x-2y=1，3x+y=7.①②

分析 方程①和②中x的系数都是3，可把3x当作整体进行运算.

解 由方程①得 3x=1+2y，③

将③代入②，得1+2y+y=7，④

解得y=2.

把y=2代入①，得 x=53.

所以，方程组的解为x=53，y=2.

例2 解方程组

x-2=2（y-1），2（x-2）+y-1=5.①②

分析1 方程①和②中都含有x-2，把它看作一个整体进行运算.

解 把①代入②，得

4（y-1）+y-1=5，

解得y=2.

把y=2代入①，得x=4.

所以，方程组的解为x=4，y=2.

分析2 方程①和②中都含有x-2和y-1，可把它们分别看成一个整体进行求解.

解 整理得（x-2）-2（y-1）=0，2（x-2）+（y-1）=5.③④

③×2-④，得

2（x-2）-2（x-2）-（y-1）=4（y-1）-5，

解得y=2.

把y=2代入①，得x=4.

所以，方程组的解为x=4，y=2.

例3 解方程组

2022x+2023y=2022，2023x+2022y=2023.①②

分析 方程组中未知数x和y的系数较大，观察发现方程①和②未知数x和y的系数和同为4045，可运用整体的方法求解.

解 ①+②，得 4045x+4045y=4045，

x+y=1，③

②-③×2022，得x=1.

把x=1代入①，得y=0.

所以，方程組的解为x=1，y=0.

例4 若方程组2x+y=1+3a，x+2y=1-a.①②的解互为相反数，求a的值.

解 方程①中未知数x，y的系数分别为2，1，方程②中未知数x，y的系数分别为1，2，相同未知数的和同为3，可以运用整体的方法解决.

解 ①+②，得 3x+3y=2a+2，

3（x+y）=2a+2.③

由题知x+y=0，代入③，得a=-1.

例5 解方程组

a+2b=1，2a+7b=6.①②

分析 方程②中的7b可拆成4b+3b，把2a+4b看作一个整体，是方程①中a+2b的2倍关系，运用整体的方法解决问题.

解 方程②可变形为 2a+4b+3b=6，

即2（a+2b）+3b=6，③

将①代入③，得b=43.

把b=43代入①，得a=-53.

所以，方程组的解为a=-53，b=43.

例6 已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.的解为x=4，y=6.则方程组4a1x+3b1y=5c1，4a2x+3b2y=5c2.的解为（  ）

（A）x=4，y=6.    （B）x=5，y=10.

（C）x=6，y=4.（D）x=-2，y=-3.

分析 整理方程组可发现形式上的相同点，自然应用整体法解决问题.

解 整理方程组得

a145x+b135y=c1，

a245x+b235y=c2.

所以45x=4，35y=6.

所以方程组的解为x=5，y=10.

练习

1.解方程组：

（1）x-2y=1，3x-7y=5.

（2）3x+y=1，x+3y=3.

（3）2（x+2）-3（y-1）=13，3（x+2）+5（y-1）=10.

2.解方程组：x+y2+x-y3=7，3（x+y）2+x-y3=17.

答案

1.（1）x=-3，y=-2.（2）x=0，y=1.（3）x=3，y=0.

2.x=8，y=2.