归纳四类常用一元二次方程的解法

宋万民

【摘要】 学习一元二次方程时，它的解法是基础也是重点，应该值得我们的重视.一元二次方程的四类常用基本解法归纳如下：一、直接开平方法；二、配方法；三、运用公式法；四、分解因式法.

【关键词】 一元二次方程解法;直接开平方法;配方法;运用公式法;分解因式法

我们知道只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成形如ax2+bx+c=0的形式.这种形式就是一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

学习一元二次方程时，它的解法是基础也是重点，应该值得我们的重视.一元二次方程的四类常用基本解法归纳如下：

1.直接开平方法

把方程ax2+c=0（a≠0）化成x2=-ca的形式，当-ca≥0时，两边同时开平方得x=±-ca.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

例 用直接开平方法解方程：12（x+3）2=2.

解 方程两边都乘以2，得（x+3）2=4，两边同时开平方得x+3=±2，整理得x1=-1，x2=-5.

说明 直接开平方法适用于x2=c（c≥0）形式的一元二次方程的求解.这里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式.换言之：只要经过变形可以转化为x2=c（c≥0）形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解.

2.配方法

用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c=0（a≠0）；把常数项移到方程的右边，得ax2+bx=-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，得x2+bax=-ca；方程的两边都加上一次项系数一半的平方，得x2+bax+b2a2=ca+b2a2；把方程的左边变形为一次二项式的完全平方，右边合并成一个常数，得x+b2a2=b2-4ac4a2；当b2-4ac≥0时，方程两边同时开平方，得x+b2a=±b2-4ac2a；进一步整理可得一元二次方程的两个根，即

x1，2=-b±b2-4ac2a.

例 用配方法解方程：

4x2+1=7-4x.

解 原方程可化为为x2+x=64，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，得

x2+x+122=64+122，

整理得x+122=74，

直接开平方得

x+12=±72，

所以x1=-12+72，

x2=-12-72.

说明 通常不用配方法解一元二次方程，因为配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了.但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）.

3.运用公式法

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）进行配方，当b2-4ac≥0时，可得一元二次方程的两个根，即x1，2=-b±b2-4ac2a.这具有广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．

例 用公式法解一元二次方程：x2+2=22x.

解 原方程化为一般形式为

x2-22x+2=0，

由此可知a=1，b=-22，c=2，

所以b2-4ac=（-22）2-4×1×2=0，

所以x=-（22）±02×1=2，

即x1=x2=2.

说明 由求根公式可知

x1，2=-b±b2-4ac2a，

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由系数a，b，c的值决定的；应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.

4.分解因式法

把一元二次方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

例 解下列一元二次方法：

（1）3x2-6x=0;

（2）2（x-3）2=x2-9.

解 （1）原方程可化为x（3x-6）=0，

所以x=0或3x-6=0，

即x1=0，x2=63=23.

（2）原方程可化为2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，方程左边分解因式得

（x-3）［2（x-3）-（x+3）］=0，

整理得（x-3）（x-9）=0，

所以x-3=0或x-9=0，

即x1=3，x2=9.

说明 因式分解法只适用于左边易于分解而右边是零的一元二次方程，即可化为a·b=0的形式，从而得a=0或b=0.这种解法的实质就是“降次”，将一个一元二次方程，化为两个一元一次方程.

练习

用适当方法解下列一元二次方程：

（1）2（2x-1）2=18.

（2）x2-2x=224.

（3）2x2-5x-1=0.

（4）（4x+1）（x-1）=（3x-1）（x-1）.

总结 要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系.就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而直接开平方法、因式分解法是特殊方法.

（1）公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入一元二次方程的求根公式x1，2=-b±b2-4ac2a求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了.如（1），可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了.

（2）配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用.若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大.如（2），因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2.可以利用用配方法来解，经过配方之后得到x2-2x+1=224+1（x-1）2=225，显得很简单.

（3）直接开平方法一般解符合x2=c（c≥0）型的方程，如第（1）小题.

（4）因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法.

以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，上面给出常规思考方法，仅作参考.