“三数”问题常见错解剖析
2008-12-23皇甫军
皇甫军
平均数、中位数、众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数,但它们描述的角度和所表达的意义并不一样.正因为如此,同学们在计算平均数、中位数、众数的相关问题时,容易出现这样或那样的错误.现结合实例对常见错解加以剖析,希望引起同学们的注意.
例1在一次数学测试中,某班25名男生的平均成绩是86分,23名女生的平均成绩是82分.求这些学生的平均成绩(结果精确到0.01分).
错解:平均成绩为==84(分).
剖析:错解在求平均数时,混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式.当数据中有些数据是重复的,要使用加权平均数计算公式计算.
正确解法:平均成绩为=≈84.08(分).
例2若一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,则3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为.
错解:数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数仍为2.
剖析:设原数据x1,x2,x3,…,x的平均数为.直接代入平均数公式计算,可知新数据mx1+k,mx2+k,mx3+k,…,mx+k的平均数为m+k.
正确解法:数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为3×2-2=4.
例3 求一组数据7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位数.
错解:由于该组数据正中间的数是2,4,所以中位数为=3.
剖析:根据中位数的定义知,在求一组数据的中位数时,应先按大小顺序排列数据.然后观察数据的个数,若数据的个数为奇数,则最中间的就是中位数;若数据的个数为偶数,则中间两个数据的平均数即为中位数.错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断.
正确解法:先将这组数据按从小到大顺序排列:2,2,3,4,5,7,7,8,
9,9.正中间有两个数,分别是5和7,而它们的平均数是=6,所以此组数据的中位数是6.
例4一组数据5,7,7,x的中位数与平均数相等,求x的值.
错解:由于平均数为,而中位数为=7,所以=7,解得x=9.
剖析:错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的.事实上,x的大小可分三种情况:①x≤5;②5
正确解法:①当x≤5时,中位数为6,此时=6,解得x=5;
②当5 ③当x>7时,中位数为7,此时=7,解得x=9. 综上可知,x=5或x=9. 例5某乡镇企业生产部有技术工人15人.生产部为了合理制定工人的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数(如表1). (1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数. (2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260,这个定额是否合理?为什么? 错解:(1)计算可知:平均数为260.中位数为240.众数为240. (2)合理. 因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,体现了这组数据的集中趋势. 剖析:(1)题解答正确.(2)题解得不对,原因在于,每月能完成260件的人一共是4人,还有11人不能达到此定额.尽管260是平均数,但若将其作为生产定额,不利于调动多数工人的积极性. 若生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为240件,比较合理,因为240既是中位数,又是众数,大多数人都能完成生产定额,有利于调动多数工人的积极性.解略. 注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。