几类广义凸函数的等价刻画

韩淑霞， 韩志斌， 黄永忠

(华中科技大学数学与统计学院，武汉 430074)

1 引 言

一般数学分析教材都对凸函数(也是本文中的AA-凸函数)给出了其等价刻画的性质，比如教材[1]和文献[2-3]中给出了割线刻画、切线刻画、一阶导数的单调性刻画和二阶导数的符号刻画、区间端点的凸函数性态等等. 文献[4]介绍了凸函数较全面的等价刻画.

广义凸函数(见下面定义2)多年来受到持续关注，主要研究在于各类不等式方面，其中各种平均值不等式具有非常重要且广泛的应用，文献很多，不在此列举[5-7]. 受文献[5-10]的启发，本文主要关注广义凸函数的等价刻画. 文献[9]给出了f(x)在区间(a,b)(b>a>0)上是HA-凸函数(称为调和算术凸函数)的充分必要条件是函数xf(x)在区间(a,b)上是凸函数，而文献[10]中给出了其充分必要条件是函数f(x-1)在区间(b-1,a-1)上是凸函数. 由等价关系的传递性，xf(x)在区间(a,b)上是凸函数等价于f(x-1)在区间(b-1,a-1)上是凸函数,首先，在命题1中对这个等价性给出了直接证明. 由于HG-凸函数通过对数运算化为HA-凸函数，HH-凸函数通过倒数运算化为HA-凹函数，所以由命题1就推出了HG-凸函数和HH-凸函数的各自等价刻画(推论1和推论2). 其次，通过引理1给出了GA-凸函数的等价刻画，并与文献[9]和文献[10]的两个不同结果一起构成命题2中的GA-凸函数等价刻画. 类似于推论1和2的建立思想，给出GG-凸函数和GH-凸函数的等价刻画(推论3和推论4).

用经典凸函数来等价刻画广义凸函数，既能丰富判别各种广义凸函数的手段，又能促进我们从不同角度对各种广义凸函数有更深刻的认识.

2 一些记号和定义

首先根据要研究的各种凸性，给出平均数和凸函数的概念.

定义1[10]对于两个实数a,b∈(0,+∞)，∀t∈[0,1]，定义a,b的算术平均为

At(a,b)=(1-t)a+tb，

(1)

a,b的几何平均为

Gt(a,b)=a1-tbt，

(2)

a,b的调和平均为

(3)

定义2[10]设区间I⊂(0,+∞)，函数f∶I→(0,+∞)，并设对任意x,y∈I和任意t∈[0,1]，Mt(x,y)和Nt(x,y)均表示式(1)-(3)中的某种平均数. 若f满足

f(Mt(x,y))≤Nt(f(x),f(y)),

(4)

则称f为I上的MN-凸函数，并统称它们为广义凸函数. 若将“≤”改为“<”，则称f为I上的严格MN-凸函数.

当将“≤”改为“≥”时，则称f为I上的MN-凹函数，并统称它们为广义凹函数. 若将“≥”改为“>”，则称f为I上的严格MN-凹函数.

注1 若M，N都为A(算术平均)，则f为通常所见到的凸函数(为避免混淆，本文某些地方称其为经典凸函数)； 若M为H(调和平均)、N为G(几何平均)时，则f为I上的HG-凸函数. 按此意义，依次理解HH-凸函数、GH-凸函数、GG-凸函数等概念.

注2 若f为开区间I上的广义凸函数，则f在I上连续； 进而f在I上的局部广义凸性和整体广义凸性等价. 以f在I上是凸函数为例，f在I上的整体凸和局部凸等价是指：对任意x,y∈I和任意t∈(0,1)有f(At(x,y))≤At(f(x),f(y))，等价于对任意的x,y∈I,存在t0∈(0,1)使得f(At0(x,y))≤At0(f(x),f(y)).这个结论见文献[4]中的引理1，HA-凸函数的相应结论见文献[9]中的定理5.

基于注2，本文在开区间上讨论函数的凸性时不再强调其连续，取t0=1/2是常见的.

3 广义凸函数的等价刻画

由文献[9]和[10]得到下面的命题1，这里主要是给出其(ii)，(iii)等价的直接证明. 基于此得到HG-凸函数、HH-凸函数的等价刻画(见推论1和推论2).

命题1设函数f(x)定义在开区间I=(a,b)⊂(0,+∞)上，则下列结论互相等价：

(i)f(x)是区间I上的HA-凸函数；

(ii)h(x)=xf(x)是区间I上的凸函数；

证(i)与(ii)等价性的证明见文献[9]，(i)与(iii)等价性的证明见文献[10]. 下面给出(ii)与(iii)的等价性的证明.

得

由注2知，g(x)=f(x-1)是区间(b-1,a-1)上的凸函数.

即h(x)=xf(x)是区间I上的凸函数.

故径向下调和函数一定是HA-凸函数.

设f∶I→(0,+∞). 注意到f(x)是区间(a,b)上的HG-凸函数是指：∀t∈(0,1)，有

两边取对数得

由命题1立即得到

注意到f(x)是区间(a,b)上的HH-凸函数是指：∀t∈(0,1)，有

它等价于

由命题1立即得到

下面给出GA-凸函数的等价性结论(命题2)，为此先给出引理1.

引理1函数f(x)在区间I上是GA-凸函数等价于对∀x1,x2,x3∈I且x1

整理得到

[(lnx3-lnx2)][f(x2)-f(x1)]≤[(lnx2-lnx1)][f(x3)-f(x2)].

命题2设函数f(x)定义在开区间I=(a,b)⊂(0,+∞)上，则下列结论互相等价：

(i)f(x)在区间I上是GA-凸函数；

(ii)f(ex)在区间(lna,lnb)上是凸函数；

(iii)f(be-x)在区间(0,lnb-lna)上是凸函数.

证记g(x)=f(ex),h(x)=f(be-x)，则g(x)=f(be-(lnb-x)),h(x)=f(elnb-x)且

g(x)=h(lnb-x),h(x)=g(lnb-x).

(5)

(i)⟺(ii) ∀y1,y2,y3∈(lna,lnb)， 且y1

即f(ex)在区间(lna,lnb)上是凸函数. 上述过程逆推也成立.

(ii)⟹(iii) 设g(x)=f(ex)在区间(lna,lnb)上是凸函数. ∀x,y∈(0,lnb-lna),由式(5)有

(iii)⟹(ii) 设h(x)=f(be-x)在区间(0,lnb-lna)上是凸函数. ∀x,y∈(lna,lnb),由式(5)有

注意到f(xty1-t)≤[f(x)]t[f(y)]1-t等价于lnf(xty1-t)≤tlnf(x)+(1-t)f(y)，即lnf(x)在I上是GA-凸函数，由命题2便可得到GG-凸函数的等价刻画，这便是下面的推论3.

推论3函数f(x)在区间I上是GG-凸函数等价于函数lnf(ex)在区间(lna,lnb)上是凸函数，也等价于函数1/f(be-x)在区间(0,lnb-lna)上是凸函数.

推论4函数f(x)在区间I上是GH-凸函数等价于函数1/f(ex)在区间(lna,lnb)是凸函数，也等价于函数1/f(be-x)在区间(0,lnb-lna)上是凸函数.

在本节最后，为完整起见，给出AG-凸函数和AH-凸函数的等价刻画.

命题3[10]正值函数f(x)在区间I上是AG-凸函数等价于函数lnf(x) 在区间I上是凸函数； 正值函数f(x)在区间I上是AH-凸函数等价于函数1/f(x) 在区间I上是凹函数.

注5 上述命题1～3和推论1～4表明，对于广义凸函数f(x)，可经由f(x)与其它某种初等函数复合或者四则运算后得到的是经典凸函数或者经典凹函数，其意义在于可以用经典凸性判断其广义凸性.

4 应 用

对于文献[9]中提到的有关调和凸函数两个例子的凸性，可用命题1给予验证.

证令h(x)=xf(x)=x2-sinx，由于h″(x)=2+sinx>0，则h(x)在(0,+∞)上是凸函数. 故由命题1知，f(x)在区间(0,+∞)上是HA-凸函数.

在文献[3]中，得到函数

在区间[-1,0)和(0,1]上是经典凸函数，但在区间[-1,1]上不是经典凸函数. 利用本文的结论，亦可得到该函数的其它广义凸性.

例3讨论分段函数

的HA-凸性.

解令

则

在区间[-1,1]是连续的，且

分别在区间(-2/3,0)和区间(0,1]上大于零，在区间(-1,-2/3)上小于零. 故g(x)在区间[-2/3,1]上是经典凸函数，在[-1,-2/3)是经典凹函数. 由命题1可推出，f(x)在区间[-2/3,1]上是HA-凸函数，在区间[-1,-2/3)是HA-凹函数.

由于幂函数是一类非常重要的初等函数，对其各类广义凸性的认识有助于我们对各种广义凸函数的认识和理解.

例4设α≠0，给出幂函数f(x)=xα(0

解利用命题1～3和推论1～4中对函数的各种广义凸性的等价刻画，给出幂函数的各种广义凸性，其结论用下面的表1给出.

表1 幂函数f(x)=xα(0

5 结 论

现将命题1～3和推论1～4中各种广义凸函数的等价刻画结论，总结为表2. 结论表明函数f(x)的各种广义凸性均可用其与其它某种初等函数复合或四则运算后得到的函数的经典凸或者经典凹来等价刻画. 最后用等价刻画命题重新讨论了文献[9]和文献[3]中的三个不同函数的调和凸性，以及幂函数的各种广义凸性，使我们对各种广义凸函数有了更深刻的认识.

表2 各种广义凸函数的等价刻画总结

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.