循环群的t-幂等自同态的个数

2022-11-15许金珍陈正新

莆田学院学报 2022年5期

许金珍，陈正新

( 福建师范大学数学与统计学院，福建福州 350117 )

0 引言

循环群是一类可以对其作出精确刻画且较为简单的群。如果群G 的每个元都是群中某固定元a 的乘方，则称群G 为循环群，记作G ＝〈a〉[1]。由于无限循环群同构于整数加群Z， m 阶循环群同构于模m 剩余类加群Zm[1]，从而同阶数的循环群相互同构。初等数论研究的是整数的最基本的性质[2]，在密码学中也有应用[3]，其主要内容包括整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。不难发现，循环群与初等数论有着紧密的联系。 1903 年， Frobenius 通过计算m 阶循环群到有限群的同态数量，得到了该同态数量所满足的同余关系，并进一步给出了重要的Frobenius 定理[4]。在此基础上， Miller[5]和Hall[6]更加细化地计算了从不同素数幂阶循环群到特殊有限群的同态数量及其相应的同余关系。

已有大量的文献通过群的自同构来研究群的结构。 1936 年， Birkhoff 等推测如果群的阶数充分大，则有限群至少有规定数量的自同构[7]。Ledermann 等在1956 年才证实了这一猜想[8]。同年，在此基础上， Ledermann 等补充证明了文[7] 的猜想[9]。文 [10-15] 相继对有限群的自同构群进行研究。之后，有学者验证了有限群的自同构群是有限的，很自然地可以找到一个群的阶数与其自同构群阶数的关系[16]。有限循环群的自同构群还是循环群[17]。 Ahmad 研究了有限循环群的自同构的循环结构，验证了根据数论中的公式可以计算此类循环的确切数量[18]。

群的自同态是自同构的推广，研究群的自同态也是研究群结构的一个重要方法。据笔者调查，未发现研究群的幂等自同态个数的相关文献。本文将循环群的幂等自同态与数论相联系，进而求得循环群上的2-幂等自同态和3-幂等自同态的个数。

幂等映射的定义是: 设G 为群， t 是一个固定的数。如果对每个 x ∈ G，有 φ(φ(x)) ＝φ(x)，则称 G 的变换 φ 为幂等映射[19]。如果对φ(x)， t ∈ N*， t ≥ 2，则称 G 的变换 φ 为 t-幂等映射，称G 到自身的群同态φ 为t- 幂等自同态。 Z 表示整数集， N*表示正整数集。

本文先介绍循环群的幂等自同态的相关引理，然后计算无限循环群的t- 幂等自同态的个数、有限循环群的2-幂等自同态和3-幂等自同态的个数。

1 预备知识

若用f(x) 表示多项式，又设m 是一个正整数，则f(x)≡0(mod m)叫做模m 的同余式。若a 是使f(a) ≡0(mod m) 成立的一个整数，则x≡ a(mod m) 叫做 f(x) ≡ 0(mod m) 的一解。将适合f(x)≡0(mod m)而对模m 相互同余的一切数的个数称为f(x)≡0(mod m)对模m 的解数。

引理1[2]m1， m2， …， mk是 m 的两两互素的正因子，则同余式 f(x) ≡ 0(mod m) 与同余式组 f(x) ≡0(mod mi)， i ＝ 1， 2， …， k 等价。设 Ti为f(x) ≡0(modmi) 对模 mi的解数， i ＝ 1， 2，…， k， T 为f(x) ≡0(modm) 对模m 的解数，则

引理 2 设 m， t ∈ N*， t ≥ 2， m 阶循环群G 上t- 幂等自同态的个数等于同余方程 xt≡x(modm) 对模 m 的解数。

证由文[1]的定理， m 阶循环群同构于模m 剩余类加群Zm，故求 m 阶循环群 G 上 t-幂等自同态的个数，可归结为求模m 剩余类加群Zm上t-幂等自同态的个数。不妨令G 为模m 剩余类加群自同态。由定义， φt＝ φ。G 的t-幂等自同态φ 的数量等于集合S ＝{x ∈{0， 1， …， m - 1} ｜xt- x ＝ sm， s ∈ Z} 的阶数，即等于同余方程xt≡x(modm) 对模m 的解数。

2 无限循环群的t-幂等自同态的个数

定理 1 设t ∈N*， t ≥2。当t 为奇数时，无限循环群G 的t-幂等自同态的个数为3；当t 为偶数时，无限循环群G 的t-幂等自同态的个数为2。

证由文[1] 的定理，无限循环群同构于整数加群Z，故求无限循环群G 上t-幂等自同态的个数，可归结为求整数加群Z 上t-幂等自同态的个数。不妨令 G 为整数加群Z ， f 是Z 上的 t-幂等自同态。则必有 f(0)＝ 0， f(- a)＝- f(a)＝-af(1)， a ∈ Z。

令f(1)＝x， x ∈Z 。由数学归纳法知，对于每个正整数 a， f(a) ＝ ax， f(- a)＝- ax。已知 f是Z 上的t-幂等自同态，则x ＝f(1)＝ft(1)＝xt，t ≥ 2。由于 t ≥ 2，则有以下两种情形:

当 t 为偶数时， x(x - 1)(xt-2＋ xt-3＋ … ＋x ＋ 1) ＝ 0 的整数解为 0 和 1。此时Z 上 t-幂等自同态的个数为2。

当t 为奇数时， x(x -1)(x ＋ 1)(xt-3＋ xt-5＋… ＋ x2＋ 1)＝ 0 的整数解为0， -1， 1。此时Z 上t-幂等自同态的个数为3。

3 有限循环群的2-幂等自同态的个数

定理2 设 m 有 k 个不同的素因子， m， k∈N*， m＞1，则 m 阶循环群 G 有 2k个 2-幂等自同态。

证由文[1]的定理， m 阶循环群同构于模m 剩余类加群Zm，故求 m 阶循环群 G 上 2-幂等自同态的个数，可归结为求模m 剩余类加群Zm上2-幂等自同态的个数。不妨设G 是模 m 剩余类加群Zm。由引理 2， m 阶循环群 G 上 2-幂等自同态的个数等于同余方程x2≡x (mod m) 对模 m 的解数。已知 m 有 k 个不同的素因子，不互不相同的素数， ri∈N*， i∈ {1， 2， …， k}。由引理1，同余式 x2≡x (mod m) 与同余式组x2≡x (mod mi) 等价， i∈ {1， 2， …， k}。再令 Ti为 x2≡x (mod mi) 对模 mi的解数， i ＝ 1，2， …， k， T 为 x2≡x (mod m) 对模 m 的解数，

在求解x2≡x (mod mi) 对模mi的解数中，x∈ {0， 1， …， mi-1}，且 mi｜ x (x-1)。因为 pi｜ mi，且 mi｜ x (x-1)，所以 pi｜ x (x-1)， i∈ {1， 2， …， k}。根据素数性质， pi｜x或 pi｜ (x-1)， i∈ {1， 2， …， k}。

情形 1 pi｜x。

此时若 pi｜ (x-1)，那么 pi｜ (x- (x-1) )，即pi｜1，这是不可能的，因此pi■(x-1)。此时，由于 mi＝prii，则 priix (x-1)，因此mi) 对模mi的解x＝0。情形 2 pi｜(x - 1)。

此时若pi｜x，那么pi｜(x -(x - 1))，即 pi｜1，这是不可能的，则有 pi■x。此时，由于 mi∈ {0， 1， …， mi-1}，故x2≡x(mod mi) 对模mi的解 x ＝ 1。

综合可知，故 x2≡ x(mod mi) 对模 mi的解数 Ti＝ 2。又由 m 有 k 个不同的素因子，则 x2≡步，由引理2，有限循环群G 的2-幂等自同态有2k个。

4 有限循环群的3-幂等自同态的个数

引理3 x3≡x(mod 4) 对模4 的解数为3。

证由于 x ∈ {0， 1， 2， 3}，容易验证 2不是同余方程x3≡x(mod4)对模4 的解，而0，1， 3 是它的 3 个解，定理得证。

引理 4 设 r ∈ N*， r ＞ 2，则 x3≡ x(mod 2r) 对模2r的解数为5。

证取 x ∈ {0， 1， …， 2r- 1}。由于＋1)。根据x 的奇偶性有以下两种情形:

情形1 x 是偶数。

情形2 x 是奇数。

因此，当 r ＞ 2 时， x3≡ x(mod2r) 对模2r有5 个不同的可能解 x ＝ 0， 1， 2r-1- 1， 2r-1＋ 1 或2r- 1。经检验，它们均为解。

证由文[1] 的定理， m 阶循环群同构于模 m 剩余类加群Zm，故求m 阶循环群G 上3-幂等自同态的个数，可归结为求模m 剩余类加群Z m 上3-幂等自同态的个数。不妨设G 是模m 剩余类加群Zm。由引理2， m 阶循环群 G 上3-幂等自同态的个数等于同余方程x3≡x(mod m) 对模m 的解数。令 mi＝ prii， i ∈ {1， 2， …， k}，那么由引理1 可知，同余式x3≡x(mod m) 与同余式组 x3≡ x(mod mi) 等价，且 i ∈ {1， 2， …，k}。再令 Ti为 x3≡ x(mod mi) 对模 mi的解数，i ＝ 1， 2， …， k， T 为 x3≡ x(mod m) 对模 m 的