可以充当Frobenius核的有限p群

常洁

[摘           要]  设G是有限群，1

[关    键   词]  p3阶群;p4阶群;内交换p群;Frobenius核

[中图分类号]  G642                    [文献标志码]  A                   [文章编号]  2096-0603（2020）49-0150-02

本文主要确定p3阶群，p4阶群和内交换p群中部分可以充当Frobenius的群，关键是找到一个q阶无不动点自同构.

定理1 设G为循环2群，则G不可以充当Frobenius核.

证明：我们知道Aut（G）≌×C2.可见，G不存在除2阶以外的自同构.所以G不可以充当Frobenius核.

定理2 设G是有限初等交换2-群，则G可以充当Frobenius核.

证明：设G≌C2n.因为G为初等交换2群，且初等交换p群可以看作域F（p）上的n维向量空间，所以F≌G，F=2n.若F可以找到一个q阶无不动点自同构，则G也存在q阶无不动点自同构.对F*中的任意一个素数阶元a，令o（a）=q，？滓∶xax.

显然，？滓为F*的一个自同构，且o（？滓）=o（a）=q.

看C（G）（？滓）是否只有单位元.x？滓=x？圳ax=x？圳（a-1）x=0？圳x=0，所以只有F*中的单位元0在C（G）（？滓）中，

从而？滓为F的q阶无不动点自同构，则G可以充当Frobenius核.

定理3 设G是交换2群，若G≌××…×，其中2|d（G），则G可以充当Frobenius核.

证明：因为Aut（G）≌GL（n，4），知Aut（G）=（22n-1）（2 2 （n-1）-1）…（22-1）（n≥2），则G一定存在3阶自同构α.

易证，aα1，aα2，…，aαn为G的生成元，且满足与G相同的定义关系，从而α是G的自同构，且o（α）=3.

下求CG（α）=1.

若ai11ai22…ainn∈CG（α），则满足（ai11ai22…ainn）α=ai11ai22…ainn，其中1≤i1，…in≤4，得a=1，则由直积分解的唯一性有i2=i4=i6…=in=4，4i1+i2，…，4in-1+in，得i1=i2=i3=…=in=4，从而CG（α）=1.

所以，G存在3阶无不动点自同构，从而G可以充当Frobenius核.

定理4 设有限2群G的自同构群的阶数为2x，则G不可以充当Frobenius核.

证明：显然G不存在异于2的自同构，从而G不可以充当Frobenius核.

定理5 设有限2群G的自同构群的阶数为2xp，若G存在一个有不动点的p阶自同构α，则G不可以充当Frobenius核.

证明：Aut（G）是可解群，Sylow2子群和Sylow p子群均为Aut（G）的Hall子群.

若G有p阶无不动点自同构Aut（G）是可解的，根据可阶群的Hall子群共轭，则<α>，<>是共轭的，即存在β∈Aut（G）使=β-1αmβ.令c为α的不动点，则=cβ，所以cβ为不动点，与假设为无不动点自同构矛盾.从而G不可以充当Frobenius核.

定理6 设G是奇阶交换p群，则G可以充当Frobenius核.

证明：显然映射α：，g∈G是G的2阶自同构映射，

又CG（α）=g∈G|[g，α]=1=1，从而G有2阶无不动点自同构，则G可以充当Frobenius核.

定理7 设有限非交换p群G的自同构群的阶数为2xpy，则G不可以充当Frobenius核.

证明：具有二阶无不动点自同构的群必为奇阶交换群，而G存在异于p的自同构只有2，则G不可以充当Frobenius核.

定理8 设G≌Mp（n+1，1）×Cp=

证明：G=.

显然Z（G）=>.

取Φ∈Aut（G），令aΦ=aibjck，bΦ=arbsct，cΦ=aubvcw则1≤i，r，u≤p1≤j，s，v≤p，1≤k，t，w≤p，且aΦ，bΦ，cΦ生成G并与a，b，c满足同样的定义关系，即满足

o（aibj，o（aubvcw）=p，[aΦ，bΦ]=（aΦ），[cΦ，bΦ]=1

（aibjck）p

（aibjck），则（i，p）=1.

（arbsct）p=1，即arpbspctp=arp=1，从而r≡0（mod pn）.

（aubvcw）p=1，即aupbvpcwp=aup=1，从而u≡0（mod pn）.

[aΦ，bΦ]=[aibjck，arbsct]=[ai，bs][bj，ar]=[a，b]is[b，a]jr=，

又[aΦ，bΦ]=（aΦ）

又因为pn|r，所以is≡i（mod p）.

从而s≡1（mod p）（1≤s≤p），则s=1.

[cΦ，aΦ]=[aubvcw，aibjck]=[au，bj][bv，ai]=[a，b]ju[b，a]iv=

由s=1，p|v，1≤j，s，v≤p，

1≤k，t，w≤p.w=p时，为非生成元，而cΦ为生成元，所以w≠p.

有计算知自同构的一般形式：

以下分两类讨论：

（I）：y≡1（mod p）

因为（ap）α=（bxaycz）p=ap，所以ap=CG（α）≠1.

（II）：y≡2，…，p-1（mod p）

v=p，显然有不动点c;

v≠时，要说明有α1非单位元的不动点即找一组（u，w）≠1使得aupcw≠1，（aupcw）=aupcw

（aupcw）=aupcw即auyp+wvpcw=aupcw，整理得u（y-1）≡-wv（mod p）.

任取一組（y，v），一个u≠p值对应一个w值，故一定存在一个非单位元的不动点CG（α）≠1.

找一组（u，w，

即=1整理有关系：

z1w+0（mod p）（y-1）u+wμ+）

任给一组（y，μ，v，z1，z2），则由上同余组知一定存在非单位元aupbw∈CG（α2）.

综上所述可得Mp（n+1，1）×Cp不存在无不动点自同构，继而不可以充当Frobenius核.

参考文献：

[1]陈贵云.Frobenius群与Frobenius 2群的结构[J].西南师范大学学报（自然科学版），1995（5）：185-187.

[2]黄彦华，胡学瑞，魏贵民.一类特殊的p阶群的自同构群的构造[J].西南民族大学学报，2006（3）：454-457.

[3]吕雷，郭文彬.关于Frobenius群的三个定理[J]扬州师院自然科学学报，1986（1）：11-12.

[4]徐明耀，曲海鹏.有限群导引[M].北京：北京大学出版社，2010.

◎编辑 王亚青