考虑停车位置和步行成本的双起点单讫点通勤均衡分析

唐廷彩, 姜 锐

(北京交通大学交通运输学院, 北京 100044)

通勤出行是指家和工作地之间的交通出行, 一般发生在早上上班和晚上下班的两个时间段, 在时间和空间上具有一定的恒定性, 因此需求比较固定, 而当需求大于道路通行能力的供给时, 就会发生拥堵. 早晚高峰的通勤拥堵在我们的城市出行中时常上演, 严重影响了城市的运转效率和宜居性.

通勤拥堵一般发生在道路通行能力有限的瓶颈路段. 1969 年, Vickrey[1]首次提出了描述通勤者出发时刻选择的经典瓶颈模型, 通过研究瓶颈路段的动态交通分配分析了通勤者的早高峰出行行为. Smith[2]和Daganzo[3]证明了经典瓶颈模型均衡解存在的唯一性. 由于经典瓶颈模型的求解过程简单易行, 许多学者都基于此模型进行通勤问题的研究, 包括拓展经典瓶颈模型假设条件(如将同质出行者拓展为异质出行者), 考虑不同的应用场景(如拼车共乘、瓶颈通行能力可变)以及探讨通勤交通管理措施(如拥挤收费)的效果[4-6]. 随着研究的深入, 人们发现通勤出行不仅存在由排队拥堵造成的出行时间浪费, 还存在通勤车辆停车难的问题. Arnott等[7]考虑了停车后需要步行到达工作地点且步行时间正比于停车位与工作地距离的情形, 建立了停车位置和出发时间联合选择的广义出行成本函数, 并分析了各种收费措施的管理效果.Zhang 等[8]研究了考虑停车位置选择的早晚高峰通勤问题. Shoup[9]综述了1927—2001 年的多项研究, 指出停车巡航(寻找停车位)是出行过程中不可忽视的问题. Liu 等[10]在网络层面上研究了停车巡航对于早高峰通勤的影响. Qian 等[11-12]分析了存在两个距离工作地点不同的停车场且近距离停车场车位不足情况下的停车管理措施. Zhang 等[13]研究了停车位使用许可证的交换对交通系统效率的影响. Zhang 等[14]比较了早晚高峰通勤中各种停车收费措施的效果.Fosgerau 等[15]研究了停车费对道路拥挤的影响. Yang 等[16]和Liu 等[17]研究了停车场预订的问题.

上述研究在考虑通勤停车时, 较少涉及多起点单讫点通勤问题. 实际上, 由于个人的经济水平、喜好等因素, 通勤者的居住地(出发地)通常比较分散, 而工作地(目的地)往往位于市中心, 相对集中. 因此, 研究多起点单讫点的通勤出行对于现实更具有指导意义. Liu 等[18]和Wang 等[19]在多起点单讫点的通勤网络上考虑了通勤过程中的停车问题, 主要分析了工作地停车位数量有限引起的通勤者的竞争对交通系统的影响, 并提出了改善交通系统效率的策略,但该工作只关注停车位数量有限的问题, 忽略了停车位到工作地的步行时间. 而在现实生活中, 步行时间成本往往是出行总成本中不可忽视的一部分, 会引起通勤者对步行时间短的停车位的竞争, 从而影响高峰期出行行为. 因此, 本工作在单起点单讫点研究[7]的基础上, 考虑了双起点单讫点的通勤网络, 通过停车位置函数引入来自两处不同居住地的通勤者对于停车位的竞争, 基于经典瓶颈模型分析了停车位竞争(由停车位到工作地的距离引起的通勤者的竞争)影响下的早高峰通勤的均衡状态.

1 问题描述

本工作研究不同居住地的两组通勤者分别经含有一个有限通行能力瓶颈的道路到达停车场停车, 然后步行前往工作地点的早高峰通勤问题, 其中两组通勤者的出行路线没有重叠, 工作地点位置相同, 共用一个停车场, 且假定停车场位于工作地点附近, 停车位从工作地点开始向外线性延伸(见图1). 另外, 不考虑停车位的收费问题, 为了节约步行时间, 通勤者都偏向于选择距离工作地点近的停车位.

图1 双起点单讫点通勤网络示意图Fig.1 Sketch of two-to-one commuting network

通勤者都期望在上班时刻t*准时到达工作地点, 早于或迟于该时刻的成本, 称为早到或迟到成本. 此外, 通勤者还会承担在途出行时间造成的出行时间成本以及由停车位步行至工作地点过程中产生的步行时间成本. 通勤者需要在居住地选择一个合适的时间出发, 以使得早高峰通勤产生的各项成本之和(出行总成本)最小.t时刻通过瓶颈的第i组通勤者的出行总成本可表示为

式中:i= 1 表示第一组通勤者,i= 2 表示第二组通勤者;αi为第i组通勤者的单位出行时间价值;βi为第i组通勤者的单位早到时间价值;γi为第i组通勤者的单位晚到时间价值;λi为第i组通勤者的单位步行时间价值;Ti(t)为第i组t时刻通过瓶颈的通勤者的出行时间;wi为第i组通勤者通过一个停车位花费的步行时间;ni(t)为第i组通勤者中t时刻通过瓶颈的通勤者的停车位置. 式(1)等号右边第一项为出行时间成本(由于出行过程中的自由流时间对结果不会造成本质影响, 故不考虑自由流时间, 假设为0), 第二项为早到成本, 第三项为晚到成本,第四项为步行时间成本. 由于通勤者偏向于选择距离工作地点近的停车位, 且停车位从工作地点开始向外线性延伸, 因此, 停车位编号ni(t)与通勤者通过瓶颈的序数相同. 高峰期时, 道路的瓶颈一直满负荷运行, 故有

式中:si为第i组通勤者经过的瓶颈的通行能力;Ni为第i组通勤者的出行总人数;tsi为第i组通勤者的高峰期开始时刻.

2 均衡分析

当达到均衡状态时, 每组通勤者都拥有相同且最小的出行总成本, 每个通勤者都无法通过单方面地改变其出发时间来降低出行总成本, 即有

式中: ～t为通勤者的出发时刻.

由于两组通勤者共用一个停车场, 二者的均衡态相互影响.tei表示早高峰最后一个通勤者到达停车场的时刻(即第i组通勤高峰的结束时刻), 则根据tsi和tei的大小关系,两组通勤高峰可呈现4 种不同的情形: ①情形A,ts1＜ts2＜te2＜te1, 代表第一组通勤高峰先开始后结束; ②情形B,ts1＜ts2＜te1＜te2, 代表第一组通勤高峰先开始先结束; ③情形C,ts2＜ts1＜te1＜te2, 代表第二组通勤高峰先开始后结束; ④情形D,ts2＜ts1＜te2＜te1, 代表第二组通勤高峰先开始先结束. 若进一步将每组通勤者中准时到达工作地的通勤者到达停车场的时刻与另一组第一个和最后一个通勤者到达停车场的时刻进行比较, 因为tsi ＜toi ＜tei(toi为第i组准时到达上班地点的通勤者通过瓶颈的时刻), 故上述4 种情形又可进一步分为: ①情形A1,ts1＜to1＜ts2＜to2＜te2＜te1; ②情形A2,ts1＜ts2＜to1,to2＜te2＜te1; ③情形A3,ts1＜ts2＜to2＜te2＜to1＜te1; ④情形B1,ts1＜to1＜ts2＜to2＜te1＜te2; ⑤情形B2,ts1＜to1＜ts2＜te1＜to2＜te2; ⑥情形B3,ts1＜ts2＜to1,to2＜te1＜te2; ⑦情形B4,ts1＜ts2＜to1＜te1＜to2＜te2; ⑧情形C1,ts2＜to2＜ts1＜to1＜te1＜te2; ⑨情形C2,ts2＜ts1＜to1,to2＜te1＜te2; ⑩情形C3,ts2＜ts1＜to1＜te1＜to2＜te2;情形D1,ts2＜to2＜ts1＜to1＜te2＜te1;情形D2,ts2＜to2＜ts1＜te2＜to1＜te1;情形D3,ts2＜ts1＜to1,to2＜te2＜te1;情形D4,ts2＜ts1＜to2＜te2＜to1＜te1. 情形A2 中ts2＜to1,to2＜te2表示to1与to2均大于ts2、小于te2, 且to1与to2大小关系不影响所在的情形分类, 情形B3、C2、D3 亦类似. 因为情形C、D 和情形A、B 呈对称性, 所以接下来只讨论情形A、B.

2.1 均衡态出发率、到达率

图2～3 给出了情形A、B 的均衡态, 其中包括两组通勤者的出发曲线、通过(通过瓶颈, 即到达停车场)曲线以及到达(工作地)曲线, 需要注意第一组通勤者与第二组通勤者高峰期均衡状态对应图中横纵坐标的尺度并不一致. 在情形A 中, 第二组的通勤高峰均包含在第一组通勤高峰中. 因此, 第一组通勤者的出发曲线由4 段直线构成, 到达曲线由3 段直线构成; 第二组通勤者的出发曲线由2 段直线构成, 到达曲线为一条直线. 而在情形B 中, 两组通勤高峰均只有部分重叠, 因此两组通勤者的出发曲线均由3 段直线构成, 到达曲线均由2 段直线构成.

下面以情形A1(见图2(a))为例进行详细说明. 在情形A1 中, 第一组通勤者的出发曲线由4 段直线构成. 在ts1＜～t ＜～to1(～toi为第i组准时到达上班地点的通勤者的出发时刻)出发的通勤者将会早到, 在～to1＜～t ＜～t1s2出发的通勤者将会迟到; 在这两个时段出发的通勤者到达停车场时, 尚未有第二组通勤者到达停车场. 在～t1s2＜～t ＜～t1e2出发的通勤者也会迟到, 且当他们到达停车场时, 第二组通勤者会以s2的到达率到达停车场. 在～t1e2＜～t ＜te1出发的通勤者会迟到, 但当他们到达停车场时, 第二组通勤者已全部到达停车场.

图2 情形A 均衡态Fig.2 The equilibrium states in situation A

第二组通勤者的出发曲线由两段直线构成, 其中在ts2＜～t ＜～to2出发的通勤者将会早到,在～to2＜～t ＜te2出发的通勤者将会迟到. 在这两个时段出发的通勤者到达停车场时, 第一组通勤者一直以s1的到达率到达停车场. 因此, 第二组通勤者的到达工作地曲线为一条直线.

对于两组通勤高峰, 通勤者的通过曲线比较简单, 分别为斜率等于各自瓶颈容量的直线.

图3 情形B 均衡态Fig.3 The equilibrium states in situation B

易知, 在该时段内

将式(6)代入式(5), 可解得

由于对应时段内的累积出发率和停车场的累积到达率相等,

两边对t求导, 可得

两边对t求导, 可得

联立式(6)和(11), 可解得

表1 和表2 分别列出了情形A 和B 均衡态的出发率与到达率.

表1 均衡态出发率Table 1 Departure rates under equilibrium states

表2 均衡态到达率Table 2 Arrival rates under equilibrium states

2.2 均衡态关键时刻

在情形A 中, 第一组在ts1时刻出发的通勤者仅有早到成本,

在te1时刻出发的通勤者有迟到成本和步行成本,

第二组在ts2时刻出发的通勤者有早到成本和步行成本,

在te2时刻出发的通勤者有迟到成本和步行成本,

当达到均衡状态时,

同理, 对情形B, 可解得

其中,ξ=(β2+γ2)(β1+γ1+(λ1+γ1)w1s2)-(β1+γ1)(λ2-β2)w2s1,η=β1+γ1+(λ1+γ1)w1s2.

其余关键时刻的求解原理类似, 文中不再列出.

2.3 分析讨论

根据ts1、ts2、te1、te2、to1、to2的表达式, 可求得所有情形的边界的表达式. 例如, 以情形A为例, 令to1=ts2, 可求得A1 和A2 边界的表达式如下:

其余边界表达式可类似求出, 文中不再列出.

观察关键时刻表达式, 可得以下命题.

命题1 当两组通勤者步行速度相等时, 各组准时到达上班地点的通勤者通过瓶颈的时刻相同.

证明 将w1=w2代入每种情形下的to1和to2的表达式, 可得ts2＜to1＜te2,ts1＜to2＜te1且to1=to2, 由此得证.

推论1 当两组通勤者的步行速度相等时, 有且只有一个停车位置xo可以满足准时到达上班地点的要求.

基于推论1, 可以考虑设计停车收费策略, 在该位置收取最大停车费, 而离该位置越远, 收费越低. 在将来的工作中, 我们将分析该停车收费策略的有效性.

命题2 在两组通勤者同质(各时间价值相同)且步行速度相同的情况下, 两组通勤出行人数和通行能力不同时, 只有可能出现情形A2 和情形C2.

命题3 在两组通勤的出行人数和通行能力相同的情况下, 两组通勤者异质或步行速度不同时, 只有可能出现情形B、D.

证明 根据情形A 和情形B 中ts1、ts2、te1、te2的表达式, 在N1=N2、s1=s2的情况下, 当β1＜β2或γ1＞γ2或λ1＞λ2或w1＞w2时, 可推导得出ts1＜ts2＜te1＜te2, 即情形B; 当β1＞β2或γ1＜γ2或λ1＜λ2或w1＜w2时, 可推导得出ts2＜ts1＜te2＜te1, 即情形D, 由此得证.

最后, 需指出由于和步行速度相比, 车速往往较快, 所以本工作模型忽略了寻找停车位的巡航时间. 在车速和步行速度相差不大的情形下, 则需要考虑寻找停车位的巡航时间. 对于向外线性延伸的停车场, 若假定寻找停车位的巡航时间正比于停车位至工作地的距离, 则可将式(1)修改为

3 算例分析

本章主要讨论两组通勤者时间价值相同且两条道路的瓶颈通行能力相同时两组通勤者步行速度与出行人数不同对均衡态的影响. 参考文献[7], 参数设置为:α1=α2= 6.4 $/h,β1=β2= 3.9$/h,γ1=γ2= 15.21$/h,λ1=λ2= 6.4$/h,s1=s2= 120 veh/h,w2= 5 s.

根据边界条件, 画出分区图(见图9和10).

图4 均衡态分区图(w1 ≤w2)Fig.4 Diagrams of equilibrium states (w1 ≤w2)

需指出, 若将第二组通勤者的参数w2= 5 s 视作正常步行速度(5 km/h)对应的参数, 则1.25 s ≤w1≤10 s 可以视作第一组通勤者参数的合理取值区间, 对应于2.5～20 km/h. 其中,w1＜w2可理解为第一组通勤者有其他代步工具(例如自行车、滑板车、平衡车等), 因此步行速度大于第二组通勤者, 从而w值减小; 而w1＞w2则可理解为第一组通勤者需要携带大件物品, 因此步行速度小于第二组通勤者, 从而w值增大.

图5 均衡态分区图(w1 ＞w2)Fig.5 Diagrams of equilibrium states (w1 ＞w2)

由分区图可看出, 当w1＜w2时, 会出现情形A、C、D; 当w1＞w2时, 会出现情形A、B、C. 随着w1的增大, 情形D 的区域减小, 情形B的区域增大. 这是因为当w1增大时, 第一组通勤者的步行成本增大. 为了减小步行成本, 第一组通勤者倾向于提前出发以获得较近的停车位, 其通勤高峰提前. 当w1＜w2时, 随着w1的增大, 情形D 中的情形D3 逐渐占据主导;当w1＞w2时, 随着w1的增大, 情形B 中的情形B2 逐渐占据主导. 此外, 直线N1=N2一直处于情形D 或情形B 所在的区域中, 说明在只有两组通勤者的步行速度不同的情况下, 只会存在情形B和情形D. 这与命题3 相符. 当w1=w2时, 只会出现情形A2和情形C2. 这与命题2 相符.

对于情形A、C, 当w1＜w2时, 随着w1的增大, 情形A、C 所在的区域增大; 当w1＞w2时, 随着w1的增大, 情形A、C 所在的区域减小. 更具体的, 在w1＜w2时, 情形A从A3 逐渐过渡到A2, 情形C从C1逐渐过渡到C2; 在w1＞w2时, 情形A 从A2 逐渐过渡到A1,然后情形A完全消失; 情形C 从C2 逐渐过渡到C3.

4 结束语

本工作研究了双起点单讫点的通勤网络中的早高峰通勤问题. 考虑了来自两处不同居住地的通勤者沿不同道路到达同一个工作地上班并在同一个停车场停放车辆的情形. 基于瓶颈模型, 引入停车位置函数, 分析了两组通勤者的早高峰出行行为. 根据两组通勤者通勤高峰开始及结束的早晚关系, 均衡状态可分为4 种情形. 进一步考虑通勤者准点到达时刻, 可将这4种情况分为14 种子情形. 我们推导得出了这些情形下两组通勤者的出发和到达曲线. 最后, 算例分析考虑两组通勤者时间价值相同且两条道路的瓶颈通行能力相同的情形, 分析了随着第一组通勤者步行速度的减小, 各种情形均衡态对应区域的变化情况.

在将来的工作中, 可将该模型推广至多起点单讫点场景, 还可在此模型基础上分析交通管理政策的作用, 例如拥挤收费、停车收费、错峰上班等. 此外, 还可以考虑其他实际因素的影响, 例如, 通行能力的随机性, 通勤者的异质性, 通勤模式的多样性等.