波浪结构超疏水表面对液滴聚并弹跳的影响

李英杰，李奇侠，王宏，2，朱恂，2，陈蓉，2，廖强，2，丁玉栋，2

（1 重庆大学工程热物理研究所，重庆 400030； 2低品位能源利用技术及系统教育部重点实验室，重庆 400030）

引 言

液滴自发聚并在自然界中广泛存在。当液滴在超疏水表面上聚并时，聚并液滴可以在没有任何外力的条件下自发地从表面跳起，这种现象称为聚结诱导液滴起跳。在工业应用如强化滴状冷凝换热[1-3]、表面自清洁[4-7]、防结冰∕结霜表面[8-10]中，需要液滴能够及时有效地去除，因此聚结诱导液滴起跳展现出潜在的应用价值而被广泛研究。当冷凝液滴在超疏水表面聚并时，通过减小表面积释放额外的表面能，表面能部分转化为动能，促使液滴自发跳跃。为了更好地诱导液滴起跳，就需要更大的起跳速度和动能转化率，为此学者们从实验、理论和模拟三方面[11-16]研究了液滴自发跳跃的机理。

Zhao等[17]发现分层微纳米结构超疏水表面对液滴聚并起跳和防结霜有促进作用，通过合理调整微锥结构尺寸后结霜延迟时间超过90 min。Kim 等[18]提出一个凝结临界热流模型来量化增强跳跃速度对传热性能的影响，发现对多液滴聚并起跳，将跳跃速度适当提高50%可提高40%的传热性能。Moradi 等[19]采用守恒Lattice Boltzmann 法对三相系统中的聚并起跳进行了模拟研究，发现临界液滴尺寸依赖于缝隙中润滑剂-水界面的性质，起跳临界接触角增大为150°，远大于一般平壁面的临界接触角120°。Xie 等[20]采用MD 方法模拟了两个非等直径液滴的聚并起跳，发现当半径比过大时液桥没有机会撞击到固体表面，此时液桥的衬底机制失效。Liang等[21]用MD方法模拟了两个纳米液滴的聚并过程，发现尽管纳米液滴内部黏性耗散很大，但在超疏水表面上的两个纳米液滴聚并同样会从表面起跳。Wang 等[22]通过实验和Lattice Boltzmann 法研究液滴半径比对聚结诱导起跳的影响，发现随着尺寸比的增大，起跳速度减小，尺寸比对液滴弹跳有负影响。Cheng 等[23]也采用Lattice Boltzmann 法研究初始液滴位置对三个液滴聚并起跳的影响，发现三液滴聚并的起跳速度远大于两液滴的起跳速度，且由于释放表面能转化为平动动能的能力减弱，间隔聚并的起跳速度明显低于集中聚并的起跳速度。Chu等[24]采用VOF方法模拟多液滴聚并过程中液滴形态的变化，通过计算表面能、动能和起跳动能的变化得到能量转换效率，发现增加液滴数有利于表面能的释放和增大起跳动能转换效率。此外，一些学者改变壁面微观结构来增大动能转换效率和跳跃速度。Vahabi 等[25]研究了一种带脊的超疏水表面，实验证明了在该表面上液滴聚并具有很高的能量转换效率（约为18.8%），与光滑平壁面相比，能量转换效率提高约570%。Wang 等[26]从实验和理论两方面研究了液桥撞击壁面对聚并液滴起跳的影响，通过改变宏观壁结构来促进固液相互作用，发现在三棱柱结构上液滴底面收缩加速，起跳速度增大。Lu等[27]受三棱柱结构的启发，研究了一种不对称V 形槽结构的超疏水表面对增强液滴聚并弹跳的影响，发现该结构将聚并弹跳的能量转换效率提高了700%以上。Wang 等[28]研究了微柱阵列在超疏水壁面上对聚并弹跳的影响，发现静态接触角随微柱阵列距离增加而非线性增加，阵列宽度和间距对跳跃有显著影响，而阵列高度对跳跃无显著影响。彭启等[29]研究了受限微柱结构和表面张力对液滴聚并弹跳的影响，发现受限微结构可以改变液滴形态及液桥撞击位置以强化液滴聚并弹跳过程，而减小表面张力会减弱该强化作用。此外，一些学者利用梯度润湿或亲疏水间隔条纹等壁面结构特性诱导液滴的弹跳运动，例如任辉等[30]采用实验和VOF 方法研究了润湿性图案表面上液滴的侧向弹跳行为，发现通过在超疏水表面上设置亲水条纹可诱导液滴定向弹跳并得出了壁面结构和液滴参数的影响规律。

综上所述，现有的研究主要从液滴参数及壁面结构两方面关注如何增大聚并液滴的起跳速度及增大动能转换率，但是根据研究表明竖直起跳的聚并液滴最终会回落到原始表面，不利于液滴的有效去除。因此本文基于有限元方法，研究平壁面和波浪形壁面上的液滴聚并过程，通过采用波浪形表面来增大液滴聚并弹跳的水平分速度，从而增大液滴的水平位移，达到有效去除聚并液滴的效果，使聚结诱导液滴起跳现象能更广泛地应用在工业中。

1 模型及方法

1.1 数值模型和控制方程

本文基于COMSOL Multiphysics 有限元软件，选择层流模型和守恒形式Phase Field 模型，采用自适应时间步和自适应网格，在相初始化和瞬态求解中均采用MUMPS求解器求解，内存分配因子1.2，相对容差0.005。在Phase Field 模型中，通过定义相函数φ来区分两相，φ= -1和φ= 1分别对应只存在于一个相位的区域，如φ= -1 表示空气相，φ= 1 表示液相；-1 ＜φ＜1 时表示两相界面。守恒形式Phase Field模型的Cahn-Hilliard方程为

式中，φ为相场函数；ψ为相场助变量。利用相场函数，流体物性参数可以表示为

式中，ρ是密度；μ是动力黏度；下角标l和g 分别表示液相和气相。

由于是不可压缩流体，因此流体的连续性方程和动量方程可表示为

式中，U是速度矢量；p是压力；g是重力加速度。在Phase Field 模型中，表面张力以化学势的方式添加进NS方程中，表示为

式中，λ为混合能量密度；εpf为初始界面厚度；σ为表面张力系数；γ为迁移率，决定Cahn-Hilliard扩散的时间尺度；χ为协调迁移参数，本文中设置为1 m·s∕kg。

在Phase Field 模型中将润湿(接触角)边界条件以几何公式的形式表示，在此公式中，对于给定的接触角，润湿壁条件为

1.2 物理模型和无量纲分析

在液滴聚并起跳中，起跳速度存在水平方向和竖直方向两个分量，根据式（9）可得质量平均竖直速度Vj和质量平均水平速度Ul。

式中，Ω是整个计算域；Vf2表示液相的体积分数，即在 液相中Vf2 = 1，在空 气相中Vf2= 0。文献[31]中指出，对于 液滴聚并起跳的数值模拟，在跳 跃机理、临界液滴尺寸和跳跃速度等方面，2D 模拟和3D模拟结果是一致的，因此 本文对2D液滴聚并起跳进行了模拟研究。文中模拟了平壁面和波浪形壁面两种情况，平壁 面计算域和边界条件如图1（a）所示，计算 域的尺寸为长4.000 mm、宽4.000 mm；波浪形壁面计算域和边界条件如图1(b)所示，波峰 宽1.000 mm，高0.134 mm。在所有的计算例中，较大液滴的半径r1为400 μm，较小 液滴半径为r2，半径 比n=r2∕r1。计算域底部的超疏水表面设为无滑移壁面边界，接触 角大小为160°，其余 边界采用压力出口边界。

图1 几何模型及边界条件Fig.1 Geometric model and boundary conditions

气液两相的物性参数参考20℃时的取值，即气相密度1.29 kg∕m3，动力黏度17.9×10-5Pa·s，液相密度998 kg∕m3，动力黏度0.001 Pa·s，气液表面张力系数σ为0.072 N∕m，Ohnesorge 数为0.005898。为了更准确地说明起跳速度和物性参数的关系，采用惯性毛细速度Uic和惯性毛细聚结时间τ来表示水平无量纲速度U*、竖直无量纲速度V*和无量纲时间t*，分别为

1.3 模型验证

首先，液滴聚并起跳主要是由于表面能的释放，因此准确地获得相界面参数至关重要。通过测量液滴在平板上不同接触角下的最大液滴高度，并与理论值进行比较，以此来验证数值方法的准确性。最大液滴高度理论值[32]表达式如式（11）。

如图2（a）所示，hm表示在某一接触角下液滴稳定时的最大高度；R表示初始时刻液滴的铺展半径。图2（b）是模拟值与理论值的对比，可以看出吻合较好，验证了数值方法的合理性。

图2 表面张力模型验证Fig.2 Verification of surface tension model

其次，本文通过与Wang 等[22,27]在平壁面上两液滴聚并的实验结果进行对比来验证该模型的正确性。模拟了在接触角为165°平壁面上的液滴聚并弹跳过程(n=0.78 mm∕0.78 mm=1.0、n=0.55 mm∕0.61 mm=0.9)，图3 所示为实验与模拟结果的对比，可以看出两种半径比的聚并液滴形态演化过程与实验吻合较好，验证了模型的准确性。

图3 液滴聚并弹跳的模拟与实验形态对比Fig.3 Comparison of simulated jumping after droplet coalescence with experimental result

最后，在采用Phase Field方法追踪相界面时，可以得到精确的相界面但同时存在一定的质量损失，文献[33]指出采用非守恒型Cahn-Hilliard 方程时液滴质量损失较大，在0.15 ms 时间内液滴质量损失达8.5%。因此为了得到准确的模拟结果，保证液滴的质量守恒是必需的。本文采用守恒型Cahn-Hilliard方程追踪气液界面，同时使用自适应网格，在计算过程中自动对液滴界面进行局部加密，以确保液滴在聚并起跳过程中的质量守恒。图4 所示为液滴质量分数随时间的变化，可以发现在计算时间内液滴质量损失小于0.06%，验证了相场模型的准确性。

图4 液滴质量分数随时间的变化Fig.4 The droplet mass ratio change with time

2 结果分析与讨论

2.1 平壁面上液滴聚并过程

在研究平壁面上液滴聚并起跳时，通过两液滴半径比n来描述不同液滴大小的聚并弹跳行为。图5 为n=0.8（r1=400 μm,r2=320 μm）时的无量纲速度U*和V*随无量纲时间t*的变化。可以看出液滴聚并起跳过程可以分为四个阶段：(1)液滴聚并形成液桥；(2)液桥撞击壁面获得加速度，液滴速度迅速增大；(3)聚并液滴达到最大速度并脱离壁面；(4)液滴在空气中持续振荡并减速上升。可以看出平壁面上聚并起跳液滴的V*和U*变化趋势相似，但对比数值大小可以看出在相同t*下U*远小于V*，因此液滴运动以竖直方向为主，在水平方向上运动小，不利于聚并液滴的去除。

图5 n=0.8时液滴无量纲速度随无量纲时间的变化Fig.5 Time evolution of droplet's dimensionless velocity with n=0.8

图6是不同半径比的两液滴聚并形态随时间的演化，虚线标注为聚并液滴参考中心线。可以看出不同半径比液滴聚并时都存在上述四个阶段且运动过程相似，但等径和不等径聚并液滴形态演化存在明显差异。当n=1.0 时，在t*=0.15 时形成液桥，随后液桥撞击壁面，在t*=2.6 时脱离壁面，液滴的形态演化关于参考中心线对称，没有出现转动，液滴做垂直平动运动；n=0.8，由于两液滴直径不等，聚并时内部的流场不对称，液滴存在一定的转动但不明显，液滴仍以垂直运动为主；n=0.4，液滴尺寸差异的增大导致内部流场不对称程度增大，使液滴转动更明显，聚并液滴以旋转运动为主，同时由于液滴释放的表面能减小，获得的动能减小，液滴的起跳高度和滞空时间减小，因此脱离壁面的能力变弱。综上，当n＜1.0 时，由于流场的不对称聚并液滴会出现不同程度的转动，且半径比越小，局部水平速度的差异越大，液滴的转动越明显。

图6 不同半径比液滴聚并形态演化Fig.6 The morphology of coalescence droplet at different radius ratios

为更直观分析聚并液滴周围的流场信息，提取了不同半径比的液滴水平分速度云图及流线图，如图7所示。可以看出，等直径液滴在聚并过程中水平分速度及周围流场关于轴线对称，在聚并液滴两侧产生较为对称的涡流，液滴在水平方向的合速度较小，所以聚并时液滴的运动主要为垂直平动。当n＜1.0 时，在较小液滴侧表面积变化大，因此产生较大的水平分速度并在其周围流场产生局部涡流，而在大液滴侧由于表面积变化较小，速度变化较小，其周围产生的涡流小于小液滴侧，因此液滴在非对称涡流的作用下产生转动，如图7(b)、(c)。对比t*=1.0 时刻n=0.8 和n=0.4 的水平速度和流场可以发现半径比越小局部涡流非对称性越强，小液滴侧的水平速度越大，同时两液滴的局部速度差越大，产生的旋转越剧烈，液滴逐渐以旋转运动为主。

图7 水平分速度云图及流线图Fig.7 Horizontal velocity field cloud and streamline

为分析聚并液滴的水平运动，提取了不同半径比下V*和U*随时间的变化曲线和聚并液滴水平位移差变化曲线，如图8 所示。可以看出随半径比减小，液滴总表面积减小，聚并释放的表面能减小且释放时间缩短，因此最大速度V*减小，达到最大速度的时间缩短。达到最大速度并脱离壁面后，在忽略空气阻力条件下液滴只在重力作用下在空气中做匀减速运动，因此不同半径比的减速过程类似，如图8（a）所示。n=1.0 时，液滴运动以垂直平动为主，水平速度为0；n＜1.0 时，由于聚并过程的非对称性，在起跳前会产生较大水平分速度U*，起跳后液滴只在重力作用下运动，故水平速度在液滴起跳后达到稳定，变化不明显。当n=0.8，液滴虽存在转动，但竖直速度远远大于水平速度，液滴以平动为主，水平速度对液滴的作用为沿水平方向的平动，U*＞0；当n=0.4，在脱离壁面后V*迅速减小到与水平速度相当，液滴整体上以转动为主，水平速度对液滴的作用为沿水平负方向的转动，U*＜0。

根据聚并液滴的初始位置和聚并弹跳后的回落位置定义聚并液滴的水平位移差Δx，由图8(d)可以看出在平壁面上聚并时最大水平位移小于0.30 mm。可以发现，无论哪种半径比，在平壁面上聚并时，液滴沿水平方向的位移很小，聚并起跳后的液滴在一段时间后几乎回落到壁面原位置处，难以有效地去除，因此平直超疏水壁面尽管可以产生液滴聚并弹跳现象，但是有效水平位移小，难以去除液滴。可见，在超疏水表面防水或防结冰的应用中，在水平布置条件下由液滴聚并自弹跳现象带来的表面自清洁效果不够显著，因此需对其壁面结构进行设计，以促进液滴的水平运动。

图8 不同半径比下聚并液滴的无量纲速度与水平位移Fig.8 The dimensionless velocity and horizontal displacement of coalescence droplet at different droplets radius ratios

2.2 液滴聚并弹跳水平运动强化方法

在上述研究的基础上考虑如何增大液滴聚并起跳后的水平速度和水平位移，实现液滴的有效去除。由于平壁面的效果不明显，因此考虑如何改变表面结构可以较为明显地增大液滴的水平位移，故建立了波浪形超疏水壁面模型。图9 为n=1.0 时波浪形壁面上两液滴聚并形态演化图，在波浪形表面上两液滴聚并时，同样存在液滴聚并形成液桥过程、液滴加速运动、达到最大速度并脱离壁面及在空气中持续振荡并减速上升四个阶段，由于液桥撞击在斜面上，产生的作用力方向垂直于斜面方向，因此对液滴产生一个水平方向的分力，从而显著增大液滴的水平动能和水平速度，水平位移也显著增大。在t*=36时，可以看出液滴落下撞击到壁面时水平位移了一个波峰，相较于平壁面，水平位移显著增大。图10 为n=1.0 时聚并液滴U*、V*的变化，可以看出U*和V*变化趋势相似，在液滴达到最大V*速度时(t*=2.6)水平U*速度也达到最大值。在竖直方向上液滴做抛物线运动，在t*=18.1 达到最大高度后开始下落，在水平方向上做小幅度匀减速运动，U*=0.2，方向沿x轴负方向。对比图7发现，波浪形壁面上最大V*相较于平壁面有所减小，达到最大速度的时间相等(t*=2.6)，但水平速度U*显著增大到与V*在相同数量级，水平位移显著增大。

图9 波浪壁面上液滴聚并形态变化Fig.9 The morphology change of coalescence droplet on wavy wall

图10 波浪形壁面上聚并液滴的无量纲速度变化Fig.10 The dimensional velocity change of coalescence droplet on wavy wall

定义波浪高度为a，波宽为b，η=a∕b，保持波宽b=1.00 mm 不变，η越大则波高越大，通过改变高度研究壁面结构对液滴聚并弹跳的影响。图11 为聚并液滴的最大水平位移差Δx和竖直位移差Δy随波浪结构变化曲线，可以看出随η的增大水平位移逐渐增大，液滴能达到的竖直高度逐渐减小，Δx与Δy负相关。η越小波浪越平缓，液滴聚并后受到壁面反作用力的水平分力越小，接近在平壁面上的聚并过程，故Δx越小而Δy越大。当η≥0.21时，可以看出液滴的Δx迅速增大并保持相对稳定，而Δy则迅速减小，说明此时的波浪结构对液滴水平运动的促进作用接近峰值；Δy的迅速减小说明继续增大η会导致起跳后液滴竖直高度小于波峰的高度，阻碍液滴的聚并弹跳过程。因此可以说明当η=0.21，此时的波浪壁面结构最有利于液滴聚并弹跳运动。

图11 水平位移差和竖直位移差随波浪结构的变化Fig.11 Horizontal displacement difference and vertical displacement difference vary with wave structure

图12 为不同半径比下聚并液滴在平壁面和波浪形壁面上的水平速度与水平位移变化曲线，可以看出在波浪形壁面上聚并液滴的水平速度和水平位移与半径比成正比，相同半径比下波浪形壁面上聚并液滴的水平速度和水平位移显著增大(＞1600%)，因此可以说明波浪形的超疏水壁面可以有效促进聚并液滴的水平运动。

图12 不同半径比下液滴在两种壁面上U*和Δx对比Fig.12 The comparison of U*and Δx of coalescence droplet at different wall and radius ratio

当n＜1.0时，根据两液滴相对位置变化有1-n型和n-1 型两种聚并模式。以n=0.8 为例，图13(a)、(b)分别为1-n型和n-1 型的无量纲速度变化图，可以看出n-1 型液滴聚并与n=1.0 时的速度分布没有明显区别，而1-n型液滴聚并在t*=32 后水平速度U*进一步增大，通过分析不同模式下液滴碰壁位置（图14）可以发现1-n型的液滴撞击点在波谷的右侧，而n-1 型液滴撞击点在波谷的左侧。对于1-n型而言，撞击在波谷右侧可以进一步获得壁面给予的与水平速度方向相同的水平分力，促进液滴的水平运动。因此，液滴在波浪形壁面上聚并的水平速度与壁面的倾角、液滴聚并位置、波浪几何结构密切相关，通过合理地设计这些参数，增大液滴沿水平方向的速度，就可以实现聚并液滴沿某一方向连续撞击波浪形壁面并自去除的现象，从而促进冷凝液滴自去除和表面自清洁的工业应用。

图13 波浪形壁面无量纲速度变化Fig.13 The dimensionless velocity change of coalescence droplet on wavy wall

图14 液滴撞击波浪壁面位置Fig.14 The position droplet hit the wavy wall

3 结 论

本文通过数值模拟研究了平直超疏水壁面和波浪形超疏水壁面上液滴聚并弹跳过程，通过分析不同半径比下液滴的无量纲速度变化规律及水平位移的变化规律，以及不同波浪壁面结构对液滴运动距离的影响规律，得出以下结论。

（1）在平壁上聚并时，不同半径比n的竖直速度V*变化趋势相似，而运动方式及液滴形态有一定差异，当n=1.0 时液滴无转动，液滴垂直起跳；当n＜1.0时液滴存在一定的转动，且n越小转动越强烈；随着n减小，V*的最大值及达到最大值的时间减小，液滴的起跳高度减小；此外，平壁面上液滴水平速度U*远小于V*，聚并液滴的水平位移小(Δx＜0.30 mm)，不利于聚并液滴的去除。

（2）在波浪形壁面上聚并时，由于液桥的作用力垂直于斜面产生较大的水平分力，液滴在水平分力的作用下U*和水平位移差显著增大，与平壁面相比增大了1600%；随n增大，水平速度及水平位移差线性增大；当n＜1.0 时，存在1-n型和n-1 型两种聚并模式，并且通过控制液滴和波浪壁面的尺寸，可以使聚并液滴回落撞击在波浪波谷的右侧，产生的水平分力与运动方向一致，进一步促进液滴的水平运动，实现液滴的高效连续去除。

（3）研究波浪结构对液滴聚并弹跳过程的影响，发现随η增大液滴的最大水平位移增大而最大弹跳高度减小，较大的波浪高度可以有效地促进液滴的水平运动；当η=0.21 时，促进作用接近峰值且液滴弹跳高度较大，可以保证聚并液滴的水平弹跳运动和有效去除。