一个有趣的平面N 点组的构造

重庆市长寿龙溪中学 吴 波（邮编：401249）

1 问题的提出

在某奥数群中，一位老师提出如下4 个有趣问题：

问题1 对任意正整数n(n≥3)，在平面上是否存在n个点：其中任两点之间的距离均为有理数，且任三点不共线，而以其中任意三点为顶点的三角形的面积也均为有理数？

问题2 对任意正整数n(n≥3)，在平面上是否存在n个点：其中任两点之间的距离均为无理数，且任三点不共线，而以其中任意三点为顶点的三角形的面积也均为无理数？

问题3 对任意正整数n(n≥3)，在平面上是否存在n个点：其中任两点之间的距离均为无理数，且任三点不共线，而以其中任意三点为顶点的三角形的面积均为有理数？

问题4 对任意正整数n(n≥3)，在平面上是否存在n个点：其中任两点之间的距离均为有理数，且任三点不共线，而以其中任意三点为顶点的三角形的面积均为无理数？

关于问题1，我们早有答案：

定理1[1]对任意正整数n(n≥3)，在单位圆上存在这样的n个点：其中任意两点间的距离是有理数，且以其中任意三点为顶点的三角形的面积也都是有理数.

圆上任意三点显然不共线，所以，问题1 的回答是肯定的.需要说明的是：对定理1 中的n点组，如果作适当的相似放大，诸有理数都可放大为整数.从而推出关于Heron 三角形的一个有趣结论[1]：

对任意给定的正整数n(n≥3)，存在这样的圆，它上面有这样的n个点：以其中任意三点为顶点的三角形都是Heron 三角形.

若将定理1 的平面n点组放大π 倍，则其中任两点间的距离也放大π 倍——变成了无理数，而其中任三点为顶点的三角形的面积将放大π2倍——也变成了无理数，这样得到的即是满足问题2 条件的n点组.

那么满足问题4 条件的平面n点组存在吗？如果存在，如何构造出来呢？

本文中我们就将解决这个问题.

2 预备知识

先介绍文献[2]中的相关知识.

定义1[2]a, e∈N+，如果a2∣e，则a叫做e的平方因子(显然1 是任何正整数的平方因子).如果除1 外e没有其它的平方因子，我们就说e是无平方因子数，或者说e无平方因子.比如1，2，3，5，6…等就是无平方因子数.

结合引理2 及定义2 即知：sinθ∈F(e)，cosθ∈Q. 证毕.

3 问题的解决

我们的思路是将文献[2]中的上述结果与文献[1]的方法结合起来，用构造法将定理1 推广为：

定理2e是给定的无平方因子数，则对任意给定的正整数n(n≥3)，在圆x2+y2=e上存在这样的n个点：其中任两点之间的距离均为有理数，而以其中任三点为顶点的三角形的面积∈F(e).

结合引理2 和定义2 知：

sin4βi∈F(e)，cos4βi∈Q(i=1,2,3,…,n).

又，对任意j,k,l∈{1,2,3,…,n}(j,k,l两两不等)，由解析几何知识知：△MjMkMl的面积(外层“││”为绝对值符号)

结合引理2 知：上面行列式中的所有9 个元素均为有理数，则将它展开后其值必为有理数.再结合定义2 可知S∈F(e).

下面证明其中任两点间的距离为有理数.

对任意k,l∈{1,2,3,…,n}且k≠l，由两点间距离公式有

其中sin2(βk-βl) = sin2βkcos2βl-cos2βksin 2βl，而前面已证：

sin2βi∈F(e)，cos2βi∈Q(i=1,2,3,…,n).

结合定义2 和引理2 即知：sin2(βk-βl)∈F(e).

由此并结合引理2 即知：

这样我们就全部解决了本文开头提到的4 个问题.而对于问题的空间推广问题，无疑是一个有趣而又十分困难的问题.