数学建模课要有数学建模的“味道”

◎薛 兴

(甘肃省庆阳市陇东学院附属中学，甘肃 庆阳 745300)

一、引 言

数学建模是一个小课题，是一项微型的研究活动，不同于一般常规课.一些教师认为数学建模就是解应用题，把数学建模课上成了解应用题课，这样的课缺乏数学建模的“味道”.数学应用题不同于数学建模题，应用题的条件明确，解决问题的指向清晰，结果常常是确定的或唯一的；数学建模题的条件是模糊的、不明确的，变量之间的关系也是未知的，需要学生从数学的角度分析、思考，忽略次要因素，抓住主要因素，抽象概括，大胆猜想和假设，用数学思维建立变量之间的模型，然后用数学的思想和方法去解决模型，并检验模型是否符合实际.如果检验结果与实际相差较大，那么学生要重新构建模型.由此可见，数学建模与解应用题有很大区别，那么数学建模课究竟怎样上才有数学建模的“味道”呢？笔者从以下几方面谈谈数学建模课应该怎样上.

二、教师要选择合适的问题，引导学生合作探究，建立数学模型

数学源于生活，又为生活服务.在课堂教学过程中，教师要有意识地创设生活情境，联系生活实际，使教学紧贴生产、生活和社会热点等，激发学生的学习兴趣.如空气污染问题、垃圾分类问题、商品利润问题、购房贷款问题、节能减排问题等，都与学生的生活息息相关，是学生经常遇到的实际问题.这些问题符合学生认知特点及认知水平，不但能激发学生的学习兴趣，而且能解决生活中的困难，对学生有着非常重要的实际意义.若教师选择的问题不贴合学生实际，则不仅不能很好地激发学生的学习兴趣，还会大大挫伤学生的学习积极性，对学生进一步探究和深度思考造成阻碍.

对于这些生活实际问题，一些学生在建模初期会感到困难，尤其是将实际问题转化为数学问题，因为实际问题复杂，影响因素多，与数学问题相差很大.要建立数学模型，就要对实际问题进行分析、数学抽象、归纳总结、去伪存真、提炼加工.对于实际问题的建模，哪些因素需要保留，哪些因素需要忽略，如何确定自变量和因变量，如何明确控制变量，都没有固定模式.不同问题有不同的解决思路；同一问题也有不同的解决方式，最终结果也会有所不同.

例如“停车距离问题”，许多学生都坐过汽车，亲身体验过汽车刹车的过程，这个问题对学生来说特别熟悉，学生会有极大的兴趣去研究探讨.学生最直观的印象是汽车速度越快，刹车距离就越长.实际上，影响停车距离的因素有很多，停车距离与刹车前的速度有关，与车辆的重量和刹车性能有关，与驾驶员的反应速度有关，还与道路的平坦状况、是否下雪下雨等一些因素有关.为了方便研究，我们假设在相同的路段、同一时间和同一车型的条件下研究该问题，主要考虑前两个因素，这样就将复杂的问题简单化了.学生应忽略对问题影响不大的次要因素，抓住影响问题的主要因素，确保问题的结论基本符合实际，减少不必要的误差.因此，教师要引导学生，帮助学生进行探究，从数学的角度处理实际问题，发现实际问题中蕴含的数量关系，逐步掌握数学建模的方法，体验数学建模的过程.

三、教师要制订切实可行的活动方案，指导学生进行数学建模，让学生充分经历数学建模的过程，提高数学建模能力

数学建模的过程是将一个具体的实际问题转化成一个数学问题，用数学方法解决这个问题，再把它应用到实际生活中的过程，即用数学模型解释现实生活中的现象和规律.

在建模过程中，一些学生初次进行数学建模，对数学建模感到特别陌生，无从下手.这就要求教师有明确的教学计划和目标，要预先制订一个切实可行的活动方案，指导学生按步骤执行计划.教师要在执行计划的过程中适时引导学生怎样去做，但决不能越俎代庖，要让学生充分体验建模的过程，否则学生将体会不到数学建模的意义.

例如，北京市第五十中学黄老师的“怎样烧开水最省燃气”一节课.黄老师精心设计教学过程，预先制订了活动方案，以问题为导向，提出一系列切合实际的问题，组织学生讨论.

活动1：以小组为单位讨论在烧水时影响燃气用量的因素有哪些(水的质量、水的初始温度、水壶的材质、燃气灶的性能、火焰的大小等)；如何处理这些影响因素；火焰越大，越节省燃气吗；火焰越小，越节省燃气吗；如何刻画火焰的大小.

活动2：如何获取相关数据？以小组为单位，学生分工协作，通过实验获取测量数据，记录测量数据，填写实验数据记录表.

活动3：以小组为单位，对数据进行分析，作出散点图，观察数据和图像，得到旋钮位置与燃气用量之间的变化.

活动4：以小组为单位，讨论后对数据进行函数拟合，并记录拟合函数的表达式.

活动5：请找出函数图像中最小值处的坐标.

活动6：小组合作，结合以上探究过程绘制数学建模的步骤图.

通过以上指导方案，学生在教师的指导下，积极参与建模，认真分析影响燃气用量的主要因素，提出合理的假设.对于数据的收集，学生经过热烈的讨论得出合理的办法，取旋钮开关的特殊角度(如15°、30°、45°、60°、75°、90°)测量.在收集燃气用量时，学生多次测量取平均值，以减小测量的误差.在读燃气表时，学生注意到视角不同会造成读数误差.学生自己动手操作，体会到数据收集的重要性，认识到稍有不慎会就造成很大误差，导致最终结果不符合实际，需要重新收集数据.在对数据进行分析时，学生以小组为单位，分工合作，相互交流，得出不同的函数模型.这让学生体会到：数学建模的结果不唯一，不同的假设会有不同的结论.在活动过程中，学生的发现问题、提出问题的能力得到提高，分析问题、解决问题的能力进一步增强，数学语言表达能力和实践能力得到提高，数学核心素养大幅度提高.学生充分体验了数学建模的全过程，即观察实际问题情境—发现问题和提出问题—收集实验数据—建立数学模型—求解数学模型—检验结果—解决实际问题.

在活动方案的实施过程中，由于课堂时间有限，学校的实验条件或室内环境等无法满足学生的实验要求，教师可以组织学生以小组为单位，利用课外时间进行实验活动，提前测量得到课堂所需要的实验数据.这样不仅能大大节约课堂时间，而且给学生提供了亲身体验数据测量的机会，为顺利完成教学任务提供了良好的保障.

四、教师要组织学生积极参与数学建模活动

数学建模是一种数学学习活动，也是一种学习方式.数学建模的过程是学生不断思考、不断分析、不断探究的过程，教师要组织学生提出问题，引导学生发现问题，让每名学生都能深入思考，积极发言，参与数学建模活动，通过相互交流解决实际问题.所以，教师要留给学生足够的时间去讨论问题，要留给学生足够的空间去进行实验活动，让学生相互交流，合作探究，参与建模活动.

例如，在“怎样烧开水最省燃气”的课程中，黄老师将学生分成五组，以小组为单位，分析烧水时影响燃气用量的因素.经过讨论，学生得到“影响燃气用量的因素有水的质量、水的初始温度、水壶的材质、燃气灶的性能、火焰的大小等”的结论.如何处理这些影响因素？经过认真思考、合作交流，学生认为应弱化次要因素的影响，对主要因素提出假设：(1)每次烧水量相等都是1.2 L；(2)每次烧水使用相同的水壶和燃气灶；(3)在同一地点进行多次实验，每次实验时水的初始温度相同，当水的温度达到100℃时停止加热.在以上假设条件下，学生重点研究火焰的大小对燃气用量的影响.黄老师引导学生思考以下几个问题：(1)火焰越大，越省燃气吗？(学生思考讨论后认为不一定，火焰越大，灶台的温度越高，浪费的能源就越多)；(2)火焰越小，越省燃气吗？(学生认为不一定，火焰过小，燃烧时间变长，能源消耗变多)；(3)如何刻画火焰的大小？(学生思考后认为，在燃气灶的使用过程中，可以通过旋转灶台上的旋钮来调整火焰的大小，可以用旋钮的旋转角度刻画火焰的大小);(4)如何获取相关数据？(学生思考后认为，进行实验，将旋钮旋转到不同的度数时，记录烧开水燃气表的数值变化，以小组为单位，经过大量的重复实验，测量数据，然后取平均值，减小测量带来的误差，获得数据).学生观察数据后会发现，随着旋钮位置的变化，燃气用量也在发生变化，这两个变量可能存在某种函数关系，如果我们能找到这个函数关系，那么探究的燃气用量最省问题就变为求函数的最小值问题.于是，学生以小组为单位，积极讨论对数据进行函数拟合的方法，并记录拟合函数的表达式.学生通过充分交流和多次拟合，得到了不同的拟合结果.第一组拟合的是三次函数；第二组拟合的是四次函数；第三组拟合的是正弦函数；第四组拟合的是二次函数；第五组拟合的是幂函数.各组的学生代表发言，分析模型，得到最符合实际情况的数学模型.在这个活动过程中，每名学生都参与数学建模活动.通过相互讨论、自主交流、合作探究，学生的合作意识和协作能力得到了提高，数学表达能力也在不断提升.合作效能得到了充分的体现.

在数学建模活动中，学生是认知活动的主体，教师要组织、帮助、引导学生进行建模活动.在建模的教学中，对于方法的探究、实施、调整和反思等，教师应尽可能地让学生通过自主探究或合作探究完成，从而培养学生的合作意识和团队意识，提高学生的综合素养.

五、教师要充分利用信息技术开展数学建模活动，使数学实验变为现实

随着科技的迅猛发展，信息技术辅助教学已经成为现代教育的一种必不可少的新型教学模式.它不但能极大地调动学生学习的积极性，而且能有效提高课堂效率.在数学建模过程中，教师要充分利用几何画板、Excel、GeoGebra等教学工具，进行数学建模活动，使原来无法实现的数学实验变得形象直观，同时模拟现实生活中的许多问题，使数学实验变为现实.

例如，Excel软件是当今十分流行的一款办公软件，功能十分强大.在数学建模过程中，利用Excel描绘散点图求出回归直线方程的操作很简单，也特别方便.首先，我们将数据及序号输入Excel工作表，将数据和序号选中；其次，我们点击“插入”，找到右下角的“散点图”，在下拉菜单中选择“仅带数据标记的散点图”，这时工作表中将显示这组数据的散点图，我们依次单击“图标工具”——“布局”“分析”“趋势线”，再单击下拉菜单，并从中选择所需要的模型，此时选择“线性趋势线”拟合图中的散点，软件便自动绘制出了散点图，特别方便快捷；最后，我们选中“趋势线”菜单，勾选“显示公式”菜单，线性回归方程就自动出现在散点图上.

学生还可以利用Excel中的数据分析功能进行计算.我们以前面的方式输入数据后，在工作表菜单栏中单击“数据”，选择图表栏中的“数据分析”，这时在工作表中将弹出一张“分析工具(A)”的菜单表供我们选择.这时我们可以选择“回归”分析，点击“确实”后，工作表中将弹出回归分析的参数表，以供我们输入回归分析的有关数据和有关的控制命令.我们输入完毕相关数据后单击“确定”，Excel将立即给出回归分析的计算结果.

Excel及很多计算机软件都能完成线性模型最小二乘法的计算任务，所以教师应要求学生在掌握最小二乘法的基本原理的基础上，学会使用计算工具来解决比较复杂的计算问题.

在数学建模课堂教学过程中，学生是课堂教学活动的主体，教师是课堂教学的组织者和引导者，应尽可能地让学生通过自主探究或合作探究完成数学建模活动的实施和方法的探索.教师不能越俎代庖，要让学生不断去实践、去创新，让数学建模课落到实处，从而促进课程改革的贯彻落实.教师要不断提高教学方法，全面提高学生的数学学习能力，让学生的数学核心素养得到全面发展.

“打铁还要自身硬”，一些教师教学经验不足，对数学建模活动的实践教学把握不够准确，教师应该在备课、说课、磨课等教学环节上下功夫，认真做好教学实践，不断提高数学建模课的教学技能.一些学生对数学建模比较陌生，因此学生应该拓展自己的视野，学会利用网络资源了解数学建模相关内容，提高自己的生活问题数学化能力，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.