小学低年段学生数学抽象思维培育策略——以分数教学为例

江苏省苏州市吴江经济技术开发区长安实验小学 邱美芳

数学教育家郑毓信教授说：“数学核心素养的基本涵义就在于：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”在数学教学中，我们不仅要教学生书本知识，更要注重学生学习方法、核心素养的培养。通过对数的特性的感悟，增强学生抽象出数量关系的能力，培养小学低年级学生的抽象素养。

一、对比策略：培养学生初步感知数的特性

对比，就是把具有差异、矛盾和对立的双方安排在一起，进行对照和比较。对比在数学教学中发挥着不可估量的作用，能让学生更好地发现知识的本质特征，学会对比对培养学生的抽象素养作用很大。

（一）从新旧对比到搭建联系，建立直观表象

数学教师在课堂教学中应抓住数学核心概念，选取学生熟悉的典型实例，让学生经历完整的数学抽象过程，在概念形成的学习中学会数学抽象，熟悉其“基本框架”。从旧知的导入到新知的搭建，让学生在对比联系的过程中建立直观表象。

在教授《认识分数》时，我先复习上册的把一个物体或图形平均分如何用分数表示。再出示一个盘子，里面有几个桃子，平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？根据已有的知识，进行知识间的联系和迁移，学生马上能回答出来，每只小猴吃这盘桃的1/2。在新旧知识间联系的同时，还要引导学生进行比较，今天所学的知识和之前的有什么相同和不同之处。现在是一盘桃，所以可以把一盘桃看做一个整体，把一个整体平均分成几分，每份是它的几分之一。在生活中，我们平均分的对象可能是1个物体或图形，也可能是一些物体，所以学习今天的知识很有必要。在进行知识间迁移的过程中产生对比的意识，对新知产生需求意识，才能让学生更好地理解知识本身。

唤醒学生的旧知，出示未知个数的桃子，避免桃子个数对学生产生干扰，让学生把一些物体看作一个整体，进行新旧知识间的联结，再进行对比引导，让学生认识到今天所学的知识与之前的不同之处，更好地建立分数的直观表象。

（二）从表象到抽象的对比，感悟数的特性

通过从表象到抽象，排除外部世界与数学本质无关的东西，把与数学有关的东西抽象到数学内容，形成数学研究的对象。让学生从形式开始，引导学生从形式关注到抽象的内容，从而来感悟数的特性。

我们可以把一盘桃子看作一个整体，把这盘桃圈起来，还可以把什么看作一个整体呢？学生纷纷发言，糖、饼干、橘子、香蕉等，都可以看作一个整体进行平均分。随着学生的回答，替换圈中的物体。我追问：“那5个圆形可以吗？”生迟钝了一会说行的。“那6个数字或字母呢？”我接着问。我把圈中的物体去掉，留下一个圈，学生思考，在我的引导下，学生们越说越多。这一盘未知个数的桃子也可以是其他物体，可以是桃子、苹果、糖果、饼干，也可以是图形或数等。让学生从具体的物体、图形等表象的东西到只留下一个圈，让学生把具体的物体或图形抽象出来，摒弃一些外在的特点和不同，抽出相同的特点。都是把这些物体看作一个整体，平均分给2只小猴，都要平均分成两份，那么每只小猴都分得这盘桃的1/2。

一盘桃子、一包糖只是表象，是生活中的具体事物，只有把它抽象出来，变成数学本质的东西，才能让学生理解分数的真正意义。引导学生从形式关注到抽象的内容，才能有效地感悟数的特性。

二、体验策略：培养学生深度理解数的特性

数感的培养离不开学生的参与和体验，在体验中抽取其共同的数学本质属性或特征，并借助定义和推理进行逻辑建构。体验是动态的、综合的学习过程，它能调动学生的感知、记忆、想象、思维等功能进入学习的最佳状态，正如苏霍姆林斯基所说的“儿童的智慧在他的手指尖上”。

（一）在体验中纵横探究，理解数的特性

知识的巩固需要在操作中进行，从而增强对知识的进一步理解。在练习中，正确的答案并不是教学的唯一目的，更重要的是学生对题目的理解，和对一些规律、相同与不同点之类的观察探究意识，对本质东西的抽取过程等都尤为重要。

在理解分数的特性的过程中，要注重让学生动手操作，并进行纵横探究，引导学生思考：6个桃子平均分给3只小猴和12个桃平均分给3只小猴，为什么每份的个数不同，但都可以用1/3来表示？6个桃，平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的1/2。6个桃，平均分给3只小猴，每只小猴分得这盘桃的1/3。都是6个桃，为什么每份表示的分数却不一样？在理解分数本质含义的过程中，注重让学生动手探究，通过分一分认识到分数跟平均分的份数有关，与个数无关。

通过操作，进行纵横探究，更加丰富学生的感知，去除一些外在的干扰，抓住知识的本质，弄清分数与什么相关，与什么无关，分数表示的含义到底是什么，从而追其本质。

（二）在体验中将分数符号化，抽其本质特征

符号化是数学抽象的特征之一，数学每抽象出一个重要的概念，通常会赋予符号表示。数学符号是具有简洁性和抽象性的规范语言，它准确、清晰，具有简约思维、提高效率、便于交流的特点。

在教学时，这盘桃如果是4个，平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的1/2；如果是6个、8个或一篮桃子，每只小猴也是分得这盘桃的1/2。通过变换桃的个数，让学生进行视觉体验和思维体验，认识到只要平均分给2只小猴，每只小猴就分得这盘桃的1/2。接着引出，如果平均分给3只、4只……，每只小猴分得这盘桃的几分之几。抓住分数意义的本质，从而认识并抽象出只要把这盘桃平均分成几份，每份就是这盘桃的几分之一。反之，分得了这盘桃的几分之一就要把它平均分成几份。

通过一盘桃个数从具体的数量到未知的量的变化，摒弃外在的干扰因素，丰富学生对于分数本质的理解。这样的体验训练，让学生对分数符号产生直接的头脑反应。

三、应用策略：培养学生系统建构数的特性

数学抽象思维是人数学思维发展的高级阶段，经历数学抽象过程，是促进学生数学抽象思维发展的必由之路。培养小学生的数学抽象素养，必须要注重数学学习的基础知识和基本技能，善于引导学生进行数学思考，学会解决数学问题，在这一系列的过程中，逐步培养学生的数学抽象素养。

（一）在解决问题中拓展抽象思维的价值

数学知识的价值在于它能帮助我们解决问题，抽象思维的价值也在于它能在不同形式的问题解决中对我们产生一定的帮助，所以，抽象思维不能光说不练，而要在练习中将其内化拓展。

12个桃可以平均分成几份，每份是它的几分之一？先分一分，再填一填。让小组分组进行讨论、操作，来解决问题。在巡视的过程中，发现有的学生没有思考就直接动手进行分，有的学生能说出1—2种，但有的学生能按顺序说全，可以平均分成2份、3份、4份、6份、12份，每份分别是整体的1/2、1/3、1/4、1/6、1/12。要表示12个桃的几分之一，只要考虑可以把12平均分成几份就可以，有序而且不会遗漏。似乎一切都很顺利，没有什么问题。当出示一篮桃，问学生想吃它的几分之一？学生纷纷回答1/2、1/3、1/4、1/5等。“那要不要考虑这篮桃的个数能不能平均分成3份、5份呢？”学生们都不作答。

在不出示桃子的个数时，学生可以任意说，但当个数是已知的，学生就会被桃子的个数所限制，变得不太会思考了。为此，我们要引导学生认识到，只要把一个整体平均分成几份，每份就是它的几分之一，我们只是取了正好可以完整地平均分的情况而已。在正确的引导下，让学生在解决问题中内化分数的基本含义，拓展抽象思维的价值。

（二）在数学应用中积累抽象思维的经验

思想一定是以知识为载体的，方法一定先于思想，也就是说思想一定是建立在知识和方法学习的基础上。所以，要培养学生的抽象思维能力，要经常地训练，才能掌握方法。教师要结合教学内容和学生的实际，巧妙地让学生在生活场景中学会应用，才能让学生积累经验，从而更好地将所学的知识加以运用。

在解决问题中我设计了这样一个环节：小丁邀请朋友来家里玩，他准备了一些糖果，先来了2个朋友，小丁拿出6粒糖果放进果盘，每人吃2粒，每人可以吃了它的1/3。又来了4位朋友，小丁还是要每人发2粒，于是又拿了几颗放进果盘，现在每人可以吃它的几分之一？学生被这个陌生的情境蒙住了，一时不知该如何解答。前后两次，小丁都是可以吃2粒糖，为什么前一次是吃糖果的1/3，后一次是吃糖果的1/7呢？面对一系列的生活场景问题，显然有部分学生就难以轻松应对了。

为什么前后小丁可以吃的2粒糖所表示的分数会发生变化，让学生认识到随着人数的变化平均分的份数也在变化，之所以会不相同，是因为糖果数量这一整体在变化。生活中的问题是突发的，变化很大，不像教材上的练习那么固定，我们要多创设一些灵活的生活场景，让学生在运用中不断积累抽象思维的经验。

四、陶冶策略：培养学生建立敏锐的数感

数感的培养需要我们创造环境去陶冶学生，通过适时适地有目的地引导，让学生养成估算的好习惯，借助数形结合，让学生对数有敏锐的感知。

（一）在估算训练中逐步培养学生的数感

估算不仅仅是在教材要求的时候让学生去做，只要有数的计算，就要让学生去估算，创造估算的环境，让学生体会到估算的价值和必要性，才能在估算训练中逐步培养学生的数感。

很多学生，做一些简单的计算总会出现这样或那样的错误，如608÷2=24；480÷60=80；3/4÷12=9等。学生计算比较马虎，特别是能口算的题，错误率更高。如果让学生平时养成估算的好习惯，608÷2商是三位数，480÷60商是一位数，3/4÷12商小于3/4。解决问题中，如白兔是黑兔的3/4，结果算出答案白兔是50只，黑兔是100只，明显不对。23/35和4/11比较大小，很多学生会通分或化成小数，但数感好的同学一看就知道23/35大于4/11，因为23/35大于1/2，而4/11小于1/2，能快速比较出大小。学生在解题时缺少对答案的预判和审视，如果能做到先估一估或者算完后估一估答案的正确性，那么学生就能有效避免这些错误的产生，有时能结合估算提高解题的速度。估算意识的培养和估算能力的提高不是靠几天的练习就行的。首先教师要有培养学生估算的意识，多引导，多练习，才能让学生养成估算的意识。其次，要让学生认识到估算的价值，不是为了估算而估算，而是能提高解题的正确率。

长期引导和训练，学生就会养成估算的意识，并且提高估算的速度，这不是浪费学生的时间，而是培养了学生良好的解题习惯和数感。

（二）在数形结合中提升学生数感的敏锐度

学生对于整数的数感还可以，但是对分数和小数的数感就差了很多。在教学的时候，我们要注重引导学生学会画图，通过数形结合，从而帮助学生建立直观表象，提升学生数感的敏锐度。

在解决1/2+1/4+1/8+1/16+1/32时，如果让学生画图来理解，学生很容易理解为什么这些数相加等于1-1/32。比较8/9和9/10的大小，可以让学生画线段图，直观感知8/9中的每份比9/10中的每份大，同样少取一份，为什么8/9小于9/10，从而让学生充分理解。男生比女生多1/5，女生比男生少多少？女生是男生的几分之几？男生是女生的几分之几？在解决这个问题时，总有学生模糊不清，对于单位“1”和它们之间的关系混淆难分。如果利用线段图画一画，女生是5份，男生比女生多5份的1/5就是6份，就能直观地看到女生比男生少1/6，女生是男生的5/6，男生是女生的6/5。

在教学的时候，教师要利用画图的方法，把难以理解的知识转化为图形的方式，更清楚地表示它们之间的关系。让学生能结合图形，直观地感知和理解，长期训练，帮助学生提高数感的敏锐度。

五、总结

抽象素养的培养不是一朝一夕的事，一节课的引导和培养远远不够。这就需要教师在平时的教学中多一些这方面的思考：怎样贯穿课堂，把知识更好地教给学生，让学生慢慢地学会观察对比、勤于操作体验、善于拓展应用，从而更好地学习并应用数学知识。