莫尔测量法中相位物体位置对结果的影响研究

陈雅宜，陈云云，张静云，杨翠红

（1.南京信息工程大学江苏省大气海洋光电探测重点实验室，江苏南京210044；2.南京信息工程大学江苏省气象光子学与光电探测国际合作联合实验室，江苏南京210044）

引言

莫尔测量法因其实时、稳定、非接触等特点，自1980年O.Kafri 将其用于测量相位物体之后[1]，已被广泛用于各类火焰温度场[2]、跨音速和超音速风洞密度场[3]、稀释蔗糖溶液和常压空气的折射率测量[4]等研究中。最值得一提的是，自J.Stricker首次从偏折层析的逆Radon 变换公式出发，对2 个被加热的铜柱产生的非对称温度场进行了重建[5]，使得莫尔层析技术成为光学测量的重要手段之一。事实上，莫尔层析技术就是将莫尔测量法原理与光学计算层析技术相结合，在保留了实时、稳定、非接触优点的基础上，同时还具备层析技术可以获取被测流场关键参量的3-D 分布的优势。在此之后，关于莫尔层析技术的应用研究日益深入，主要包括：条纹形成机理[6-8]、条纹信息提取方法[9-15]以及折射率重建算法[16-19]等。到目前为止，莫尔层析技术已被广泛用于各类流场的结构显示和关键参量测量中，其中还包括一些高温复杂流场[20-22]。然而，调研结果表明，在莫尔测量法的应用中，有部分研究将待测量物体放置于2 个光栅中间[23-25]，但更多的是将被测相位物体放在2 个光栅前面[26-30]。

为了确定相位物体放置位置对结果的影响，本文将从理论和实验2 个方面着手进行研究。我们将基于标量衍射理论下的莫尔条纹方程进行推导，并最终进行实验验证，相关研究结果将为更好地应用莫尔测量法进行流场检测提供一定的参考和指导。

1 基本原理

为了便于问题的讨论，相关理论推导将在一级滤波下的莫尔条纹方程的基础上进行展开。此外，当莫尔层析技术用于流场诊断时，通常以偏折角作为投影数据，而偏折角是折射率的一阶导数沿射线路径上的积分[31]。而且，一般被测流场的折射率分布都是基于相位信息所获的偏折角数据进行重建的。因此，本文的理论分析将主要围绕相位物体放置位置对相位和偏折角的影响展开。

1.1 相位物体置于两光栅前

相位物体置于2 个光栅前的莫尔测量光路如图1所示。

图1 莫尔测量法光路图（相位物体置于2 个光栅前）Fig.1 Optical path diagram of Moire deflectometry (phase object placed in front of 2 gratings)

当相位物体放置于光栅G1之前时，一级滤波下的莫尔条纹方程为[7]

式中：φ(x,y)表示的是光栅G1前表面的光波相位；Δ表示的是2 个光栅之间的间距；α表示2 个光栅之间的夹角；d是光栅常数；Q为任意整数。

因此，一级滤波下，莫尔条纹偏移量q1和由被测场扰动引起的相位 φ1可分别表示为

考虑到莫尔层析的偏折角投影 φd(x,y)与相位层析投影 φ(x,y)的关系，偏折角与由被测场扰动引起的相位之间的关系可表示为[32]

式中：n0表示实际实验测量中的环境折射率。

1.2 相位物体置于光栅之间

相位物体放置于2 个光栅之间情况下的莫尔测量光路如图2所示。此外，其他参量设置均与图1 中相同。由文献[33]可知，当准直光路(M=1)且相位物体放在2 个光栅之间时，一级滤波下的莫尔条纹方程可写为

图2 莫尔测量法光路图（相位物体置于光栅中间）Fig.2 Optical path diagram of Moire deflectometry (phase object placed in middle of gratings)

式中：Δ1和Δ2分别表示待测相位物体O距离光栅G1和G2的距离。

考虑到 Δ =Δ1+Δ2，则公式(5)可表示为

对比(1)式和(6)式可知，在同样的准直光路下改变待测相位物体位置时，一级滤波下莫尔条纹方程唯一的区别在于最后一项，即条纹的偏移量。此外，由公式(6)可知，当光束通过相位物体后，相位物体放在光栅中间时的莫尔条纹偏移量q2和由被测场扰动引起的相位 φ2(x,y)可分别表示为

理论上来说，Δ2<Δ，所以待测物放在光栅之间的偏移量和相位将会小于将其置于2 个光栅前时的偏移量和相位。

偏折角与相位之间的关系可描述为

1.3 理论分析

比较偏移量公式(2)和(7)可以发现，在其他相关参量都保持一致的情况下，被测物体放置于2 个光栅前时的偏移量q1正 比于 Δ，而被测物体放置于光栅中间时的偏移量q2则 正比于 Δ2。不难发现，2 种情况下偏移量关系满足：

此外，通过比较偏折角公式(4)和(9)可知，在其他相关参量都一样的情况下，被测物体放置于2 个光栅前面时的偏折角φ1d(x,y)主要取决于。而当被测物体放置于光栅中间时，偏折角φ2d(x,y)主要取决于。因此，如果那么理论上来说相位物体的放置位置并不会影响偏折角，即不会影响最终被测场的折射率分布结果。

因此，下文将从相位和偏折角2 个参量角度来验证理论推导的正确性和合理性，以及讨论相位物体位置对实验结果的影响。为了证明推导和分析是合理的，我们将进行几组实验。

2 实验和结果

搭建如图1 和图2 描述的实验装置进行实验，所用激光器的波长为532 nm，透镜2 和透镜3 组成一个扩束准直系统，它们的焦距分别为3 mm 和30 cm，2 个朗奇光栅5 和6 的有效尺寸为50 mm×50 mm，光栅常数d为0.02 mm。本实验中，始终保持2 个光栅间距 Δ为10 cm。

实验选取蜡烛火焰作为被测相位物体。考虑到实验结果的普适性和说服力，在被测对象放置于光栅中间的情况下，待测物体距离光栅G2的距离 Δ2为4 cm、5 cm 和6 cm 下的莫尔条纹结果分别被拍摄并记录。此外，为了方便莫尔条纹信息提取，实验记录了蜡烛未燃烧和燃烧状态下的莫尔条纹结果。然后，对所有实验结果图进行了统一区域截取的预处理，区域尺寸均为320×320 像素，相关结果如图3 和图4所示。

图3 待测物体不同位置下所获莫尔条纹图（未点燃）Fig.3 Moire fringes with object to be measured placed on different positions (unburned)

图4 待测物体不同位置下所获莫尔条纹图（点燃）Fig.4 Moire fringes with object to be measured placed on different positions (burning)

如图3 和4所示，图中所标记的是我们选取的进行具体分析和讨论的截面。

3 分析与讨论

3.1 相位

利用傅里叶变换方法提取上述截面的相位信息，并且运用多重网格法进行相位信息的解包裹[32]，最终相位分布结果如图5所示。

图5 相位分布Fig.5 Curves of phase distribution

根据公式(3)和(8)，在其他相关参量均保持一致的情况下，相位物体放置于2 个光栅前和2 个光栅中间时的相位大小会分别正比于对应情况下2 个光栅的间距 Δ和相位物体距离光栅G2的距离Δ2。根据图5 实验获得的相位结果可以看出，相位大小基本符合上述与距离的变化规律。为了更加清晰地验证结果，相关理论和实验结果在表1 中给出。

表1 理论和实验结果对比Table 1 Comparison of theoretical and experimental results

为了方便讨论，上述表格中相位的比较主要选取了实验得到的最大值进行了比较。表1 通过比较光栅间距的理论值比值 Δ/Δ2与所获得相位的实验值比值 φΔ(max)/φΔ2(max)，说明2 种情况下的相位大小确实分别正比于对应情况下2 个光栅的间距Δ和相位物体距离光栅G2的距离 Δ2，即实验结果可以证明。

3.2 偏折角

图6 偏折角分布Fig.6 Curves of deflective angle distribution

从图6 不难看出，在相位物体放置于不同位置时，偏折角的大小及其分布基本一致。这就证明了之前的推论，在其他相关参量均保持一样的情况下，相位物体放置位置对最终的偏折角结果没有影响。此外，根据现有报道可知，实际测量中是在实验获得的偏折角数据基础上进行折射率重建的，因此只要偏折角基本一致，则后期重建出来的被测流场的折射率就基本一致。

事实上，导致图6 中几种情况下偏折角分布的实验结果不完全一样的原因可能有：

a)在实验过程中，蜡烛燃烧状态基本是稳定的，但可能略有变化；

b)在前后几次实验中，截图可能略有一点点偏差，导致所示结果不完全是同一个截面的结果。

但是，通过图6 可以看出，相位物体放在光栅中间时的偏折角的曲线分布不如放置于2 个光栅前面时的光滑，这点也能说明为什么到目前为止大多数实际测量都是将待测对象放在2 个光栅之前。

3.3 折射率分布

基于上述偏折角数据计算折射率分布，图7 给出了上述几组实验中相同截面的折射率分布结果。

图7 3-D 折射率分布Fig.7 Diagram of 3-D refractive index distribution

为了更清晰地看出它们的区别，图8 中给出其径向分布。

图8 折射率径向分布Fig.8 Curves of radial refractive index distribution

折射率结果表明，它们基本一致，只有在中心区域稍有区别。此外，上述实验结果还表明，相位物体放在光栅中间且 Δ2=5 cm 时的折射率分布基本和放在前面的折射率分布吻合，而在 Δ2=4 cm和 Δ2=6 cm 情况下的折射率分布规律更相似。

4 结论

本文主要从理论和实验2 方面研究了相位物体位置对莫尔层析测量结果的影响，且实验和理论结果吻合很好。结果证明，无论相位物体放在2 个光栅前面还是中间，只要在从相位获取偏折角时，选对合适的间距 Δ 或 者 Δ2，就不会对最终折射率重建结果造成影响。换句话说，也就不会对最终流场的参量重建产生影响。总之，相关研究将为更好、更广地应用莫尔测量法进行流场的诊断提供重要的参考。