“不联立”解决一类圆锥曲线中直线过定点问题

魏东升

(福建省厦门双十中学漳州校区 363107)

圆锥曲线定点问题一直是高考的重点热点问题，对于这类问题需要考生掌握扎实的基础知识和基本的解题方法.直线过定点问题常见的解题方法主要有两种：一种是通过引进参数表示出直线经过的两个点坐标，再由这两点确定直线的方程，从而经过化简得到直线的定点；另一种是直接假设出直线的方程，然后和圆锥曲线联立，再利用韦达定理找出直线中参数的关系，从而得到直线的定点. 这两种方法一般都有联立所设直线和圆锥曲线方程，计算量很大，不易找到定点.本文专注于“不联立”的思路来找直线过的定点，所给的解决方案具有普遍性：

1 “不联立”与椭圆

(1)求C的方程；

(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，点D为垂足.证明：存在定点Q，使得DQ为定值.

以下对第(2)问进行探究：

直线过定点(x0,y0)的问题，常通过假设直线的截距式y=kx+b方程，进而找到方程系数之间的关系来求得定点，这种解法是一种常用的方法，也是高考参考答案给出的方法.但许多考生并不能准确找到系数之间的关系，而且有的问题并不能用这种方法.这个时候我们可以尝试采用另一种思路：

假设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线AM，AN的斜率存在且不为0时，设直线AM的方程为y=k(x-2)+1.

因为AM⊥AN，所以直线AN的方程为

(1+2k2)x2-(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0.

所以直线MN的方程为

与第一种思路相比，这种假设直线的方法相对更自然，但最后一步要准确找到直线的定点却并不容易，我们来看“不联立”的解决办法：

整理,得

2x1y2-x2y1-4y2-2y1+2x1+x2-2=0.

同理可得2x2y1-x1y2-4y1-2y2+2x2+x1-2=0.

两式作差,得

3(x1y2-x2y1)-2(y2-y1)+x1-x2=0.

所以直线MN的方程为

2 “不联立”与双曲线

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)证明：直线MN必过定点，并求此定点坐标.

对于第(2)问，常规思路是通过假设直线AB，CD的方程，分别和双曲线联立可得M，N的坐标，从而用点斜式的方式得到定点，这个时候还要考虑直线AB，CD和坐标轴平行的情况.我们来看“不联立”的解决办法：

作差变形,得

整理,得3x1y2+x2y1-6y2=0.

同理可得3x2y1+x1y2-6y1=0.

两式作差,得

x1y2-x2y1=3(y2-y1).

所以直线MN的方程为

所以直线MN过定点E(3,0).

3 “不联立”与抛物线

(1)若P(1，1)是AB的中点，求直线AB的方程；

(2)若k1+k2=1，证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.

解析对于第(1)问，由题意可得抛物线y2=2x，利用点差法可得直线AB的方程为y=x.

对于第(2)问，其和例2中的双曲线一样，都是弦中点连线过定点问题的.我们来看“不联立”的解决办法：

整理,得x1y2=x1-1+y1y2.

同理可得：x2y1=x2-1+y1y2.

两式作差,得x1y2-x2y1=x1-x2.

所以直线MN的方程为

所以直线MN过定点E(0,1).

需要指出的是，例1中的点A(2,1)在椭圆上，所以是利用椭圆方程转化斜率之间的关系.而例2和例3中的点虽然不在椭圆上，但都是中点，故而可以用点差法的思路迅速得到斜率之间的转化关系.

圆锥曲线中的定点问题在高考中有广泛的应用，像这样以小专题的形式介绍圆锥曲线中存在的问题，短、平、快地一次性彻底地解决与其有关的问题，对学生解题水平的训练、思维能力的培养和学科素养的提升，想来都是极好的.