多视角研究一道联考解析几何等角题

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

1 问题呈现

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)证明：∠MFN=2∠PFN.

2 总体分析

解析几何中的角度问题有些可以转化为斜率来处理，比如角度是与坐标轴的夹角；也可以采用余弦定理解答；还可以利用平面向量解答；如果涉及到2倍角关系，还可以采用角平分线的性质或到角公式来进行求解.

3 试题解答

3.1 第(1)问解析

解析由c+a=4-c且c=1,解得a=2.

所以b2=a2-c2=3.

3.2 第(2)问解析

视角1借助直线的倾斜角与斜率的关系及正切二倍角公式解答.

解法1 由(1)知点A(-2,0).

结合图1可知，

图1

利用二倍角公式,得

①

②

所以tan∠MFN=tan(2∠PFN).

由条件知∠MFN,∠PFN∈(0,π)，

故∠MFN=2∠PFN.

评注此解法属于常规解法，要证两角相等，结合角的范围，只需求两角的正切值相等即可.而由图象可知，两角的正切值又与对应直线的斜率密切相关，于是问题等价转化为：先求相关点，再求出相关直线的斜率，即得两角的正切值，最后借助正切二倍角公式进行运算求解即可.这种解法充分体现了化归与转化和数形结合的数学思想.

视角2借助到角公式解答.

结合图1，并利用到角公式可得

所以tan∠MFP=tan∠PFN.

结合角的取值范围易得∠MFP=∠PFN.

从而∠MFN=2∠PFN.

评注现行教材对到角公式不作要求，感兴趣的读者可查阅到角公式，注意公式结构的特征和正切差角公式一致.很多题目用此公式还是切实可行的.建议学有余力的学生掌握，并能灵活运用.

视角3利用角平分线的性质解答.

即y0x-(x0-1)y-y0=0.

显然，点P在FM的右侧，

与②联合，x0<4，化简，得

所以d1=d2，FP为∠MFN的角平分线.

所以∠MFP=∠PFN.

从而∠MFN=2∠PFN.

评注此解法结合图象及待证结论，发现只要证明FP为∠MFN的角平分线即可.而根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等.d2=|PN|=yP易求，求d1时，结合图象的位置关系及x0的取值范围，需要学生具备一定的观察能力、逻辑推理能力和较高的运算求解能力.

视角4借助向量的数量积解答.

③

结合②整理可得

所以等式③成立，即∠MFP=∠PFN.

从而∠MFN=2∠PFN.

评注欲证∠MFN=2∠PFN，结合图象，即证∠MFP=∠PFN，设法找到相关点的坐标，得出对应向量坐标，由向量的数量积公式可得cos∠MFP，cos∠PFN，通过以上求解得到cos∠MFP=cos∠PFN，问题也就迎刃而解了.这也是等价转化的思想.

在新课程背景下，课程强调对学生创新精神和实践能力的培养. 在教学过程中，多视角、多策略处理问题可以调动学生的积极性，培养他们的思维能力，提高学习效率. 而圆锥曲线涉及的概念多、性质多，在解答圆锥曲线类试题时经常会有多种解答方法. 因此，在学习这部分知识的过程中，我们要重视一题多解，整合知识，将问题转化为函数、向量、不等式等代数问题来求解.帮助学生完备知识体系，提高学习质量，深挖他们的潜能，培养良好的思维品质.