对中考复习中数学思想方法教学的探究——以分类讨论思想为例

胡琳玲

(江苏省南京外国语学校 210008)

《数学课程标准》中提出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.”“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.”而思想、方法大量存在于图形问题中，例如几何问题中就经常需要使用分类讨论思想、函数与方程等思想来解决问题.值得一提的是，当前的初中数学复习课教学中存在着两大误区：一是复习的内容是“老调重弹”，把复习课看成了补课；二是复习的方法是“题海战术”，把复习课上成了习题课.复习，是指为了恢复或强化头脑里已形成的暂时神经联系，对已学过的知识进行重新学习.这种重新学习并不是对已学知识的简单重复、单纯的补缺补差，而是通过复习，把教材中的各部分知识进行归纳整理，以达到巩固提高、融会贯通的目的，从而进行更高层次的再学习.数学复习课应该是从厚到薄，再从薄到厚.因此我们要精心设计教学内容和环节，激发学生的复习兴趣，把复习教学过程组织成学生的再认识过程，从更高的层次、更新的角度进一步掌握、理解已学过的知识和技能，进而提高学生的数学能力，发展学生的数学思维.在初三中考复习阶段，教师如何利用学生已有的认知水平和认知经验，如何创设恰切的活动时空和交流平台，促使学生通过自主探索、相互合作去体会数学思想的作用呢？我们对专题复习做了有益的尝试，选择分类讨论的思想，探求它在几何问题中的运用.

1 研究的理论根据

1.1 心理学家韦纳(B.Weiner)的归因理论

在学习过程中，如果学生对学业成败归因的控制点在外部，他就会相信任务的难度、自己的运气以及他人的因素是决定自己学业现状的因素；若控制点在内部，他就会相信学习能力或自己的努力是学业现状的决定因素.研究发现，在智力水平相当的学生中，控制点的位置往往是影响学习成绩的一个重要因素.一般来说，控制点在内部的学生的成绩比控制点在外部的学生的成绩好.本次复习课就是要逐步建立学生内化分类讨论的数学思想，明确学习效果的内在指向性.

1.2 心理学家罗森塔尔(RobertRosenthal)的期望效应

罗森塔尔认为教师对学生的关注与期望很大程度上影响着学生的学业情况，使其朝好的方向发展.罗森塔尔效应的关键是教师对学生的信任、赞扬和爱.期望效应通过教师行为改变学生自我预期，对学生的学习效果的影响，从而证明了个人自我预期对个体发展的巨大影响.自我预期效应的根本原理是改变个体自我形象认知，利用积极的形象规范引导个体的行为.使个体努力去做符合心中积极自我形象的事，克服以前自我形象的局限，从而化虚假的自我想象为真实的自我.本次复习课也试图通过具体案例增强学生对类似题型的正确解决的信息，树立正面预期.

在我国数学教育界，王仲春教授等认为：“数学思想是指人类关于数学对象和理性认知的过程，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程.”朱成杰指出：“数学思想是人们对数学内容本质的认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括.而数学方法则是解决数学问题的手段.若将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的，因此人们统称为数学思想方法.”分类是揭示概念外延的一种逻辑方法.

在数学教学中，贯穿着数学知识和数学思想方法，基础知识是课堂上的一条明线，而数学思想方法则是的一条暗线.学生走出校园后，通常几年后就遗忘了数学知识，而数学思想方法却铭刻在脑海中.实际上，无论在哪一阶段的教学，培养数学思维能力一直都是教学的目标，而数学思想方法的学习，是培养和提高数学思维能力的过程.在中学数学中，分类讨论就是一种重要的思想方法.朱成杰指出：“数学的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法.”不会正确分类就不可能学好数学，分类思想在中小学数学中非常有用.通过对有关分类讨论思想方法的文献研究和分析，结合我们自身的教学经验，我们发现分类具有的三个要素：被讨论的对象；讨论后所得出的类概念；分类的标准.朱成杰指出，一个科学分类的标准必须能够把需要分类的数学对象，进行不重复，无遗漏的分划，分类讨论方法的重要性不言而喻.

2 关注教学目标，制定重点难点

本节课作为初三阶段的几何复习课，旨在将学生所学的有关知识进行归纳、整理，进行纵、横向的归类，进而作知识的系统的整体综合，形成结构化的知识，最终培养和提高学生运用知识、解决问题的能力.因此，授课教师制定教学目标如下：

能理解几何问题分类讨论的原因，遇到几何问题时有分类讨论的意识.经历用分类讨论思想解决几何问题的经验积累过程，掌握分类讨论的方法，感受分类讨论的必要性；通过对几何问题的解决，体会分类讨论的原则——不重复不遗漏；在这个课堂教学目标的指引下，授课教师将教学重难点放在“培养分类讨论的意识，掌握分类讨论的方法，体会分类讨论的原则”上.在教学过程中，始终围绕这个教学目标和重难点进行，取得了不错的效果.

3 问题引导学习，激发主体思维

问题是数学的心脏，在数学教学中，以实际问题为载体，通过设计有思维含量的问题，可以激发学生学习的兴趣，充分调动学生学习的积极性和主动性，产生学习的内驱力，使其智力活动达到最佳激活状态，使其主动参与教学.

本节课的导入部分设计了两个问题，都是关于圆与圆相切的问题.

问题1：若两圆相切，圆心距是7cm，其中一圆的半径为3cm，则另一圆的半径为____cm.

问题2：如图1，在网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移____个单位长度.

图1

两个问题都需要分类讨论，其中问题1是由于“相切”这个概念需要分类，问题2不仅需要根据概念分类，还由于圆与圆的位置关系不能确定而需要进行二次分类.这两个问题学生不仅能够自主解决，而且还可以体会分类讨论的原因：概念需要分类和位置关系的不确定需要分类.学生很多时候只是单纯解题，而不会去问自己为什么要分类.教师可以通过提问“你为什么想要分类？分类的依据是什么？”来激发学生主动思考分类讨论的原因.

学生在几何解题时经常遇到的是与三角形有关的问题，所以在这节复习课，教师可以给出一些关于等腰三角形、直角三角形、一般三角形的问题，让学生进一步体会分类讨论的原因，并积累分类讨论的经验，掌握分类讨论的方法.

问题3：已知等腰三角形的一个内角为30°，求这个等腰三角形的顶角度数.

问题4：已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，求第三边的长.

问题5：在△ABC中,∠A=30°,AC=8，BC=5，求△ABC的面积.

问题3和问题4学生在以前的学习中都遇到过，但是在以前的学习过程中，学生很多仅仅停留在能做出正确的答案这个层次上，对分类讨论的深层原因——三角形的形状不能确定却知之甚少.问题5对学生来说分类讨论较为困难，其根本原因仍然是不能在画图时判断出这个三角形形状不能确定.学生在自己画图时会因为不用圆规而忽视“以C为圆心，5个单位长度为半径的圆与射线AC有两个交点”这个结果，从而导致画出的三角形只有一个形状.问题3和问题4可以交给学生自主解决，并且引导他们自主思考分类的原因.问题5在教学时教师通过引导学生用圆规画图而使学生自主发现错误而改变原有的思维结果.

从学生熟悉的问题出发，使问题层层推进，由浅显引向深入，让学生不知不觉中经历知识的发生和发展的过程，体会分类讨论的思想.通过这五个问题，学生积极主动的归纳出几何问题分类讨论的原因，对分类讨论的方法积累了相当多的经验，这时候教师可以给出几个小问题帮助他们巩固已有知识，提高解决问题的能力.

问题6：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为45°，则底角∠B=____度.

问题7：等腰三角形的两边长分别是4和7，则其周长为____.

问题7的变题：等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为____.

问题8：若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为____度.

问题8的变题：若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为____度.

问题6教师可以引导学生关注“AC所在的直线”这个条件，从而使学生自主画出两个形状不相同的图形，学生也能更加深刻的体会到“图形的形状不确定要分类讨论”.问题7和问题8及他们的变式题，使学生意识到不仅要分类讨论，还需要讨论每一类别的合理性，不符合要求的要舍去.

总之，这是一节复习课，教师的教学过程不仅仅是围绕如何解题展开的，更重要的是启发学生的思维，培养学生的思维方式，体会并能够运用数学思想方法，提高他们分析问题解决问题的能力.虽然数学给人的形象是冰冷的，但掩藏在冰冷的外表下的是火热的思考，课堂中要充分展现数学的思维过程，让数学的无穷魅力得到最大的释放.