数学核心素养之“数学抽象”的理解及解题技巧

秦灿灿

(江苏省常州市正衡中学 213000)

在新课标背景下，数学核心素养开始受到教师的重视.与传统的数学课堂模式相比，数学核心素养的提出，不仅提高了学生的求知欲望，并且激发了他们的思维能力，促使学生在数学课堂学习中，体验到数学知识的魅力、价值，真正实现了初中数学的高效学习.在初中“数学学科核心素养”中，数学抽象素养是基础，其隐含着丰富的含义，即：在初中数学学科中蕴含在密切的数与形的关系.这种关系就决定了初中数学学习过程，必定是高度抽象的过程.学生在数学学习中，立足于数学学科与实际生活的内在联系，通过对生活中实物的抽象，抽象出数学概念、数学规律，并在此基础上构建数学知识，完成数学知识的深度学习.

1 初中数学核心素养之“数学抽象”的内涵

1.1 “数学抽象”素养的内涵

在新版《义务教育数学课程标准》中，提出了“数学核心素养”这一概念，而且对其做出了归纳，也就是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析.在上述六种数学核心素养中，数学抽象是基础，也是一种重要的素质.所谓抽象就是从众多事物中，将共同的、本质的特征抽取出来，进而舍去事物中的非本质特征.在数学学习中，这一思维过程即为数学抽象.对于数学科目而言，数学抽象就是在课堂教学活动中，排除事物的全部物理特征，最终将一般的基本概念、本质特征、运算规律等抽象出来.在初中数学学习活动中，数学抽象就是其中的基础思想，还是理性思维的前提条件，是培养知识迁移和应用能力的基础.

1.2 “数学抽象”在教学实践中的价值

鉴于初中数学学科的特点，数学抽象素养在教学中的应用，体现出十分重要的实践作用.

第一，能够帮助学生认知数学知识的实质.数学知识具有极强的抽象性，学生唯有具备极强的数学抽象素养，才能在数学学习中，更好地体会数学概念、运算规则.这主要是因为在小学数学教材中，由“加法交换律”的描述为3+4=4+3；而进入到初中数学学习中，这一描述方式也随之发生转变，运用字母将其表示为a+b=b+a.在这种情况下，由于数学知识变得更加抽象，致使学生在学习中，常常出现“课堂上听明白，但在自己做题和独立思考的时候，却常常似懂非懂，难以找到问题的突破口”.针对这一现状，学生只有具备较高的抽象素养，才可以在学习活动中充分认知数学的实质，最后能够做到举一反三.

第二，能够帮助学生增强数学知识与课程之间的紧密关系.在初中数学学习活动中，学生的数学抽象思维能力，直接关系到数学概念、数学规则的获取.以函数教学为例，学生唯有先理解自变量、因变量，才能在此基础上明确两者之间的一一对应关系.在这一阶段中，只有具备较高的数学抽象素质，才可以更好地认知函数的概念，以便于在此基础上完成相关知识的学习.

第三，能够提升学生的创造性思维能力.新课程背景下，提高学生的创造性思维能力是初中数学课堂教学的重中之重.而学生的创造性思维则是建立在学生足够的数学经验基之上的.因此，只有强化学生的数学抽象素养，学生在数学学习中才能将形象的实物进行抽象，使其成为数学模型，将生活实际抽象成数学理论，最终借助逆向思维将抽象的数学理论应用到解决实际生活的问题中.因此，从这一角度上来说，培养学生的数学抽象素养，有助于奠定学生创新素养的基石.

1.3 “数学抽象”素养在培养路径

基于数学抽象在数学学习活动中的重要性，教师在日常教学中，必须要重视数学抽象素养，并将其科学、合理地融入到课堂教学中.

第一，基于教学情境，渗透数学抽象.在最新的课程标准中，明确了数学知识与实际生活的内在联系.鉴于数学抽象素养的目标，教师必须要打破传统的教学观念，杜绝知识的强硬灌输，结合教学内容，设计出与学生认知发展区相契合的教学情境，进而借助教学情境，帮助学生认知数学知识的实质，提高他们的数学抽象素质.

第二，构建生活背景，强化数学抽象.由于初中生抽象思维薄弱，在数学学习中常常难以将具体事物和抽象的数学概念结合起来.鉴于此，在发展学生数学抽象素养时，必须要基于数学知识和实际生活的内在联系，借助生活中的模型、事例等，引导学生在生活学习和直观地感受中，将抽象的数学概念和规律归纳出来，最终加深对数学概念的理解.

第三，基于动手实践，强化抽象素养.数学概念、数学定理和数学定律非常抽象，学生在学习中常常面临着较大的困难.因此，要想培养学生的数学抽象素养，必须要积极开展教学实践、数学实验等，引导学生通过动手实践，加深知识的理解.例如，在“立体图形”的教学中，为了发展学生的数学抽象素养，就放手指导学生开展实践，引导学生在剪一剪、画一画、拼一拼的实践过程中，建立起立体图形的模型，强化学生的数学抽象素养.

第四，基于信息技术，强化数学抽象素养.教育现代化背景下，现代信息技术已经逐渐走进课堂，并在课堂教学中发挥着十分重要的作用.在这一背景下，要想发展学生的数学抽象素养，就必须要突破粉笔+黑板限制，借助现代化信息技术手段，通过直观、动态化的展示，使得学生在形象地感知下，促进形象思维和逻辑思维的结合，最终在促使学生充分理解数学概念的过程中，形成一定的数学抽象素养.

2 “数学抽象”素养在解题中的具体应用

2.1 基于数形结合解决问题

初中数学教师在借助“数学抽象素养”解决实际问题时，应结合数学抽象素养的内涵，灵活运用数形结合这一思想，借助数和形的对应关系，将数学问题进行转化和解决.

例1数轴上点A至原点之间的距离是3，点B到原点之间的距离是2，求AB两点之间的距离？

在本题的解答中，涉及到了“绝对值”的概念.单纯地从题目分析，由于学生的数学抽象素养有限，学生在做题的时候常常有失误的现象.鉴于此，在数学抽象素养的辅助下，在引导学生进行解题的时候，就可借助“图形结合”的思想，将这一题目转化为图像，将数值呈现在数轴上(如图1).如此，学生在数轴的辅助下，可在直观、形象地感知下，高效完成题目的解答.结合数轴分析，点A到原点的距离是3个单位，分别表示+3、-3，点B到原点的距离是2个单位，分别表示+2、-2.因此，AB两点之间的距离分别是1个长度单位，或者5个长度单位.

图1

2.2 基于等量关系建立模型解决问题

基于数学抽象素养的数学解题教学中，在分析问题的时候，还应立足于题目中蕴含的等量关系，通过题目分析，抽象出数学模型.进而在数学模型的辅助下，结合题目中蕴含的知识点，对其进行解答.

例2某一店铺销售了一些新的商品，采取了两类不一样的销售方式：

方式一：商店老板在上半年出售这种商店，可以得到利润5万元.如若商店老板把这些新商品的成本、已得到利润的5万元进行投资，到下半年结束之时，则能够得到利润3.5%.

方式二：在上半年结束之时，商店重新销售这种商品，可以得到利润58800元，然而要求承担成本的0.5%作为保管的费用.

请解决以下两个问题：

(1)这批商品的成本为多少之时，两者将得到相同的利润？

(2)假定成本是15万，则商店老板更愿意选择何种策略？

在对这一问题进行解决的时候，应着眼于题目中的等量关系，即：总利润=总收入-总成本.接着，根据第一问题的条件，能够把成本设定成未知数x元，假设策略一中的利润是y1，策略二中的利润y2，所以按照题目中的意志条件，还有本题目中的等量关系，最终得出第一问题的答案，即：y1=(50000+x)(1+3.5%)-x；y2=58800-0.5%x；又结合y1=y2，最终得出了最终的答案.

在对第二问的解答中，就可依据第一题中的结果进行，最终确定第二种策略获利相对比较多.可以说，在这一数学题目中，学生唯有基于数学抽象素养的内涵，才能基于题目中的等量关系建立数学模型，从而有助于他们更好地解决一系列难题.

2.3 基于数学抽象，运用概念解题

按照数学抽象素养的基本内涵，在引导学生解决数学问题的时候，应舍取其中的物理属性，而保留具体的属性，最后引导学生利用数学抽象，认知并把数学知识的实质概括出来.因此，在初中数学解题教学中，通过数学抽象素养，可带领学生回归问题的本质，进而轻松解决相关问题.

例3甲乙两人从直线距离为100 km的A、B两点同时出发，两人相向而行.已知，甲的速度为6 km/h，甲在出发的时候还带着一条小狗，小狗奔跑的速度为12 km/h，小狗遇到乙之后立即掉头差朝甲跑去，然后碰到乙又掉头……指导两人相遇.请问小狗在两个人相遇这一段时间内，一共走了多少千米？

学生在解决本题时，常常会因为小狗的行动轨迹复杂，导致其无从下手.而在数学抽象素养下，就可从这一问题情境中，将本质问题抽象出来，即：s=vt.因此，在这一问题中，已知小狗的速度，只要求出小狗运动的时间即可.而小狗运动的时间，恰恰与甲乙两人相遇的时间相同.如此，通过数学抽象素养的应用，使得原本复杂的数学问题更加简单化，真正提升了学生的数学解题效率.

综上所述，数学新课程改革背景下，数学抽象素养已经成为课堂教学的重中之重，是提升学生学习效果、解题效率的关键.鉴于此，作为一名优秀的初中数学老师，只有关注数学抽象素质的培养，在平时教学过程中引导学生形成良好的数学抽象素质；还可引导学生利用数学抽象素养解决数学问题，不断提升教师的数学解题效率.