谐波及不平衡环境下母线谐波电压前馈控制与锁相环耦合机理分析

余若雪，肖建辉，张常友，张影，万里霞，林显富

(1. 长沙电力职业技术学院供电服务系，长沙 410100；2. 江西工程学院人工智能学院，江西 新余 338000；3. 湖南大学电气与信息工程学院，长沙 410082)

0 引言

随着可持续发展议题的提出以及分布式可再生能源的高速发展，三相并网逆变器作为可再生能源接入公共电网的媒介得到了广泛应用。但由于电网中的背景谐波电压及三相不平衡电压成分或系统中的非线性负载使得公共耦合点(即母线)包含有大量谐波电压和三相不平衡电压成分[1 - 2]，且该不利成分在dq轴为非直流分量，使得基于dq轴的基频逆变器控制输出不仅包含直流分量，还包含谐波成分。这直接影响逆变器的控制精度。此时控制精度直接取决于逆变器输出电流中的谐波频率成分幅值占基波参考值的百分比。随着系统谐波成分的增加，逆变器的控制精度将进一步恶化。为了提高基频信号的控制精度，防止系统发生谐振不稳定，需引入额外的补偿控制到原有的逆变器控制中[3]。

面对上述需求，大量学者采用了母线电压前馈控制[3 - 6]的方法来抑制谐波。但为了有效实现特定频率成分的控制，需要在母线电压前馈路径中嵌入带通滤波器或选频器来提取目标频率成分。例如文献[7 - 8]通过母线电压前馈控制和带通滤波器实现了不同谐波频率下的谐波阻抗控制。值得注意的是，对于常规的可再生能源系统，逆变器的主要功能是确保有效的有功功率注入电网。但为了提高母线谐波的治理能力，逆变器系统的功率设计需要留有额外的容量用于谐波的治理，并且系统的最大电能质量治理能力也直接取决于该逆变器设计时留有的额外容量。

另外，为了使逆变器与电网同步，需要采用锁相环(phase-locked loop，PLL)来获取母线电压相位，并已经有大量的学者针对锁相环引起不稳定的机理进行了分析[9 - 12]。文献[11 - 12]表明高带宽的锁相环会导致逆变器的输出阻抗在低频段呈现负电阻特性，从而使弱电网系统失稳。至今为止，锁相环导致弱电网系统不稳定的机理已经被广泛的研究，但锁相环对系统控制性能的影响至今仍不明确[13 - 15]。逆变器控制性能的好坏和系统的稳定性同样重要，它决定了系统参考信号的跟踪精度，尤其是在含有大量谐波和不平衡电压的系统。基于传统的母线电压频率提取方法，锁相环与母线电压的耦合将会导致控制误差以及参数设计错误等问题，进一步影响逆变器的电能质量的治理能力。

为了揭示锁相环对逆变器控制带来的影响，本文详细分析了锁相环与母线谐波电压前馈过程的耦合关系。首先通过建立锁相环与母线电压的耦合小信号模型，揭示了提取过程中的耦合机理。然后基于提出的小信号模型，发现当锁相环的带宽提高时，母线电压频率的提取精度严重下降，从而导致逆变器的控制精度和性能进一步恶化。为了解决该耦合问题，本文提出了一种基于αβ轴的母线电压频率提取方法，最后基于Matlab/Simulink平台搭建了仿真模型并验证了该方法的正确性。

1 问题描述

本文以图1所示的基于LC滤波的三相并网逆变器作为研究对象，其中R1、L1分别为逆变器侧滤波阻抗的等效电阻和电感，Rf、Cf分别为滤波电容支路电阻和电容，R2、L2分别为电网侧等效电阻和电感。直流电压为Vdc，逆变器侧输出电流为io，电网侧电流为ig，母线电压为vpcc。其中上标“^”表示小信号变量。矩阵传递函数用加粗斜体表示，如G(s)，反之用斜体表示，如G(s)。时变变量用小写斜体表示，如x，稳态变量用大写斜体表示，如X。变量下标d和q分别表示变量在d轴和q轴下的分量。同理αβ轴下的变量定义方式与dq轴下的变量定义方式一致。

图1 三相并网逆变器系统Fig.1 Three-phase grid-connected inverter system

图2为考虑母线谐波电压前馈控制的逆变器控制框图，图中灰色通道为母线谐波电压前馈控制。以往研究忽略了前馈通道中锁相环与母线谐波提取过程的耦合现象，因此导致了严重的参数设计误差。为解决此问题，本文重点探索锁相环与图2中母线谐波电压前馈过程的耦合机理。

图2 考虑母线谐波电压前馈控制的逆变器控制框图Fig.2 Inverter control diagram with bus harmonic voltage feed-forward control

为了单独控制母线电压的某一频率成分，可采用式(1)所示的带通滤波器实现目标母线电压的选频操作[7]。

(1)

式中：k为谐波次数；ωbc为带通滤波器在k次谐波下的谐振带通宽度，本文选择ωbc=15 rad/s；ω1电网基波角频率。图3给出了k=2时式(1)的频率响应。

图3 带通滤波器在k=2处的频率响应图Fig.3 Frequency response plot of the band-pass filter at k=2

由图1可知，带通滤波器在选定的k频率下对应的幅值接近1，相位接近0，因此带通滤波器能够有效提取母线电压中对应k次频率成分。由于三相基频信号在dq轴下为直流分量，因此只需要采用简单的PI控制器即可实现基频信号的无静差控制。为了统一坐标轴控制，基于dq轴的传统母线电压频率提取过程如图4所示[7,11]。

图4 dq轴下基于带通滤波器的母线谐波频率成分提取Fig.4 Bus harmonic frequency component extraction based on a band-pass filter under dq axis

为了使逆变器能与电网同步，锁相环一般用于获取母线电压的频率及相位跟踪。但这导致了锁相环与母线电压存在一个隐藏的耦合关系，本文将基于三相并网逆变器系统详细分析锁相环与母线电压频率成分提取过程的耦合关系，并在此基础上进一步研究该耦合关系对系统电能质量治理的影响。

2 锁相环与母线电压耦合机理

为探索锁相环与母线电压的耦合关系，本节分析了系统相角偏差的产生原因。根据相角偏差机理进一步建立了锁相环与母线电压的小信号耦合模型。

2.1 系统相角偏差

线性时变系统(abc轴)可以通过坐标变换转换为线性时不变系统(dq轴)，此时可以采用线性时不变理论分析系统，极大简化了系统建模及分析过程。另外，根据内模原理，只需要对dq轴下的直流分量(对应三相基频信号)采用简单的PI控制器即可实现无静差控制，因此基于dq轴的三相逆变器系统的控制和设计在工程上得到了广泛应用。这种方式虽然有效简化系统设计的复杂性，但也额外引入了系统多dq轴相角偏差的问题。

为了将三相信号投影至dq轴下，Park变换是必不可少的，但Park变换需要利用锁相环获取系统的相角信息。只有当系统处于稳定状态时，锁相环的输出相角才能与母线电压的实际相角保持一致。但在系统发生扰动时，锁相环从动态到达稳态的过程中，其输出相角与实际相角将存在一个相位差，该相位差直接导致了系统存在两个dq轴[13]。

为了辨别这两个dq轴下的变量，将母线电压相角定义为系统侧dq轴，用带有下标s的变量表示，如xs；锁相环输出相角定义为控制侧dq轴，用带有下标c的变量表示，如xc。因此系统侧母线电压从dq轴转向αβ轴可以表示为：

vpccαβ=ejθ1vpccdq,s

(2)

式中：θ1为母线电压相角；vpccαβ为母线电压成分在αβ轴下的投影，vαβ=vα+jvβ，vpccdq,s为母线电压成分在系统侧dq轴下的投影，vpccdq,s=vpccd,s+jvpccq,s。

控制侧母线电压由dq轴转向αβ轴可以表示为：

vpccαβ=ejθvpccdq,c

(3)

式中：θ为锁相环的输出相角；vpccdq,c为母线电压成分在控制侧dq轴下的投影，vpccdq,c=vpccd,c+jvpccq,c。

由式(2)—(3)可得母线电压控制侧与系统侧关系：

vpccdq,c=e-jΔθvpccdq,s，Δθ=θ-θ1

(4)

式中Δθ为锁相环的动态跟踪误差。当系统处于稳定状态时，Δθ≈0。

式(4)清楚地揭示了锁相环的动态过程导致基于dq轴下控制的系统会存在两个不同的dq轴。

2.2 锁相环与母线电压耦合小信号模型

为了抑制谐波和不平衡信号对锁相环相位和频率跟踪精度的不利影响，本文在传统的锁相环结构中引入了低通滤波器，如图5所示。

图5 母线电压在系统侧dq轴与控制侧dq轴转换控制框图Fig.5 The transformation control diagram of the bus voltage between system-side dq-frame and control-side dq-frame

其中Hpi(s)=kppll+kipll/s为相角跟踪控制器，kppll和kipll分别为比例增益和积分增益。GLPF(s)=ωc/(s+ωc)为低通滤波器，ωc为截止频率，本文中ωc=314 rad/s。TΔθ表示相角误差的转换关系：

(5)

结合图5和式(5)，可得：

(6)

vpccq,c=-sin(Δθ)·vpccd,s+cos(Δθ)·vpccq,s

(7)

将式(7)代入式(6)中，可得：

(8)

由于稳态下的Δθ=0，因此线性化式(8)后得：

(9)

(10)

式中Vpccd,s为母线电压在d轴下的稳态值。

由式(9)可知带低通滤波器的锁相环小信号模型如图6所示。

图6 基于低通滤波器的锁相环小信号控制Fig.6 Small-signal model diagram of the LPF-based PLL

为了分析锁相环动态过程对母线电压频率成分提取过程的影响，有必要研究锁相环与母线电压之间的耦合关系。通过式(10)和图5得到控制侧母线电压与系统侧母线电压的耦合关系为：

(11)

线性化式(11)得到锁相环与母线电压耦合的小信号关系为：

(12)

式中：

由式(12)可知，由于锁相环的原因，使得dq轴下的系统侧母线电压不等于控制侧母线电压，即锁相环会对母线电压的频率成分提取过程产生极大影响。下一节将详细分析该耦合影响。

3 锁相环对母线谐波电压提取过程耦合影响及其解决方法

3.1 锁相环对母线谐波电压提取耦合影响机理

要实现dq轴下的母线电压特定频率的提取，首先需要采样三相母线电压，然后进行Park变换得到对应的控制侧dq轴下的母线电压，再利用带通滤波器对特定谐波频率进行提取，具体过程如图7(a)所示，其中GBPF=GBPF(s)I，I为2阶单位矩阵。

图7 dq轴下母线电压提取过程及其对应的小信号模型Fig.7 Bus voltage extraction process under the dq axis and its small signal model

基于式(12)所示的dq轴下系统侧变量与控制侧变量关系，可得dq轴下母线电压提取过程的准确小信号模型为如图7(b)所示。根据图7(b)，可得考虑锁相环影响后的母线电压频率成分提取过程的小信号关系为：

(13)

式(12)表明虽然在提取母线电压频率成分的过程中只采用了带通滤波器，但由于锁相环的耦合影响，导致提取过程中存在一个额外的耦合传递函数Gpll,vpcc(s)。 而该传递函数在对应的k次频率下的幅值和相位直接影响提取的母线电压在第k次频率成分的精度。

在三相三线制系统中，-1次、7次和-11次谐波为系统主导谐波(其中负次谐波表示为负序成分)，而其对应的dq轴下的频率成分为-2次、6次和-12次谐波。因此，为了可以同时提取多个不同频率成分，采用带通滤波器的叠加如式(13)所示。

(13)

基于表1所列出的不同锁相环的带宽参数，通过式(12)—(13)，得到k=2、6、12时，Gcou(s)的qq通道成分的频率响应如图8所示。由图8得出不同锁相环带宽下对应不同k值时的Gcou(s)的qq通道成分的幅值和相位，并列在表2中。

表1 不同锁相环参数案例Tab.1 The cases with different PLL parameters

根据表2和图8，可以得出锁相环对母线谐波电压提取过程的影响有以下两个方面。

图8 k=2、6、12时，Gcou(s)的qq通道成分的频率响应Fig.8 The frequency response of the Gcou(s) with k=2,6,12 at qq-channel

表2 不同锁相环对应不同的k下的幅值和相位Tab.2 The amplitude and phases of the different PLL bandwidth under different k

1)随着锁相环带宽的增大，所提取的k次频率母线电压成分与实际的k次频率母线电压成分的偏差增大。这是由于随着锁相环带宽的增大，锁相环与母线电压的耦合关系增大，即耦合增益Gpll,vpcc(s)变强，致使实际值与提取值偏差增大。

2)在同一锁相环带宽下，随着k值的增大，所提取的k次频率母线电压成分与实际的k次频率母线电压成分的误差会减少。这是因为锁相环的影响主要体现在系统的中低频段。

3.2 消除锁相环对母线电压提取影响的改进方法

通过上述分析可知，锁相环与母线电压存在强耦合关系，当锁相环的带宽提高时，通过带通滤波器在dq轴下提取的母线电压频率成分将会受到严重影响，进而影响后续的控制性能。为了保证母线电压频率成分的提取精度以及实现母线电压频率成分的提取过程与锁相环解耦，可以在αβ轴下对特定母线谐波电压进行提取。由于在αβ轴下，系统的正序信号与负序信号都是k=1，因此采用式(14)—(15)所示的复系数滤波器[15]对正序成分和负序成分进行有效分离。

(14)

(15)

式(14)—(15)所对应的频率响应如图9所示，图中GCCF+1(s)在+50 Hz处有单位增益和0 °相位，而GCCF-1(s)在-50 Hz处有单位增益和0 °相位，有效地实现了αβ轴下基频正序和负序信号的提取。

图9 GCCF+1(s)及GCCF-1(s)频率响应图Fig.9 The frequency response of the GCCF+1(s) and GCCF-1(s)

因此，本文提出的基于αβ轴的母线谐波电压成分提取方法，可以有效解决dq轴提取过程中存在的耦合关系。具体过程如图10(a)所示，其中GCCF+1(s)=GCCF+1(s)I，GCCF-1(s)=GCCF-1(s)I。

图10 αβ轴母线电压频率成分提取框图及dq轴等效模型Fig.10 The block diagram of the bus voltage frequency component extraction at αβ-axis and the equivalent dq-axis model

3.3 稳定性分析

由于逆变器的基频信号通常在dq轴上进行控制，而所提出的方法是在αβ轴上提取母线电压频率成分，为了将变量统一在同一控制框图下，基于dq轴与αβ轴的线性转换关系[16 - 20]，图10(b)给出了图10(a)在dq轴上的等效模型。比较图7(b)与图10(b)可得，本文提出的方法有效消除了原方法在dq轴下提取母线电压频率时与锁相环存在的耦合现象。

图11给出了采用本文所提方法的逆变器小信号控制框图。

图11 基于提出的谐波提取控制的并网逆变器控制框图Fig.11 The control diagram of the grid-connected inverter based on the proposed bus voltage frequency component extraction control

图中Gci(s)为电流闭环控制器，包含基波PI控制及谐波比例谐振控制器，如式(17)所示。

(17)

式中：ωk为k次谐波对应的角频率；kp为电流环比例增益；ki为电流环积分增益。

GN(s)为图10(b)的等效传递函数，考虑母线谐波以及不平衡电压，GN(s)为：

GN(s)=[GBPF(s-jω1)+GCCF-1(s-jω1)]I

(18)

Gd(s)=e-1.5TssI为数字控制的总等效延时传递函数，Ts=1/12.8 kHz为开关频率。YLdq(s)为dq轴下的逆变器侧滤波导纳。Gpll,v(s)和Gpll,v(s)分别为锁相环在系统侧与控制侧的耦合传递函数[10]。

(19)

(20)

式中：Vinq,s和Vind,s分别为逆变器输出电压在系统侧dq轴下的dd通道和qq通道下的稳态值。

由图11可得逆变器等效输出导纳为：

Ycldq(s)=[I+Gci(s)Gd(s)YLdq(s)]-1Yopdq(s)

(21)

其中Yopdq(s)为：

Yopdq(s)=YLdq(s)-YLdq(s)Gd(s)Gpll,v(s)-
YLdq(s)Gd(s)Gci(s)GN(s)-
YLdq(s)Gd(s)Gci(s)Gpll,i(s)

(22)

通过阻抗稳定性判据[10,21 - 24]，级联系统的稳定性可由系统的反馈比率矩阵来判断，如式(23)所示。

L(s)=Ycldq(s)Zegdq(s)

(23)

式中：Zegdq(s)为电网等效输入阻抗，由并联电容滤波支路阻抗及线路阻抗构成。基于广义Nyquist准则[10,25]，系统稳定性由式(23)的两个特征值在复平面上的轨迹决定，两个特征值分别定义为λ1(s)和λ2(s)。因为逆变器自身及电网稳定，因此如果两个特征轨迹均不包含(-1,0)点，则系统是稳定的。根据表3提供的系统参数，图12给出了L(s)对应的特征轨迹，由图可知系统是稳定的。

图12 L(s)特征轨迹Fig.12 Characteristic locus of L(s)

为了进一步分析母线谐波频率成分提取对系统稳定性的影响，图13给出了不同带通滤波器和复系数滤波器在不同带通宽度下的L(s)特征轨迹，即ωp和ωbc。通过图13可知，带通滤波器和复系数滤波器的带通宽度对系统的稳定性影响很小，证明本文提出的方法有效。

图13 L(s)在不同CCF和BPF的带通宽度下的特征轨迹Fig.13 Characteristic loci of L(s) under different band-pass widths of BPF and CCF

4 仿真分析

4.1 母线谐波与锁相环耦合验证

本文基于MATLAB/Simulink平台搭建仿真模型对理论分析进行验证。构造母线电压信号成分分别为50 V+1次、10 V-1次、 5 V+7 次、 3 V-11次，基于表1所列出的3个案例，对应的dq轴下母线电压频率成分提取结果如图14—17中小图(a)所示，其中对应的频率谱如图14—17中小图(b)所示。

图14 三相母线电压波形及其频率谱Fig.14 Three-phase bus voltage waveform and the corresponding frequency spectrum

图15 案例1下基于传统方法的仿真波形Fig.15 Simulation waveform with traditional method under case 1

图16 案例2下基于传统方法的仿真波形Fig.16 Simulation waveform with traditional method under case 2

图17 案例3下基于传统方法的仿真波形Fig.17 Simulation waveform with traditional method under case 3

通过仿真结果可以看出，随着锁相环的带宽增大，母线电压频率成分提取精度严重降低，并且所降低的增益比例与表2所列出的偏差结果一致。这表明在dq轴下进行母线电压频率成分提取操作时，存在严重的耦合现象。该耦合成分直接影响提取频率成分的精度，从而间接影响后续逆变器的电能质量控制精度。

通过3.2节可知，为了消除锁相环对母线电压频率成分提取的影响，本文将其变换到αβ轴进行提取。基于图10所示的控制框图，图18(a)给出了在案例3下的基于αβ轴的母线电压频率成分提取结果，且图18(b)给出了对应提取成分叠加后的频率谱。通过仿真结果可以看出，即使在高带宽的锁相环条件下，基于αβ轴实现的母线电压频率成分提取过程不受锁相环的影响，能够准确地提取成分。

图18 案例3下基于提出方法的仿真波形Fig.18 Simulation waveform with the proposed method under case 3

4.2 整体系统母线谐波电压治理验证及比较

从上述分析得知，锁相环与dq轴的母线谐波提取过程存在严重的耦合关系。高带宽锁相环直接导致了母线谐波电压频率成分提取精度的恶化，为验证PLL对母线电能质量治理过程的影响，将311 V电网电压中加入10 V-1次和10 V+7次谐波。图19(a)给出了母线电压在引入dq轴的母线电压前馈控制前后的波形，图19(b)对比了案例1和案例3下的dq轴控制的母线电压波形。仿真结果表明，当锁相环的带宽较低时，逆变器能够有效地治理母线谐波电压成分，但是当锁相环的带宽提高时，逆变器对母线的谐波治理能力严重下降，这是因为在母线谐波电压过程中无法准确提取到母线中需要被补偿的谐波成分。

图19 dq轴控制下母线电压波形Fig.19 Bus voltage waveform with dq-frame control

图20给出了采用本文提出的αβ轴的母线电压前馈控制时的案例1和案例3的母线电压。仿真结果证明，采用本文提出的αβ轴的母线谐波电压提取方法，锁相环带宽的升高不影响母线谐波电压的治理能力。

图20 采用αβ轴母线谐波电压提取方法下的母线电压Fig.20 Bus voltage waveform using the proposed method of bus harmonic voltage extraction under αβ-axis

为进一步验证锁相环对dq轴母线谐波电压前馈控制的谐波治理影响以及提出的αβ轴母线谐波电压前馈控制的谐波治理有效性，此处基于案例3参数，分析上述两种方法在复杂的谐波电压环境的性能。为模拟复杂的谐波电压环境，额外的20 V-1次，20 V+7次，10 V-11次谐波信号加入电网电压中。其中图21和图22分别给出了在0.5 s时引入dq轴母线谐波电压前馈控制的谐波治理策略及αβ轴母线谐波电压前馈控制的谐波治理方法的母线电压仿真波形，图23为对应方法下的频谱分析图。

图21 案例3下引入传统方法的母线电压波形Fig.21 The bus voltage waveform with the traditional method under case 3

图22 案例3下引入本文方法的母线电压波形Fig.22 The bus voltage waveform with the proposed method under case 3

图23 图21和图22的电压波形频率谱Fig.23 Voltage frequency spectrum of Fig.21 and Fig.22

从该仿真结果可以看出，当锁相环有较大带宽时，采用传统的dq轴母线谐波电压前馈控制的谐波治理策略无法实现对母线谐波电压的治理。且由频谱分析可知，在引入治理前的母线电压总谐波失真 (total harmonic distortion，THD) 值为7.06%，而引入了传统方法后，THD值变为6.17%。相比之下，采用本文提出的αβ轴母线谐波电压前馈控制的谐波治理方法，母线电压的THD值从6.99%降为3.43%，母线电压质量得到了明显的改善。

图24—25分别给出了在具有不同带通滤波器和复系数滤波器的参数(ωbc=15 rad/s、ωbc=55 rad/s；ωp=15 rad/s、ωp=55 rad/s)时的母线电压波形，从仿真结果得出，不同的ωp值以及ωbc对谐波治理的影响较小。

图24 带通滤波器的不同带通宽度参数下的母线电压Fig.24 Bus voltage under different band-pass width of the BPF

图25 复系数滤波器的不同带通宽度参数下的母线电压Fig.25 Bus voltage waveform under different band-pass width of CCF

综上所述，基于传统dq轴的母线谐波前馈的电能质量治理方法受锁相环带宽的影响，并且随着锁相环带宽的增大，谐波治理能力下降。但基于本文提出的基于αβ轴的母线谐波电压前馈控制的谐波治理方法，能够有效解决锁相环带宽对电能质量治理的影响。并且逆变器系统既能保证快速的系统相位跟踪，也能保证高精度的谐波治理能力。

5 结语

本文详细分析了锁相环与母线电压频率提取控制的耦合影响机制，并提出了一种能够有效解决这种耦合的母线电压提取方法。首先建立了锁相环与母线谐波电压耦合小信号模型，并依据此模型首次揭示了锁相环与母线电压频率提取过程的耦合机理。理论分析发现，当锁相环的带宽提高时，母线电压频率的提取精度严重下降，进而导致逆变器的控制精度和性能恶化。为了解决上述耦合问题，本文提出了一种基于αβ轴的母线电压频率提取方法。最后通过MATLAB/Simulink搭建仿真模型有效地证明了锁相环带宽的提高会严重影响逆变器对母线谐波电压的治理能力。采用本文提出的基于αβ轴的母线电压频率提取方法，锁相环能够与逆变器的电能质量治理过程解耦，从而保证了逆变器的谐波治理能力。