举个例子讲完一类运算——分数除法运算一致性例谈

文|杜蓉

度量触及数学的本质，是贯通数量关系和空间形式的桥梁，它是人类认识、理解和表达现实世界的重要工具。量感作为度量的核心，其重点是培育学生对于事物可测属性进行定量感知的基本能力。在量感培养过程中，如何从度量角度解读数的运算中的法理一致性成为当前教学的一个难点。现以分数除法的教学为例说明。

在度量视野下，分数除法的算理和算法都与整数一样，都可以看作“计数单位个数”的累加或细分。不过，学生在学习分数除法运算时，出现这么一个现象：计算出“6÷”的得数很容易，但说明其算理却不尽如人意。

首先，从教材看。现有教材例题较多，算理表征复杂，使学生对运算意义表述不清。

其次，从教师看。对算理认识不够，方法缺少统一，使学生对运算的算理掌握不了。

第三，从学生看。分数内涵丰富，运算较为抽象，学生对运算认识和理解不充分，导致算理不清算法混乱。

最后，从2022 版前课程标准看。度量意识重视不够，运算意义把握不足，导致“加减乘除有各自的算理，整数、分数、小数运算有各自的算法”。

如何避免这一现状出现呢？

一、抓住度量本质，理解运算标准的一致性

度量的本质就是度量数量的多与少。当度量的次数、维度或者群落不止一个时，就产生了量值运算。比如，先数出张家80 只羊，接着数出李家120 只羊。这时，要算总数就需要再计算一次，相当于再度量一次，也就是接着数或者从头数。这样，度量和运算的关系，就变成了干一件事儿的不同阶段了。

以前人们一直认为度量只是个几何学概念。随着对度量本质的理解，我们才知道度量是连接数和形的纽带。它可分为两类，一类是借助工具得到度量结果，另一类是通过思考得到度量结果。数的运算就是用数学思考进行度量。史宁中教授说：“所有的运算都可以还原成计数单位和计数单位个数的运算。”这就说明度量的本质决定了运算的意义。

《数学课程标准（2022 年版）》指出：“量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算。”“运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法和算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题。”将两段描述连起来看，就能理解运算的一致性，是基于度量标准和度量本质而言的一致性。

二、抓住除法意义，把握运算本质的一致性

1.把握除法类型。

从编者意图看，这些例子包含了分数除法的不同类型。比如除数是整数（①②），除数是分数（③④⑤），除数是分率（①②⑤），除数是数量（③）。还有被除数是分数，除数是整数的例子。还能细分出分子与除数成整数倍数和分子与除数不成整数倍数的。

学习分数除法需要这么多例子吗？根据史宁中、巩子坤等人对运算一致性的理解：“所有的运算都可以还原为加法”“所有的数都基于计数单位建构”。我们认为，分数除法可以像整数除法那样，也用两类例子（如图1）。

图1 两类整数除法

第一类例子代表等分除，见图1 中的例1；第二类例子代表包含除，见图1 中的例子2。

两个例子举完，接下来要做的事就像图1 中的例3 那样，将两类例子进行比较，便于学生归纳和总结。因此，基于运算本质的一致性，学习分数除法就用两个例子，一个等分除求数量，另一个包含除求分率。至于相除的时候，被除数是否为分数，除数是否为分数，我们都在这两类的基础上，进行数的变换。这样，分数除法内容经过一番瘦身，减去相似与重复的，重在类型之间的区别与联系，突出分数除法运算的本质。

关于除法的类型，也可以从乘除互逆关系进行思考。根据乘法模型a×n=b（n 为计数单位个数或频数）得到两个除法模型，即b÷a=n 和b÷n=a。这两个模型就是整数、小数、分数除法运算的统一模型，只是运算时a、n、b 可以为不同的数而已。

2.把握除法意义。

图2

图3

这里需要强调的是，无论是整数除法还是分数除法，在表示乘法和除法的意义时，都要考虑到除法情境中每个数的具体意义，正确判断这个数到底表示计数单位，还是表示计数单位的个数。然后按照该情境对应的除法类型进行解释。如果是没有具体情境的算式，就要从除数是分率和除数是数量两个方面分别阐述。

三、抓住计数单位，突出运算方法的一致性

1.确定计数单位和计数单位的个数。

基于分数除法运算一致性，在理解分数除法的算理和算法时，最关键的一步是确定计数单位和计数单位的个数。

【情境1】你有6 张饼，如果邀请小朋友一起品尝，每个小朋友分张饼，可以分给几个小朋友？

学生理解题意后，列出算式，展开讨论。首先确定计数单位，1是所有数的基本单位，因此分数计算就从单位“1”开始思考。

根据乘法结合律，用算式表征：

根据分数意义用语言表征：1里面1 个1，1 细分3 次得到3个。6 里面就有18个。将其再继续每2个为一份度量，可以分9 份。所以=9（个）。

根据分数的意义用算式表征是：

由此可见，无论哪种算法，我们都是先确定计数单位，也就是度量的标准，再按照这样的标准进行度量。并且，如果是二维度量或者多维度量，运算时就会产生新的计数单位。新的计数单位产生后，必须再按照同样的方法进行度量，就可以得到运算的结果。

2.区分计数单位是累加还是细分。

在上面的算理解释中，我们发现一个有趣的现象。分数除法运算时，一会儿是计数单位累加，一会儿是计数单位细分。到底怎样区分是累加还是细分呢？

将除法还原成乘法进行思考。根据a×n=b（a 为计数单位，n 为计数单位个数），这里的n 可以是整数、分数和小数。那么，计数单位乘n 就会出现三种情况，即n=1，n＞1和n＜1。当n=1，计数单位不变；当n大于1，就是计数单位在累加；n＜1时，即计数单位在细分。需要指出的是，如果n 是一个分数如时，计数单位就会进行二维度量。即先将“1”细分m 份再累加c 次。如，表示计数单位“1”细分成3 份再累加2 次；n=表示计数单位“1”先细分3 份，再按照新的计数单位累加4 次。

所以讲述算理时，要先确定计数单位，再确定计数单位的个数。然后，根据计数单位的个数与1 的大小关系来判断是累加还是细分。

实际教学中，要学生判断分数除法运算是否累加和细分如果有困难，可以把除法还原成乘法，根据乘除互逆的特点进行推理。

总之，基于运算一致性，所有的运算都可以看成是计数单位个数的运算。相信，通过对运算一致性的理解，学生会觉得分数除法的运算也不再困难和无趣。