圆锥曲线“最值问题”的解题表设计探究——基于波利亚“怎样解题”的思想

◎温 定

(华南师范大学数学科学学院,广州 510000)

一、简介

在欧洲文艺复兴期间，数学也得到了极大的发展，Rene Descartes和Pierre de Fermat等数学家开时代之先河，创立并发展了解析几何这一全新的几何学分支，实现了代数与几何的完美融合在高中数学的知识体系中，以圆锥曲线为主要研究对象的平面解析几何占据了极其重要的位置，其中的“最值问题”更是在近些年的高考题中频频出现，很大程度上考验了高中生的直观想象和数学运算等数学核心素养波利亚“怎样解题”的思想源自匈牙利数学家George Polya，这一思想采取问题引导的形式，循序渐进地启发学生对某一问题进行探索，极大体现了元认知策略在解题过程中的应用这一思想不仅能以程序化的形式为学生提供解题思路，更能启迪学生学会如何思考问题，培养他们独立探索的能力

为了更好地引导学生树立良好的解题习惯，培养正确的解题思路，提高问题解决和知识迁移的能力，笔者基于波利亚“怎样解题”的思想，以一道高考题为例，探究设计了高中数学圆锥曲线部分关于“最值问题”的解题表

二、解题表的设计探究——以一道高考题为例

例题呈现 (2021年全国乙卷数学(理)第21题)

已知抛物线:=2(>0)的焦点为，且与圆:+(+4)=1上点的距离的最小值为4

(1)求;(2)若点在上，,是的两条切线，,是切点，求△面积的最大值

第二问：这是一个经典的圆锥曲线“最值问题”，本文将以该题为例，基于波利亚“怎样解题”的思想，探究圆锥曲线“最值问题”解题表的设计

(一)弄清问题，明确几何对象和待求最值

在弄清问题阶段，我们的主要工作是明晰已知与未知，理清整个问题的来龙去脉根据波利亚“怎样解题”的思想，我们将从引导语“未知数是什么”“已知数据是什么”“条件是什么”中得到一些启发

1未知数是什么？

顾名思义，对于“最值问题”而言，它的未知数是明确的，就是题目需要我们求解的最值因此，这里的引导语可以改写为“问题需要我们求解的最值是什么？”，具体到例题，它要求我们计算的最值是“△面积的最大值”

2已知数据是什么？条件是什么？

图1 表征题目的草图

就研究对象而言，圆锥曲线的“最值问题”仍然属于几何学问题的范畴，它具有几何学问题共有的一些特点，直观性就是其中之一对于某一具体的几何问题，常常可以借助绘制草图的方法对问题进行直观的描绘和解析，帮助解题者更为直观明了地理解这个问题因此，在弄清问题这一阶段，需要尽可能地画出相应的草图，对问题进行可视化表征我们根据题设条件，可以绘制例题对应的草图如图1所示

而后，结合问题描述和草图呈现，可以对问题中所涉及的几何对象进行一一罗列，并阐明它们的几何意义，赋予它们适当的符号假设和代数表示(如表1所示)

表1 题目所涉及几何对象及其意义

同时，为了充分运用问题中的条件，还需要我们结合问题描述和草图呈现，尽可能完整地罗列出各个几何对象之间的联系具体而言，我们可以在题目中挖掘出以下几何关系：条件①：点在圆上；条件②：直线,是抛物线的两条切线，切点分别为,；条件③：直线与抛物线分别交于,两点

我们可以为“最值问题”具体地添加这些引导语：“你能绘制出这个问题对应的草图吗？”“结合问题描述和草图呈现，你可以明确哪些几何对象？它们有相应的符号假设和代数表示吗？如果没有，你能否为它们加上？”“这些几何对象之间有什么关系？你可以把它们一一罗列出来吗？”

(二)拟定计划，将原问题代数化

在拟定计划这一阶段，旨在找出已知数与未知数之间的联系，构思出一个解决问题的计划具体到圆锥曲线“最值问题”的求解计划，就是要利用解析几何的工具，分别将几何关系和待求最值代数化，得到相应的代数方程和代数式，并建立二者之间的代数学联系，将圆锥曲线“最值问题”转化为代数学意义上的“最值问题”

1几何关系代数化

根据归纳的几何关系，结合所学知识，我们可以得到如下代数方程：

(1)条件①的代数化：

由于点在圆上，故(,)满足圆的方程，即

(1)

(2)条件②的代数化：

首先，根据条件我们可以认识到，点,在抛物线上，从而有

从而，直线,的方程可以表示为

(2)

(3)条件③的代数化：

为了研究直线与抛物线之间的相交关系，我们首先要获得直线的方程，此处可以从前面求得的直线,的方程出发，展开思考由于点既在直线上，又在直线上，故根据(2)式，有

回到条件③，直线与抛物线分别交于,两点，那么，联立两者的方程，得

-2+4=0,

(3)

并有

=(-2)-4·4=4·(-4)>0,

又由韦达定理，得+=2,=4

2待求最值代数化

而后，需要再观察问题中需要我们求解的最值，它是否为代数式的形式，如果不是，也应将其进行代数化具体到这一例题，“△面积的最大值”的确不是以一个代数式的形式出现，因此，首先需要将其进行代数化，即将其表示为(△)并且，根据三角形的面积公式，有

其中，表示点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得

||表示线段的长度，由弦长公式可得

那么，有：

3问题的代数化

总而言之，解题表中的引导语可以写为：“你能够将这些几何关系进行代数化，得到相应的代数方程吗？”“待求最值是代数形式吗？如果不是，你可以将它进行代数化吗？”“你可以运用代数学的方法，利用所得的代数方程求解得到代数式的最值吗？”

(三)执行计划，利用代数学方法求解最值

这一部分的实现，主要取决于代数方程的完整性和解题者的代数学功底一方面，如果这个“最值问题”本身是可解的，那么只要保证了代数方程的完整性，一般可以借由这些代数方程推导出代数式的最值，即问题中需要我们求解的最值另一方面，这里所涉及的代数方程通常为元一次方程或分式方程，代数式的最值求解用不等式或函数方法一般都可以实现不过，对于不同的问题，其运算量往往是参差不齐的，这就要求学生具有较为良好的数学运算核心素养和扎实的代数学功底

由代数方程(1)，可以得到=1-(+4)，且-5≤≤-3

从而-4=1-(+4)-4=--12-15=-(+6)+21则当=-5时，有：

(-4)=[-(+6)+21]=-(-5+6)+21=20

此时，△的面积取得最大值，即

至此，已经给出了整个问题的完整解答过程

归结而言，这一部分的引导语可以改写为：“按照你的计划，运用代数学的方法，根据所获得的代数方程求解代数式的最值，进而获得问题中的最值”“在求解过程中，检验你的演算过程是否正确”

(四)回顾反思，探索新法，推广结论

在回顾反思阶段，旨在回溯和反思整个过程，挖掘解题要点，并探索其他解题思路和结论的推广

1其他方法的探索

回溯上文的步骤，我们以平面直角坐标系为依托，基于几何对象的一般方程，将已知对象和已知条件转化为相应的代数方程，并利用三角形面积公式，将待求最值转化为相应的代数式，从而将整个问题进行代数化，最后运用代数学的方法得到了问题的结果此处，我们可以从代数方程的形式和三角形面积的计算方法两个方面入手，探寻新的解题思路

一方面，可以适当地将一般方程替换为参数方程对于圆上的一点，可以借由圆的参数方程，将其坐标表示为(cos,-4+sin)，那么就有：

另一方面，可以从三角形的面积计算方法入手，这里主要介绍图形割补法和三角形面积的向量公式两种方案

图2 图形割补法示意

后续步骤略

进而有:

所以得到：

后续步骤略

2问题的一般化推广

综上所述，回顾反思阶段的引导语可以表述为“你是否可以采用其他方法得出这一结果？譬如应用不同形式的代数方程或不同类型的计算公式”“你可以将原问题的结论进行推广吗？”

三、结果呈现

综上所述，可以整理得到圆锥曲线“最值问题”的解题表如表2所示

表2 圆锥曲线“定值问题”的解题表

四、应用与推广

本文结合了波利亚“怎样解题”的思想和圆锥曲线“最值问题”的特点，探究设计了“最值问题”的解题表，旨在引导学生理清“最值问题”的结构，对“最值问题”的求解和反思有一个更为清晰的认识具体而言，就是“启发式”地运用几何直观和代数形式对问题进行表征，明晰问题中的已知与未知，将问题进行代数化，最后借助代数学的方法对几何问题进行求解，感悟几何与代数的碰撞这不仅可以为学生的解题和反思提供一定的引导，也可以为教师的题目讲授提供一定的教学参考

在高中阶段，圆锥曲线部分的知识涉及面广，还包括了定值问题、存在性问题等综合类问题本文设计的解题表主要适用于圆锥曲线部分的“最值问题”，对于其他类型的问题具有较弱的适用性，但仍有一定的参考作用目前，国内大多数运用到波利亚解题思想的研究都是针对某一个具体的题进行分析，对于某一类问题的解题表设计较为少见，值得后来者继续研究与探索