例谈函数与方程思想在解题中的应用

孙丛丛 闫丽平

(山东省荣成市第二中学)

数学家华罗庚先生曾说过:“数学是一个原则,无数内容,一种方法,到处可用.”函数与方程思想是高中数学的一种重要思想方法,函数思想是通过构造函数或建立函数关系,运用函数的图像和性质分析问题、转化问题,达到解决问题的目的.而方程思想是构造方程或建立方程,通过解方程或运用方程的特点,利用已构建的数学知识网络解决问题.函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,犹如亲兄弟,彼此身上存在对方的影子,相互渗透.熟练应用函数与方程的思想解决数学问题是高中阶段必备的数学能力,也是历年高考的重点和热点.在高考中,一般在数列、三角函数、不等式及解析几何等知识的交叉处命题,对思想方法和相关能力进行考查.下面通过具体实例研究如何利用函数与方程的思想解决数学问题.

1 函数与方程思想在数列中的应用

点评本题是函数与方程思想应用的完美体现,通过构造函数,利用该函数的单调性求的最大值.众所周知,数列是定义域在正整数集或其有限子集上的函数,而等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式都具有隐含的函数关系,因此解决数列最值问题或参数范围问题的方法如下:1)根据函数表达式借助函数单调性判断,求出最值;2)当表达式不易判断函数的单调性时,可借助an＋1－an的正负判断单调性.借助函数与方程的思想研究、解决数列中的最值问题,不仅能获得简便的解法,而且能促进思维能力的发展,提高发散思维水平.

2 函数与方程思想在三角函数中的应用

例2已知关于x的方程sin2x＋acosx－2a＝0有实数解,求实数a的取值范围.

解析上式可转化为1－cos2x＋acosx－2a＝0.令t＝cosx,t∈[－1,1],则方程可转化为t2－at＋2a－1＝0,令f(t)＝t2－at＋2a－1,则问题转化为二次函数f(t)在[－1,1]上有零点的问题,则f(－1)f(1)≤0或解得0≤a≤4－.

点评研究含参数的三角函数方程的问题,通常有两种解法:一是分离参数构建函数,将方程有解问题转化为求函数的值域问题;二是换元,将复杂的方程问题转化为学生熟悉的二次方程,进而利用二次方程根的分布情况构建不等式或构造函数解决.

3 函数与方程思想在不等式中的应用

例3设函数f(x)＝mx2－mx－1,若对于x∈[1,3],f(x)＜－m＋4恒成立,则实数m的取值范围为( ).

解析由f(x)＜－m＋4,可得m(x2－x＋1)＜5.

当x∈[1,3]时,x2－x＋1∈[1,7],所以不等式f(x)＜－m＋4等价于

点评在解决不等式的问题时,可以将不等式问题转化为函数的最值问题,这样就可以借助函数的图像和性质解决问题.比如,不等式恒成立问题、有解问题、比较大小问题,往往可以利用构造新函数的思想解决.充分应用函数与方程的思想解决不等式问题,让我们站在更高的角度思考不等式的应用,有助于学生更好地理解和运用不等式知识.

4 函数与方程思想在解析几何中的应用

例4已知椭圆＝1(a＞b＞0)经过点,离心率为

(1)求椭圆E的方程;

(2)已知O为坐标原点,设点A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆E于M,N两点,求四边形OMAN面积的最大值.

点评最值问题一直是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解这类范围、最值问题的一般思路为根据题意结合图形寻找函数关系,借助函数值域、最值的探求方法解决问题.

通过上述例题的分析,我们看到函数与方程之间存在密切联系,两者之间的辩证统一形成了函数与方程思想,为解决函数和方程问题提供了思路.因此,高中数学教学过程中要重视函数与方程思想,通过完善学生的知识结构,提高学生数学问题解决和探究能力,提升学生的学科核心素养.

链接练习

1.已知f(x)＝log2x,x∈[2,16],对于函数f(x)值域内的任意实数m,使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为( ).

A.(－∞,－2] B.[2,＋∞)

C.(－∞,－2]∪[2,＋∞) D.(－∞,－2)∪(2,＋∞)

链接练习参考答案

1.D. 2.B. 3.(1)an＝2n;(2).

(完)