例析勾股定理常见的应用类型

⦿甘肃省武威市天祝藏族自治县新华中学 赵 霞

1 引言

勾股定理在生活中的应用比较普遍，大致可归类为求边长，求最短路程，求解折叠问题，等等.下面结合几道例题对勾股定理常见的应用类型及解决策略作分析和探究.

2 利用勾股定理求边长

例1如图1所示，在直角三角形ABC中，∠ABC为直角，且AB=16 m.正方形BCEF的周长为48 m，BD⊥AC于点D.求BD的长.

图1

分析：本题是非常典型的“三垂直”问题，可用等面积法和方程法解决.无论用何种方法，都需先根据“正方形BCEF的周长为48 m”求出BC=12 m，然后根据勾股定理将AC的长求出.

方法二(方程法)：首先，设AD=xm，那么CD=(20-x) m.由于BD⊥AC于点D，所以△ABD和△BDC都是直角三角形.在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2；在Rt△BDC中，BD2=BC2-DC2.于是，就得到了AB2-AD2=BC2-DC2，进而得到方程162-x2=122-(20-x)2，解得x=12.8 m.然后利用BD2=AB2-AD2得到BD的长为9.6 m.

方法总结：利用勾股定理求图形的边长，常用的有等面积法和方程法，在实际解题中都非常适用，且通常前者更简单[1].等面积法多用于“三垂直”问题，而方程法多用于非直角三角形中，以求高问题最为典型[2].

3 利用勾股定理进行证明

例2如图2所示，图形ABFC为一任意四边形，且AB⊥CB，垂足为B；CD⊥AD，垂足为D，AD2=2AB2-CD2.

图2

求证：AB=BC.

分析：本题中的“AD2=2AB2-CD2”条件比较复杂，容易让学生产生畏难心理.事实上，仔细观察便可以发现，该条件与勾股定理联系非常紧密.所以，只需找到图中与勾股定理有关的“线索”，然后利用勾股定理进行转换.

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AC2=AB2+BC2；在Rt△ACD中，由勾股定理，可得AC2=AD2+DC2.于是，就有AB2+BC2=AD2+DC2，即AD2=AB2+BC2-DC2.由于AD2=2AB2-CD2，于是得到2AB2-CD2=AB2+BC2-DC2，由此进一步得到2AB2=AB2+BC2，即AB2=BC2，因此证得AB=BC.

方法总结：当题中边之间的数量关系非常复杂时，学生首先不能有畏难心理，应尝试着从复杂的条件中找到“提示”，进而找到解题的突破口.

4 利用勾股定理求解最短路程问题

例3如图3，是一个透明的长方体鱼缸，AD为80 cm，AB为60 cm，水深AE为40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一滴蜂蜜，G在水面线EF上，且EG为60 cm.一只小蚂蚁想从鱼缸外的A点沿外壁爬到鱼缸内壁G处吃蜂蜜，求小蚂蚁爬行的最短路线长度.

图3

解析：本题是常见的几何体表面上最短路程问题，但与以往不同的是“蜂蜜”G点不在外壁，而在内壁，于是小蚂蚁的运动路线分为外壁和内壁两部分.要使得小蚂蚁爬行的距离最短，则需这两部分的路线在一条直线上，于是就需要作A点关于BC的对称点A′.

首先，如图4所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G且交BC于点O.根据对称性质，可得A′O与OA相等，即线段OA为小蚂蚁在外壁爬行的最短路线.而OG就是小蚂蚁在内壁爬行的最短路程，它与A′O正好在同一直线上.因此，小蚂蚁爬去吃蜂蜜最短的路程就是线段A′G.在Rt△A′EG中，根据勾股定理得到A′G的长为100 cm.

图4

方法总结：“蜜蜂问题”是勾股定理中常考的题型，分内壁和外壁两种.如果将蜂蜜从外壁移至内壁，求最短路程的方法其实并未改变，仍然是根据对称性作图，找到点的对称点，然后求解.为了便于理解，学生应首先作出相应的图形，然后灵活利用相关性质解题.

5 利用勾股定理求解折叠问题

例4如图5，长方形ABCD中，长AB为8，宽BC为6，P是AD上的一点，现将△ABP沿着BP折叠，PE和CD相交，BE与CD相交，交点分别为O，G，且OD=OE.求线段AP的长.

图5

解析：本题是典型的折叠问题，根据折叠性质可得到对应角相等、对应边相等[3].既然本题要求AP的长，那么不妨设AP=x，于是将相应的线段用含有x的代数式表示出来后，将它们放入一个直角三角形中，然后根据勾股定理得到方程并解之，即可求出线段AP的长.

由题意可得△ABP≌△EBP，然后证明△ODP≌△OEG.于是，得到OP=OG，PD=GE，由此进一步可得DG=OD+OG=OE+OP=EP.此时，不妨设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，CG=8-x，BG=2+x.在Rt△BCG中，由勾股定理，可得62+(8-x)2=(x+2)2.解得x=4.8，即线段AP的长为4.8.

方法总结：使用勾股定理解决折叠问题，要注意以下几个方面：

(1)根据折叠性质先得出对应点、对应线段之间的位置、大小关系，它们都分别不变.

(2)紧紧抓住题中所给的点、线，想法构造出一个直角三角形[4].

(3)在构造的直角三角形中，利用勾股定理列方程计算.当然，有时也只需直接计算即可.

6 勾股定理应用类型解决思路总结

通过以上分析可以发现，勾股定理的应用类型非常丰富，且解决思路灵活多变.要想学好并应用好勾股定理，笔者认为要从以下几个方面出发：

首先，夯实基础，在“熟”的基础上“巧”.所谓“熟能生巧”，就是在熟练掌握的基础上巧妙解决问题.所以，平时教学和训练中，教师可根据上述几种类型对学生进行针对性训练，并作适当拓展，让学生对勾股定理及其逆定理有更深刻的感悟.

其次，重视思维，在“常”的基础上“变”.制约学生应用勾股定理解决问题的一个重要因素是思维受限.为此，在平时的教学与训练中，教师可对上述每一个类型进行变式，或激发学生利用“一题多解”解决问题.这样一来，不仅让问题得到了有效延伸，也让学生的思维更加灵活.

7 结语

总而言之，勾股定理及其应用在初中几何部分占据着非常重要的地位，在知识的考查形式上变化多样，本文中只选择了几种具有代表性的问题加以分析.作为初中数学教师，一方面要不断加强这方面知识体系的构建，让学生思维变得更灵活，另一方面要勤于发现和总结，不断提高自身的分析和研究能力.只有这样，才能将更多、更好的方法传授给学生.