刚性球体在转动环形凹槽内的动力学行为

2022-10-25雷家睿韩润泽王柯人赵芸赫马宇翰

大学物理 2022年10期

雷家睿，韩润泽，王柯人，黄敏，赵芸赫，马宇翰

(1. 北京师范大学物理学系，北京 100875；2. 四川省成都市新都一中铭章学院，四川成都 610500；3. 首都师范大学附属中学，北京 100048；4. 中国工程物理研究院研究生院，北京 100193)

本文探究的问题源于国际青年物理学家锦标赛(IYPT)2021的课题之一：一个带槽的圆环形轨道围绕它垂直于地面的直径旋转，一个刚性小球可以在圆环内侧的凹槽中滚动(如图1所示).

图1 装置示意图

这是一个典型的非惯性系中的刚体动力学问题，相关体系已吸引了不少研究兴趣. 例如，王永志应用势能曲线得到了此系统中球的平衡点及其性质，并对球的动力学过程进行了定性分析[1]. Burov研究了球体在绕竖直轴旋转圆环中的平衡位置，并在将其视作质点的情况下，讨论了平衡点的稳定性及摩擦力对平衡态的影响[2]. Duta和Ray在无摩擦、无自转的理想状态下，利用分析力学给出了球在绕轴旋转圆环中运动的解析解，分析了球的运动模式[3]. 此外，还有针对球在旋转抛物面[4]、旋转杆[5]上运动的研究. 然而，同时考虑球的自转和摩擦对其在非惯性系中动力学行为的影响，还未有报道.

本文基于牛顿运动方程，考虑球与轨道间的摩擦力及球的自转，使用Matlab求解了运动方程,得到了小球运动规律对相关参数的依赖. 进而搭建实验装置，在测量圆环内槽与球间摩擦系数的基础上，定量检验了理论结果.

1 理论分析

1.1 刚性小球平衡状态的分析

设大环半径为R，刚性小球半径为r，圆环绕竖直轴转动的角速度为ω，如图1所示.

在圆环的随动系中，小球在平衡时受到的科里奥利力为零，故其与槽的侧面无正压力. 若刚性小球在平衡时受到圆环底面摩擦力作用，考虑球自身的体积而非将其视作质点，摩擦力力矩将使球旋转并脱离稳定状态，这与球处于平衡状态的前提相悖. 因此，刚性小球在平衡状态下不受到摩擦力作用，只受到重力和环底面支持力作用，由牛顿第二定律可知

mgtanα=mω2(R-r)sinα

(1)

解得α=0或

(2)

由图2可得，平衡位置α与圆环转速ω成正相关，当ω趋于无穷时，α趋于90°(图2中虚线). 另外，α与圆环半径也成正相关. 与前面分析一致，对于特定半径R，都有一个出现除α=0点以外的其他平衡位置的临界角速度，环半径越大，此临界角速度值越小.

图2 平衡位置的角度随圆环角速度的变化(参数：r=0.8 cm)

1.2 刚性小球运动的动力学过程

在理解了小球可能存在的静态平衡后，本节将研究小球的运动特征. 为了简化理论分析，现做出如下限定：球与槽的相对位置如图3所示，即槽的截面为方形，球与槽的侧面和底面分别相切. 这限定了球的质心不会有如图3中左右的位移，只有垂直于纸面方向的位移，且槽侧面对球的支持力在水平方向(z轴)上.

图3 球与槽的相对关系

取x轴为极轴，逆时针为正方向，沿大圆环径向向外的方向矢量为er，沿大圆环切向的方向矢量为eθ，z的方向矢量为k，满足右手螺旋关系，如图4所示.

图4 小球的三维受力图及坐标系示意图

设圆环转动角速度为ω，圆环的圆心到圆环底面的距离为R，刚性小球质量为m，半径为r，重力加速度为g. 对刚性小球的三维受力分析如图4所示，其中小球位于圆环上图1中所示的位置.

设球与槽底面的正压力为N1. 在随圆环转动的非惯性系中，存在沿x轴方向的惯性离心力F与沿k方向的科里奥利力Fcor，而Fcor的存在会使得球与槽的侧壁产生与Fcor大小相同但方向相反的正压力N2；因此，圆环的槽与球之间存在两个摩擦力，分别是槽底面、侧面与球的摩擦力，它们的大小分别为：

f1=μN1

(3)

f2=μN2=μFcor

(4)

(5)

(6)

由于f1、f2方向总与接触点相对滑动方向相反，f1与f2各自的两个分力具有如下关系：

(7)

(8)

分别列出er、eθ、k方向上球运动的动力学方程为

(9)

(10)

(11)

其中

(12)

F=mω2(R-r)sinθ

(13)

对于球自转，分解到er、eθ、k方向，列出方程：

(14)

(15)

(16)

其中球的转动惯量I=2mr2/5. 在球的运动过程中，摩擦力的方向是在动态变化的，故在上述方程组中引入符号函数：

(17)

联立式(5)至式(17)，即可得到描述小球运动的二阶非线性微分方程组. 该微分方程组可使用Matlab进行其数值求解，相应结果将在2.3节中与实验结果对比时具体给出.

2 实验验证

2.1 实验装置

本文搭建的实验装置如图5所示，其中圆环由普菲德5RK60RGN-CF型60 W电机带动实现转动，电机上加装了普菲德5GU-20-K型减速齿轮降低电机的转速，使转速达到实验要求的范围. 同时，使用调速器对减速电机供电并实现电机的可控调速. 为加工得到合适的圆环，使用Shapr3D软件对圆环进行建模，并使用普通白色树脂3D打印. 使用DHTC-1型多功能微秒计连接光电门，测量圆环的转动角速度，同时监测圆环是否匀速转动.

图5 实验装置图

实验中，由于刚性小球可能一直停在α=0的平衡位置而不在圆环上运动，可使用鼓风机对刚性小球提供微扰，使其能够稍偏离平衡位置并在圆环上运动. 小球的运动状态由在装置的侧面的云台搭载摄像机进行拍摄，拍摄帧率为120 fps到960 fps不等，具体帧率由圆环的转速决定. 实验后，将拍摄的视频导入Tracker，进行数据分析.

2.2 圆环与球摩擦系数的测量

在使用实验数据对理论进行验证时，需要将实验参数代入到理论方程中，进而求得理论曲线. 球半径、圆环转速等参数可以使用游标卡尺、光电门等设备直接测量得到，但球与环间的摩擦系数无法直接测量. 以下提出一种用于测量小球与圆环内壁摩擦系数的方法：

保持圆环静止不旋转，若在小角度α0时将小球释放，小球因受到摩擦力作用而做振幅衰减的阻尼振动. 对于从α0静止释放到第n次运动到振幅最大点αn的过程，由能量守恒定律可得

mg(R-r)(cosαn-cosα0)=

(18)

(19)

实验中，测量出α0和αi即可得到摩擦系数μ. 在圆环静止不动时，将小球小角度释放，使用Tracker软件分析得到小球第i次运动到振幅最大点时的角度αi，如图6所示.

图6 第i个振幅极大值点的角度αi实验测量值

重复多次实验，将实验数据代入式(19)可求得球与环之间的摩擦系数μ=0.048.

2.3 实验结果及理论验证

首先分别在R=0.1 m和R=0.15 m的圆环上进行实验，检验小球平衡位置和转速的关系[式(2)]，实验数据与理论对比如图7所示. 其中误差棒代表五次独立重复实验的均方差.

图7 r=0.016 m,R=0.10 m和0.15 m时平衡位置随角速度变化图

从图7可以看出，平衡位置与转速、圆环半径均成正相关，理论值均在实验值误差棒范围内，说明理论与实验符合良好. 同时，除了图中所示的平衡位置外，α=0对于任意转速ω均是一个平衡位置，这在实验和理论上均得到了证实.

对于球在圆环上的运动过程，需要将实验中测量得到的摩擦系数、圆环半径以及小球的初始位置和速度等参数代入到1.2节给出的动力学方程组中，求出微分方程的数值解. 再将对应的实验数据与理论值比较. 在R=0.20 m,r=0.016 m，ω分别16.20 rad/s、12.05 rad/s时，实验与理论对比如图8所示.

图8 R=0.20 m,ω=16.20 rad/s和ω=12.05 rad/s时理论验证

其中黑色实线为理论的数值解，黑色散点则为在实验中测得的数据点.两组独立实验数据与理论曲线均符合良好，验证了理论模型的正确性. 在对小球运动过程的理论进行验证时，摩擦系数是实验中唯一不确定的参量，它测量的精确性直接影响到了实验对理论的验证效果. 图8中的理论与实验的良好一致性，也说明了2.2节中提出的摩擦系数测量方法具有很高的精确度.